广西柳州市三年(2020-2022)中考数学真题分类汇编-03解答题
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一.有理数的混合运算(共1小题)
1.(2022•柳州)计算:3×(﹣1)+22+|﹣4|.
二.实数的运算(共2小题)
2.(2021•柳州)计算:|﹣3|﹣+1.
3.(2020•柳州)计算:.
三.解二元一次方程组(共1小题)
4.(2022•柳州)解方程组:.
四.解分式方程(共1小题)
5.(2021•柳州)解分式方程:=.
五.分式方程的应用(共1小题)
6.(2022•柳州)习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出:“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中,饭碗主要装中国粮.”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神,积极扩大粮食生产规模,计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具,已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元,用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同.
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元?
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件,且购买的总费用不超过46万元,则甲种农机具最多能购买多少件?
六.一元一次不等式的应用(共1小题)
7.(2021•柳州)如今,柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”,螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动.若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元,购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元.
(1)求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元?
(2)小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱,预算总费用不超过9200元,则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱?
七.解一元一次不等式组(共1小题)
8.(2020•柳州)解不等式组请结合解题过程,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
八.反比例函数与一次函数的交点问题(共2小题)
9.(2022•柳州)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数y=(k2≠0)的图象相交于A(3,4),B(﹣4,m)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)若点D在x轴上,位于原点右侧,且OA=OD,求△AOD的面积.
10.(2020•柳州)如图,平行于y轴的直尺(部分)与反比例函数(x>0)的图象交于A、C两点,与x轴交于B、D两点,连接AC,点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2,直尺的宽度BD=2,OB=2.设直线AC的解析式为y=kx+b.
(1)请结合图象,直接写出:
①点A的坐标是 ;
②不等式的解集是 ;
(2)求直线AC的解析式.
九.二次函数综合题(共3小题)
11.(2022•柳州)已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(m,0)两点,与y轴交于点C(0,5).
(1)求b,c,m的值;
(2)如图1,点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,且点D在第一象限内,过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴,垂足为点F,当四边形DEFG的周长最大时,求点D的坐标;
(3)如图2,点M是抛物线的顶点,将△MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y轴交于点Q,在对称轴上找一点P,使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形,求出所有符合条件的点P的坐标.
12.(2021•柳州)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线:y=ax2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点,连接OD,过点B作BE⊥OD,垂足为E,若BE=2OE,求点D的坐标;
(3)如图2,点M为第四象限抛物线上一动点,连接AM,交BC于点N,连接BM,记△BMN的面积为S1,△ABN的面积为S2,求的最大值.
13.(2020•柳州)如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+a(a<0)与y轴交于点A,与x轴交于E、F两点(点E在点F的右侧),顶点为M.直线与x轴、y轴分别交于B、C两点,与直线AM交于点D.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)在y轴右侧的抛物线上存在点P,使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求a的值;
(3)如图②,过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N,连接ME,点Q为抛物线上任意一点,过点Q作QG⊥x轴于G,连接QE.当a=﹣5时,是否存在点Q,使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似(不含全等)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
一十.全等三角形的判定(共1小题)
14.(2020•柳州)如图,已知OC平分∠MON,点A、B分别在射线OM,ON上,且OA=OB.
求证:△AOC≌△BOC.
一十一.全等三角形的判定与性质(共1小题)
15.(2022•柳州)如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF.有下列三个条件:①AC=DF,②∠ABC=∠DEF,③∠ACB=∠DFE.
(1)请在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF.
你选取的条件为(填写序号) (只需选一个条件,多选不得分),你判定△ABC≌△DEF的依据是 (填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”);
(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证:AB∥DE.
一十二.全等三角形的应用(共1小题)
16.(2021•柳州)如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B,连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?请结合解题过程,完成本题的证明.
证明:在△DEC和△ABC中,
,
∴△DEC≌△ABC(SAS),
∴ .
一十三.平行四边形的性质(共1小题)
17.(2020•柳州)如图,已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AD=12,BD=10,AC=26.
(1)求△ADO的周长;
(2)求证:△ADO是直角三角形.
