2022年江苏省南京市南师附中江宁分校中考数学全真模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若，AC=3，则CD的长为

A．6 B． C． D．3

2．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（   ）

A． B． C． D．

3．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝(     )

A．1 B．2 C．3 D．4

4．下列等式正确的是（　　）

A．（a+b）2=a2+b2 B．3n+3n+3n=3n+1

C．a3+a3=a6 D．（ab）2=a

5．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（　　）

A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile

6．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．4

8．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（  ）

A．2π﹣ B．π+ C．π+2 D．2π﹣2

9．下列运算正确的是（　　）

A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣ C．3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+4

10．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．分解因式：2x3﹣4x2+2x＝_____．

12．函数y=中自变量x的取值范围是_____．

13．当x=_________时，分式的值为零．

14．如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是____________________(写出一个即可)．

15．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交于点E，连接CE，若AB=4，BC=6，则△CDE的周长是______．

16．若方程 x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则 m＝______

17．若a是方程的根，则=_____.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．

19．（5分）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

20．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M，N，给出如下定义：点M与点N的“折线距离”为：．

例如：若点M(-1，1)，点N(2，-2)，则点M与点N的“折线距离”为：．根据以上定义，解决下列问题：已知点P(3，-2)．

①若点A(-2，-1)，则d(P，A)=         ；

②若点B(b，2)，且d(P，B)=5，则b=             ；

③已知点C（m,n）是直线上的一个动点，且d(P，C)<3，求m的取值范围．⊙F的半径为1，圆心F的坐标为(0，t)，若⊙F上存在点E，使d(E，O)=2，直接写出t的取值范围．

21．（10分）嘉淇在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了题目的一部分：计算：（﹣7）0+|1﹣|+（）﹣1﹣□+（﹣1）2018，经询问，王老师告诉题目的正确答案是1．

（1）求被覆盖的这个数是多少？

（2）若这个数恰好等于2tan（α﹣15）°，其中α为三角形一内角，求α的值．

22．（10分）（1）计算：sin45°

（2）解不等式组：

23．（12分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．现在平均每天生产多少台机器；生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．

24．（14分）如图，中，于，点分别是的中点.

(1)求证：四边形是菱形

(2)如果，求四边形的面积

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
解：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O的直径AB垂直于弦CD，，所以在Rt△AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=AB=,所以CD=2CE=3，

故选D.

【点睛】

本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大.

2、B

【解析】

试题解析：列表如下：

∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．
故选B．

3、B

【解析】
根据余角的性质，可得∠DCA与∠CBE的关系，根据AAS可得△ACD与△CBE的关系，根据全等三角形的性质，可得AD与CE的关系，根据线段的和差，可得答案．

【详解】

∴∠ADC=∠BEC=90°.

∵∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠CAD=90°，

∠DCA=∠CBE，

在△ACD和△CBE中,，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴CE=AD=3，CD=BE=1，

DE=CE−CD=3−1=2，

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.

4、B

【解析】
（1）根据完全平方公式进行解答；

（2）根据合并同类项进行解答；

（3）根据合并同类项进行解答；

（4）根据幂的乘方进行解答.

【详解】

解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；

B、3n+3n+3n=3n+1，正确；

C、a3+a3=2a3，故此选项错误；

D、（ab）2=a2b，故此选项错误；

故选B．

【点睛】

本题考查整数指数幂和整式的运算，解题关键是掌握各自性质.

5、B

【解析】
如图，作PE⊥AB于E．

在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，

∴PE=AE=×60=n mile，

在Rt△PBE中，∵∠B=30°，

∴PB=2PE=n mile．

故选B．

6、D

【解析】
主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案．

【详解】

解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有D是锥体．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力．

7、B

【解析】

分析：连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．

详解：

如图所示，连接OC、OB

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠BOC=60°，

∵OC=OB，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠OBM=60°，

∴OM=OBsin∠OBM=4×＝2.

故选B.

点睛：考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．

8、D

【解析】

分析：观察图形可知，阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可.

详解：连接CD．

∵∠C=90°，AC=2，AB=4，

∴BC==2．

∴阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC

=

=

.

故选：D．

点睛：本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式及割补法求图形的面积，根据图形判断出阴影部分的面积= S半圆ACD +S半圆BCD -S△ABC是解答本题的关键.

9、C

【解析】
直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案．

【详解】

A、a3•a2=a5，故A选项错误；

B、a﹣2=，故B选项错误；

C、3﹣2=，故C选项正确；

D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故D选项错误，

故选C．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

10、B

【解析】
根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．

【详解】

∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，

∴∠A2B2O＝α，

同理∠A3B3O＝×α＝α，

∠A4B4O＝α，

∴∠AnBnO＝α，

∴∠A10B10O＝，

故选B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、2x（x-1）2

【解析】

2x3﹣4x2+2x=

12、x≥﹣且x≠1．

【解析】
根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．

【详解】

由题意得，2x+3≥0，x-1≠0，

解得，x≥-且x≠1，

故答案为：x≥-且x≠1．

【点睛】

本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．

13、2

【解析】
根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1计算

即可．

【详解】

解：依题意得：2﹣x=1且2x+2≠1．

解得x=2，

故答案为2．

【点睛】

本题考查的是分式为1的条件和一元二次方程的解法，掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1是解题的关键．

14、（a+b）2=a2+2ab+b2

【解析】
完全平方公式的几何背景，即乘法公式的几何验证．此类题型可从整体和部分两个方面分析问题．本题从整体来看，整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积，从部分来看，该图形的面积可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，从不同角度思考，但是同一图形，所以它们面积相等，列出等式.