一十四.圆的综合题(共3小题)
18.(2022•柳州)如图,已知AB是⊙O的直径,点E是⊙O上异于A,B的点,点F是的中点,连接AE,AF,BF,过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C,交AB的延长线于点D,∠ADC的平分线DG交AF于点G,交FB于点H.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求sin∠FHG的值;
(3)若GH=4,HB=2,求⊙O的直径.
19.(2021•柳州)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=AB=1,DC=,以A为圆心,AD为半径作圆,延长CD交⊙A于点F,延长DA交⊙A于点E,连结BF,交DE于点G.
(1)求证:BC为⊙A的切线;
(2)求cos∠EDF的值;
(3)求线段BG的长.
20.(2020•柳州)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,连接AC、BC,OD⊥BC于点E,交⊙O于点D,连接CD、AD,AD与BC交于点F,CG与BA的延长线交于点G.
(1)求证:△ACD∽△CFD;
(2)若∠CDA=∠GCA,求证:CG为⊙O的切线;
(3)若sin∠CAD=,求tan∠CDA的值.
一十五.解直角三角形的应用-方向角问题(共1小题)
21.(2021•柳州)在一次海上救援中,两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息,已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上,在救助船B的西南方向上,且事故渔船P与救助船A相距120海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离(结果保留根号);
(2)求救助船A、B分别以40海里/小时,30海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.
一十六.条形统计图(共1小题)
22.(2021•柳州)为迎接中国共产党建党100周年,某校开展了以“不忘初心,缅怀先烈”为主题的读书活动,学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”(下面简称“读书量”)进行了随机抽样调查,并对所有随机抽取学生的“读书量”(单位:本)进行了统计,如图所示:
(1)补全下面图1的统计图;
(2)本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为 ;
(3)已知该校七年级有1200名学生,请你估计该校七年级学生中,五月份“读书量”不少于4本的学生人数.
一十七.列表法与树状图法(共2小题)
23.(2022•柳州)在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际,某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛,演讲的题目有:《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲,一起向未来》《画出最美同心圆》.赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目,将演讲题目制成编号为A,B,C的3张卡片(如图所示,卡片除编号和内容外,其余完全相同).现将这3张卡片背面朝上,洗匀放好.
(1)某班从3张卡片中随机抽取1张,抽到卡片C的概率为 ;
(2)若七(1)班从3张卡片中随机抽取1张,记下题目后放回洗匀,再由七(2)班从中随机抽取1张,请用列表或画树状图的方法,求这两个班抽到不同卡片的概率.(这3张卡片分别用它们的编号A,B,C表示)
24.(2020•柳州)共享经济已经进入人们的生活.小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标,共享出行、共享服务、共享物品、共享知识,制成编号为A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外,其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上,洗匀放好.
(1)小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ;
(2)小沈从中随机抽取一张卡片(不放回),再从余下的卡片中随机抽取一张,请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率.(这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示)
参考答案与试题解析
一.有理数的混合运算(共1小题)
1.(2022•柳州)计算:3×(﹣1)+22+|﹣4|.
【解答】解:原式=﹣3+4+4
=5.
二.实数的运算(共2小题)
2.(2021•柳州)计算:|﹣3|﹣+1.
【解答】解:原式=3﹣3+1
=1.
3.(2020•柳州)计算:.
【解答】解:
=8﹣8+2×2
=0+4
=4.
三.解二元一次方程组(共1小题)
4.(2022•柳州)解方程组:.
【解答】解:①+②得:3x=9,
∴x=3,
将x=3代入②得:6+y=7,
∴y=1.
∴原方程组的解为:.
四.解分式方程(共1小题)
5.(2021•柳州)解分式方程:=.
【解答】解:去分母得:x+3=2x,
解得:x=3,
检验:当x=3时,x(x+3)≠0,
∴分式方程的解为x=3.
五.分式方程的应用(共1小题)
6.(2022•柳州)习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出:“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中,饭碗主要装中国粮.”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神,积极扩大粮食生产规模,计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具,已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元,用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同.
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元?
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件,且购买的总费用不超过46万元,则甲种农机具最多能购买多少件?
【解答】解:(1)设购买1件乙种农机具需要x万元,则购买1件甲种农机具需要(x+1)万元,
依题意得:=,
解得:x=2,
经检验,x=2是原方程的解,且符合题意,
∴x+1=2+1=3.
答:购买1件甲种农机具需要3万元,1件乙种农机具需要2万元.
(2)设购买m件甲种农机具,则购买(20﹣m)件乙种农机具,
依题意得:3m+2(20﹣m)≤46,
解得:m≤6.
答:甲种农机具最多能购买6件.
六.一元一次不等式的应用(共1小题)
7.(2021•柳州)如今,柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”,螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动.若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元,购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元.
(1)求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元?
(2)小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱,预算总费用不超过9200元,则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱?
【解答】解:(1)设A品牌螺蛳粉每箱售价为x元,B品牌螺蛳粉每箱售价为y元,
依题意得:,
解得:.
答:A品牌螺蛳粉每箱售价为100元,B品牌螺蛳粉每箱售价为80元.
(2)设购买A品牌螺蛳粉m箱,则购买B品牌螺蛳粉(100﹣m)箱,
依题意得:100m+80(100﹣m)≤9200,
解得:m≤60.
答:A品牌螺蛳粉最多购买60箱.
七.解一元一次不等式组(共1小题)
8.(2020•柳州)解不等式组请结合解题过程,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 x>﹣1 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 x≤2 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为 ﹣1<x≤2 .
【解答】解:
(Ⅰ)解不等式①,得x>﹣1;
(Ⅱ)解不等式②,得x≤2;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式的解集为﹣1<x≤2.
故答案为:x>﹣1;x≤2;﹣1<x≤2.
八.反比例函数与一次函数的交点问题(共2小题)
9.(2022•柳州)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数y=(k2≠0)的图象相交于A(3,4),B(﹣4,m)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)若点D在x轴上,位于原点右侧,且OA=OD,求△AOD的面积.
【解答】解:(1)∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点A(3,4),B(﹣4,m).
∴4=,
解得k2=12,
∴反比例函数解析式为y=,
∴m=,
解得m=﹣3,
∴点B的坐标为(﹣4,﹣3),
∴,
解得,
∴一次函数解析式为y=x+1;
(2)∵A(3,4),
∴OA==5,
∴OA=OD,
∴OD=5,
∴△AOD的面积==10.
10.(2020•柳州)如图,平行于y轴的直尺(部分)与反比例函数(x>0)的图象交于A、C两点,与x轴交于B、D两点,连接AC,点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2,直尺的宽度BD=2,OB=2.设直线AC的解析式为y=kx+b.
(1)请结合图象,直接写出:
①点A的坐标是 (2,3) ;
②不等式的解集是 2<x<4 ;
(2)求直线AC的解析式.
【解答】解:(1)①∵直尺平行于y轴,A、B对应直尺的刻度为5、2,且OB=2,
∴A(2,3)
②∵直尺的宽度BD=2,OB=2.
∴C的横坐标为4,
∴不等式的解集是2<x<4,
故答案为(2,3); 2<x<4;
(2)∵A在反比例函数y=图象上,
∴m=2×3=6,
∴反比例函数的解析式为y=,
∵C点在反比例函数y=图象上,
∴yc=,
∴C(4,),
将A、C代入y=kx+b有解得,
∴直线AC的解析式为:y=+.
九.二次函数综合题(共3小题)
11.(2022•柳州)已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(m,0)两点,与y轴交于点C(0,5).
(1)求b,c,m的值;
(2)如图1,点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,且点D在第一象限内,过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴,垂足为点F,当四边形DEFG的周长最大时,求点D的坐标;
(3)如图2,点M是抛物线的顶点,将△MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y轴交于点Q,在对称轴上找一点P,使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形,求出所有符合条件的点P的坐标.
【解答】解:(1)把A(﹣1,0),C(0,5)代入y=﹣x2+bx+c,
得,
解得.