【详解】

解：

,

【点睛】

此题考查了完全平方公式的几何意义，从不同角度思考，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.

15、1

【解析】
由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=1，继而可得结论．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC．

∵AB=4，BC=6，∴AD+CD=1．

∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=1．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

16、﹣1

【解析】
根据“方程 x2+（m2﹣1）x+1+m＝0 的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于 m 的等式，解之，再把 m 的值代入原方程， 找出符合题意的 m 的值即可．

【详解】

∵方程 x2+（m2﹣1）x+1+m＝0 的两根互为相反数，

∴1﹣m2＝0，

解得：m＝1 或﹣1，

把 m＝1代入原方程得：

x2+2＝0，

该方程无解，

∴m＝1不合题意，舍去，

把 m＝﹣1代入原方程得：

x2＝0，

解得：x1＝x2＝0，（符合题意），

∴m＝﹣1，

故答案为﹣1．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程两根之和，两个之积与系数之间的关系式解题的关键．若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，.

17、1

【解析】
利用一元二次方程解的定义得到3a2-a=2，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

∵a是方程的根，
∴3a2-a-2=0，
∴3a2-a=2，
∴==5-2×2=1．
故答案为：1．

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、见解析

【解析】
根据条件可以得出AD=AB，∠ABF=∠ADE=90°，从而可以得出△ABF≌△ADE，就可以得出∠FAB=∠EAD，就可以得出结论．

【详解】

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，

∴∠ABF=90°．

∵在△BAF和△DAE中，

，

∴△BAF≌△DAE（SAS），

∴∠FAB=∠EAD，

∵∠EAD+∠BAE=90°，

∴∠FAB+∠BAE=90°，

∴∠FAE=90°，

∴EA⊥AF．

19、李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A

【解析】

过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ADC中，

由得tanC=∴∠C=30°∴AD=AC=×240=120(米)

在Rt△ABD中，∠B=45°∴AB＝AD＝120（米）

120÷（240÷24）＝120÷10＝12（米/分钟）

答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A

20、（1）① 6，②  2或4，③  1＜m＜4；（2）或.

【解析】
（1）①根据“折线距离”的定义直接列式计算；

②根据“折线距离”的定义列出方程，求解即可；

③根据“折线距离”的定义列出式子，可知其几何意义是数轴上表示数m的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于3.

（2）由题意可知，根据图像易得t的取值范围．

【详解】

解：（1） ①

②    

∴

∴ b=2或4

③ ，

即数轴上表示数m的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于3，所以1＜m＜4

（2）设E（x,y），则，

如图，若点E在⊙F上，则.

【点睛】

本题主要考查坐标与图形，正确理解新定义及其几何意义，利用数形结合的思想思考问题是解题关键.

21、（1）2；（2）α＝75°．

【解析】
（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；

（2）直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．

【详解】

解：（1）原式＝1+﹣1+﹣□+1＝1，

∴□＝1+﹣1++1﹣1＝2；

（2）∵α为三角形一内角，

∴0°＜α＜180°，

∴﹣15°＜（α﹣15）°＜165°，

∵2tan（α﹣15）°＝，

∴α﹣15°＝60°，

∴α＝75°．

【点睛】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

22、（1）；（2）﹣2＜x≤1．

【解析】
（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值可以解答本题；

（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．

【详解】

（1）sin45°

=3-+×-5+×

=3-+3-5+1

=7--5；

（2）（2）

由不等式①，得

x＞-2，

由不等式②，得

x≤1，

故原不等式组的解集是-2＜x≤1．

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组、实数的运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确解它们各自的解答方法．

23、 (1) 现在平均每天生产1台机器．(2) 现在比原计划提前5天完成．

【解析】
（1）因为现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间，由此列出方程解答即可；

（2）由（1）中解得的数据，原来用的时间-现在用的时间即可求得提前时间.

【详解】

解：（1）设现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x-50）台．

依题意得：，

解得：x=1．

检验x=1是原分式方程的解.

（2）由题意得=20-15=5(天)

∴现在比原计划提前5天完成.

【点睛】

此题考查分式方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.

24、 (1)证明见解析；(2).

【解析】
（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=AB=AE，DF=AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；
（2）根据等边三角形的性质得出EF=5，AD=5，进而得到菱形AEDF的面积S．

【详解】

解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴Rt△ABD中，DE=AB=AE，
Rt△ACD中，DF=AC=AF，
又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）如图，

∵AB=AC=BC=10，
∴EF=5，AD=5，
∴菱形AEDF的面积S=EF•AD＝×5×5＝．

【点睛】

本题考查菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．