∴这个抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5,
令y=0,则﹣x2+4x+5=0,解得x1=5,x2=﹣1,
∴B(5,0),
∴m=5;
(2)∵抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,
∴对称轴为x=2,
设D(x,﹣x2+4x+5),
∵DE∥x轴,
∴E(4﹣x,﹣x2+4x+5),
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴,
∴四边形DEFG是矩形,
∴四边形DEFG的周长=2(﹣x2+4x+5)+2(x﹣4+x)=﹣2x2+12x+2=﹣2(x﹣3)2+20,
∴当x=3时,四边形DEFG的周长最大,
∴当四边形DEFG的周长最大时,点D的坐标为(3,8);
(3)过点C作CH⊥对称轴于H,过点N作NK⊥y轴于K,
∴∠NKC=∠MHC=90°,
由翻折得CN=CM,∠BCN=∠BCM,
∵B(5,0),C(0,5).
∴OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
∵CH⊥对称轴于H,
∴CH∥x轴,
∴∠BCH=45°,
∴∠BCH=∠OCB,
∴∠NCK=∠MCH,
∴△MCH≌△NCK(AAS),
∴NK=MH,CK=CH,
∵抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,
∴对称轴为x=2,M(2,9),
∴MH=9﹣5=4,CH=2,
∴NK=MH=4,CK=CH=2,
∴N(﹣4,3),
设直线BN的解析式为y=mx+n,
∴,解得,
∴直线BN的解析式为y=﹣x+,
∴Q(0,),
设P(2,p),
∴PQ2=22+(p﹣)2=p2﹣p+,
BP2=(5﹣2)2p2=9+p2,
BQ2=52+()2=25+,
分两种情况:
①当∠BQP=90°时,BP2=PQ2+BQ2,
∴9+p2=p2﹣p++25+,解得p=,
∴点P的坐标为(2,);
②当∠QBP=90°时,P′Q2=BP′2+BQ2,
∴p2﹣p+=9+p2+25+,解得p=﹣9,
∴点P′的坐标为(2,﹣9).
综上,所有符合条件的点P的坐标为(2,),(2,﹣9).
12.(2021•柳州)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线:y=ax2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点,连接OD,过点B作BE⊥OD,垂足为E,若BE=2OE,求点D的坐标;
(3)如图2,点M为第四象限抛物线上一动点,连接AM,交BC于点N,连接BM,记△BMN的面积为S1,△ABN的面积为S2,求的最大值.
【解答】解:(1)依题意,设y=a(x+1)(x﹣3),
代入C(0,﹣)得:a•1•(﹣3)=﹣,
解得:a=,
∴y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣x﹣;
(2)∵BE=2OE,
设OE为x,BE=2x,
由勾股定理得:OE2+BE2=OB2,
x2+4x2=9,
解得:x1=,x2=﹣(舍),
∴OE=,BE=,
过点E作TG平行于OB,T在y轴上,过B作BG⊥TG于G,
∴△ETO∽△OEB,
∴==,
∴OE2=OB•TE,
∴TE==,
∴OT==,
∴E(,﹣),
∴直线OE的解析式为y=﹣2x,
∵OE的延长线交抛物线于点D,
∴,
解得:x1=1,x2=﹣3(舍),
当x=1时,y=﹣2,
∴D(1,﹣2);
(3)如图所示,延长BC于点F,AF∥y轴,过A点作AH⊥BF于点H,作MT∥y轴交BF于点T,过M点作MG⊥BF于点J,
∵AF∥MT,
∴∠AFH=∠MTJ,
∵AH⊥BF,MJ⊥BF,
∴∠AHF=∠MJT=90°,
∴△AFH∽△MJT,
∴=,
∵S1=NB•MJ,S2=NB•AH,
∴==,
设直线BC的解析式为y=kx+b,将B,C两点代入得,
,
解得:,
∴直线BC的解析式为y=x﹣,
当x=﹣1时,y=•(﹣1)﹣=﹣2,
∴F(﹣1,﹣2),
∴AF=2,
设M(x,x2﹣x﹣),
∴MT=x﹣﹣(x2﹣x﹣)=﹣(x﹣)2+,
∴a=﹣<0,
∴MTmax=,
∴=====.
13.(2020•柳州)如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+a(a<0)与y轴交于点A,与x轴交于E、F两点(点E在点F的右侧),顶点为M.直线与x轴、y轴分别交于B、C两点,与直线AM交于点D.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)在y轴右侧的抛物线上存在点P,使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求a的值;
(3)如图②,过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N,连接ME,点Q为抛物线上任意一点,过点Q作QG⊥x轴于G,连接QE.当a=﹣5时,是否存在点Q,使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似(不含全等)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)∵y=x2﹣4x+a=(x﹣2)2+a﹣4,
∴抛物线的对称轴为直线x=2;
(2)由y=(x﹣2)2+a﹣4得:A(0,a),M(2,a﹣4),
由y=x﹣a 得C(0,﹣a),
设直线AM的解析式为y=kx+a,
将M(2,a﹣4)代入y=kx+a中,得2k+a=a﹣4,
解得k=﹣2,
直线AM的解析式为y=﹣2x+a,
联立方程组得,解得 ,
∴D(a,a),
∵a<0,
∴点D在第二象限,
又点A与点C关于原点对称,
∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线,则点P与点D关于原点对称,
即P(a,a),
将点P(﹣a,a)代入抛物线y=x2﹣4x+a,解得a=或a=0(舍去),
∴a=;
(3)存在,
理由如下:当a=﹣5时,y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,此时M(2,﹣9),
令y=0,即(x﹣2)2﹣9=0,解得x1=﹣1,x2=5,
∴点F(﹣1,0)E(5,0),
∴EN=FN=3 MN=9,
设点Q(m,m2﹣4m﹣5),则G(m,0),
∴EG=|m﹣5|,QG=|m2﹣4m﹣5|,
又△QEG与△MNE都是直角三角形,且∠MNE=∠QGE=90°,
如图所示,需分两种情况进行讨论:
i)当==3时,即=3,
当m=2时点Q与点M重合,不符合题意,舍去,
当m=﹣4时,此时Q坐标为点Q1(﹣4,27);
ii)当===时,即=,
解得m=或m=或m=5(舍去),
当m=时,Q坐标为点Q2(,),
当m=,Q坐标为点Q3(,),
综上所述,点Q的坐标为(﹣4,27)或(,)或(,).
一十.全等三角形的判定(共1小题)
14.(2020•柳州)如图,已知OC平分∠MON,点A、B分别在射线OM,ON上,且OA=OB.
求证:△AOC≌△BOC.
【解答】证明:∵OC平分∠MON,
∴∠AOC=∠BOC,
在△AOC和△BOC中,
,
∴△AOC≌△BOC(SAS).
一十一.全等三角形的判定与性质(共1小题)
15.(2022•柳州)如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF.有下列三个条件:①AC=DF,②∠ABC=∠DEF,③∠ACB=∠DFE.
(1)请在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF.
你选取的条件为(填写序号) ① (只需选一个条件,多选不得分),你判定△ABC≌△DEF的依据是 SSS (填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”);
(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证:AB∥DE.
【解答】(1)解:在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF,
选取的条件为①,判定△ABC≌△DEF的依据是SSS.
故答案为:①,SSS;(答案不唯一).
(2)证明:∵△ABC≌△DEF.
∴∠A=∠EDF,
∴AB∥DE.
一十二.全等三角形的应用(共1小题)
16.(2021•柳州)如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B,连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?请结合解题过程,完成本题的证明.
证明:在△DEC和△ABC中,
,
∴△DEC≌△ABC(SAS),
∴ DE=AB .
【解答】证明:在△DEC和△ABC中,
,
∴△DEC≌△ABC(SAS),
∴DE=AB.
故答案为:CA,∠DCE=∠ACB,CB,DE=AB.
一十三.平行四边形的性质(共1小题)
17.(2020•柳州)如图,已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AD=12,BD=10,AC=26.
(1)求△ADO的周长;
(2)求证:△ADO是直角三角形.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴对角线AC与BD相互平分,
∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,
∵AC=26,BD=10,
∴OA=13,OD=5,
∵AD=12,
∴△AOD的周长=5+12+13=30;
(2)由(1)知 OA=13,OD=5,AD=12,
∵52+ 122=132 ,
∴在△AOD中,AD2+DO2=AO2 ,
∴△AOD是直角三角形.
一十四.圆的综合题(共3小题)
18.(2022•柳州)如图,已知AB是⊙O的直径,点E是⊙O上异于A,B的点,点F是的中点,连接AE,AF,BF,过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C,交AB的延长线于点D,∠ADC的平分线DG交AF于点G,交FB于点H.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求sin∠FHG的值;
(3)若GH=4,HB=2,求⊙O的直径.
【解答】(1)证明:连接OF.
∵OA=OF,
∴∠OAF=∠OFA,
∵=,
∴∠CAF=∠FAB,
∴∠CAF=∠AFO,
∴OF∥AC,
∵AC⊥CD,
∴OF⊥CD,
∵OF是半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:∵AB是直径,
∴∠AFB=90°,
∵OF⊥CD,
∴∠OFB=∠AFB=90°,
∴∠AFO=∠DFB,
∵∠OAF=∠OFA,
∴∠DFB=∠OAF,
∵GD平分∠ADF,
∴∠ADG=∠FDG,
∵∠FGH=∠OAF+∠ADG,∠FHG=∠DFB+∠FDG,
∴∠FGH=∠FHG=45°,
∴sin∠FHG=;
(3)解:过点H作HM⊥DF于点M,HN⊥AD于点N.
∵HD平分∠ADF,
∴HM=HN,
∵===,
∵△FGH是等腰直角三角形,GH=4,
∴FH=FG=4,
∴==2,
设DB=k,DF=2k,
∵∠FDB=∠ABF,∠DFB=∠DAF,
∴△DFB∽△DAF,
∴DF2=DB•DA,
∴AD=4k,
∵GD平分∠ADF,
∴==,
∴AG=8,
∵∠AFB=90°,AF=12,FB=6,
∴AB===6,
∴⊙O的直径为6.
19.(2021•柳州)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=AB=1,DC=,以A为圆心,AD为半径作圆,延长CD交⊙A于点F,延长DA交⊙A于点E,连结BF,交DE于点G.
(1)求证:BC为⊙A的切线;
(2)求cos∠EDF的值;
(3)求线段BG的长.
【解答】(1)证明:∵AD⊥AB,
∴∠BAD=90°,
∵AD∥BC,
∴∠ABC=180°﹣∠BAD=90°,
∵AB=AD,
∴BC为⊙A的切线;
(2)解:如图1,过点D作DH⊥BC于H,
∴∠DHB=90°,
由(1)知,∠BAD=∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠BAD=∠BHD=90°,
∴四边形ABHD为矩形,
∵AB=AD=1,
∴矩形ABHD是正方形,
∴BH=DH=AB=1,
在Rt△DHC中,CD=,根据勾股定理得,CH==2,
∴cosC===,
∵AD∥BC,
∴∠EDF=∠C,
∴cos∠EDF=cosC=;
(3)如图2,
过点A作AM⊥DF于M,则DF=2DM,∠AMD=90°,
在Rt△AMD中,AD=1,cos∠EDF=,
∴DM=AD•cos∠EDF=1×=,
∴DF=2DM=,
∴CF=DF+CD=+=,
∵AD∥BC,
∴△DFG∽△CFB,
∴,
由(2)知,BC=1+2=3,
∴=,
∴DG=,
∴AG=DG﹣AD=,
在Rt△BAG中,BG===.
20.(2020•柳州)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,连接AC、BC,OD⊥BC于点E,交⊙O于点D,连接CD、AD,AD与BC交于点F,CG与BA的延长线交于点G.
(1)求证:△ACD∽△CFD;
(2)若∠CDA=∠GCA,求证:CG为⊙O的切线;
(3)若sin∠CAD=,求tan∠CDA的值.
【解答】(1)证明:∵OD⊥BC,
∴,
∴∠CAD=∠FCD,
又∵∠ADC=∠CDF,
∴△ACD∽△CFD;
(2)证明:连接OC,如图1所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠CAB=90°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∵∠CDA=∠OBC,∠CDA=∠GCA,
∴∠OCB=∠GCA,
∴∠OCG=∠GCA+∠OCA=∠OCB+∠OCA=90°,
∴CG⊥OC,
∵OC是⊙O的半径,
∴CG是⊙O的切线;
(3)解:连接BD,如图2所示:
∵∠CAD=∠CBD,
∵OD⊥BC,
∴sin∠CAD=sin∠CBD==,BE=CE,
设DE=x,OD=OB=r,则OE=r﹣x,BD=3x
在Rt△BDE中,BE===,
∴BC=2BE=,
在Rt△OBE中,OE2+BE2=OB2,
即(r﹣x)2+()2=r2,
解得:r=x,
∴AB=2r=9x,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴AC2+()2=(9x)2,
∴AC=7x或AC=﹣7x(舍去),
∴tan∠CDA=tan∠CBA===.
一十五.解直角三角形的应用-方向角问题(共1小题)
21.(2021•柳州)在一次海上救援中,两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息,已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上,在救助船B的西南方向上,且事故渔船P与救助船A相距120海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离(结果保留根号);
(2)求救助船A、B分别以40海里/小时,30海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.
【解答】解:(1)作PC⊥AB于C,如图所示:
则∠PCA=∠PCB=90°,
由题意得:PA=120海里,∠A=30°,∠CBP=45°,
在Rt△ACP中,∵∠CAP=30°,∠PCA=90°,
∴PC=PA=60海里,
在Rt△BCP中,∵∠PCB=90°,∠CBP=45°,sin∠CBP=,
∴PB===60(海里),
答:收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里;
(2)∵PA=120海里,PB=60海里,救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发,
∴救助船A所用的时间为=3(小时),救助船B所用的时间为=2(小时),
∵3>2,
∴救助船B先到达.
一十六.条形统计图(共1小题)
22.(2021•柳州)为迎接中国共产党建党100周年,某校开展了以“不忘初心,缅怀先烈”为主题的读书活动,学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”(下面简称“读书量”)进行了随机抽样调查,并对所有随机抽取学生的“读书量”(单位:本)进行了统计,如图所示:
(1)补全下面图1的统计图;
(2)本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为 3 ;
(3)已知该校七年级有1200名学生,请你估计该校七年级学生中,五月份“读书量”不少于4本的学生人数.
【解答】解:(1)抽样调查的学生总数为:=50(人),
“读书量”4本的人数所占的百分比是1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%=20%,
“读书量”4本的人数有:50×20%=10(人),
补全图1的统计图如下,
(2)根据统计图可知众数为3,
故答案为:3;
(3)根据题意得,
1200×(10%+20%)=360(人),
答:估计该校七年级学生中,五月份“读书量”不少于4本的学生有360人.
一十七.列表法与树状图法(共2小题)
23.(2022•柳州)在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际,某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛,演讲的题目有:《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲,一起向未来》《画出最美同心圆》.赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目,将演讲题目制成编号为A,B,C的3张卡片(如图所示,卡片除编号和内容外,其余完全相同).现将这3张卡片背面朝上,洗匀放好.
(1)某班从3张卡片中随机抽取1张,抽到卡片C的概率为 ;
(2)若七(1)班从3张卡片中随机抽取1张,记下题目后放回洗匀,再由七(2)班从中随机抽取1张,请用列表或画树状图的方法,求这两个班抽到不同卡片的概率.(这3张卡片分别用它们的编号A,B,C表示)
【解答】解:(1)某班从3张卡片中随机抽取1张,抽到卡片C的概率为,
故答案为:;
(2)画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中七(1)班和七(2)班抽到不同卡片的结果有6种,
∴这两个班抽到不同卡片的概率为=.
24.(2020•柳州)共享经济已经进入人们的生活.小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标,共享出行、共享服务、共享物品、共享知识,制成编号为A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外,其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上,洗匀放好.
(1)小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ;
(2)小沈从中随机抽取一张卡片(不放回),再从余下的卡片中随机抽取一张,请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率.(这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示)
【解答】解:(1)∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识,共四张卡片,
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是,
故答案为:;
(2)画树状图如图:
共有12种等可能的结果数,其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2,
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率==.
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