2022年江西省吉安市遂州县达标名校中考数学五模试卷含解析

这是一份2022年江西省吉安市遂州县达标名校中考数学五模试卷含解析，共24页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．关于x的正比例函数，y=（m+1）若y随x的增大而减小，则m的值为 （ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．-
2．小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（　）

A．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为 B．小明胜的概率是，所以输的概率是
C．两人出相同手势的概率为 D．小明胜的概率和小亮胜的概率一样
3．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
4．4的平方根是（ ）
A．16 B．2 C．±2 D．±
5．如图，二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=1，且OA=OC．则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax1+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣；⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x1，y1），若x1＜1＜x1，且x1+x1＞4，则y1＞y1．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
6．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（　　）
A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0
7．如图，直角坐标平面内有一点，那么与轴正半轴的夹角的余切值为（ ）

A．2 B． C． D．
8．将1、、、按如图方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是（ ）

A． B．6 C． D．
9．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①△OAE≌△OBG；②四边形BEGF是菱形；③BE＝CG；④﹣1；⑤S△PBC：S△AFC＝1：2，其中正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．＜0 B．＜0 C．＜0 D．＜0
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，用含有m、n的式子表示AB的长为______．

12．不等式＞4﹣x的解集为_____．
13．因式分解：2m2﹣8n2= ．
14．按照一定规律排列依次为，…..按此规律，这列数中的第100个数是_____．
15．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____．
16．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
17．已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为___________．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
19．（5分）某景区内从甲地到乙地的路程是，小华步行从甲地到乙地游玩，速度为，走了后，中途休息了一段时间，然后继续按原速前往乙地，景区从甲地开往乙地的电瓶车每隔半小时发一趟车，速度是，若小华与第1趟电瓶车同时出发，设小华距乙地的路程为，第趟电瓶车距乙地的路程为，为正整数，行进时间为.如图画出了，与的函数图象．

（1）观察图，其中 ， ；
（2）求第2趟电瓶车距乙地的路程与的函数关系式；
（3）当时，在图中画出与的函数图象；并观察图象，得出小华在休息后前往乙地的途中，共有 趟电瓶车驶过．
20．（8分）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x=1，且经过点A（3，-1），与y轴交于点B．
求抛物线的解析式；判断△ABC的形状，并说明理由；经过点A的直线交抛物线于点P，交x轴于点Q，若S△OPA=2S△OQA，试求出点P的坐标．
21．（10分）为响应学校全面推进书香校园建设的号召，班长李青随机调查了若干同学一周课外阅读的时间(单位：小时)，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图(：，：，：，：)，根据图中信息，解答下列问题：
(1)这项工作中被调查的总人数是多少？
(2)补全条形统计图，并求出表示组的扇形统计图的圆心角的度数；
(3)如果李青想从组的甲、乙、丙、丁四人中先后随机选择两人做读书心得发言代表，请用列表或画树状图的方法求出选中甲的概率．

22．（10分）如图1，四边形ABCD中，，，点P为DC上一点，且，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．
证明：∽；
若，求的值；
如图2，若，设的平分线AG交直线BP于当，时，求线段AG的长．

23．（12分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
求甲、乙两种商品的每件进价；
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．画出△A1OB1；直接写出点A1和点B1的坐标；求线段OB1的长度．




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．
【详解】
由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，
解得：m=-2，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了正比例函数的性质和定义，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）的自变量指数为1，当k＜0时，y随x的增大而减小．
2、D
【解析】
利用概率公式，一一判断即可解决问题.
【详解】
A、错误．小明还有可能是平；
B、错误、小明胜的概率是 ，所以输的概率是也是；
C、错误．两人出相同手势的概率为；
D、正确．小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是；
故选D．
【点睛】
本题考查列表法、树状图等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3、A
【解析】
试题分析：选项A为最简分式；选项B化简可得原式==；选项C化简可得原式==；选项D化简可得原式==，故答案选A.
考点：最简分式.
4、C
【解析】
试题解析：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选C．
考点：平方根.
5、D
【解析】
根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：由抛物线的开口可知：a＜0，由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，由抛物线的对称轴可知：＞0，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；
令x=3，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；
∵OA=OC＜1，∴c＞﹣1，故③正确；
∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，∴b=﹣4a．
∵OA=OC=﹣c，∴当x=﹣c时，y=0，∴ac1﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，∴ac+4a+1=0，∴c=，∴设关于x的方程ax1+bx+c=0（a≠0）有一个根为x，∴x﹣c=4，∴x=c+4=，故④正确；
∵x1＜1＜x1，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵1﹣x1﹣（x1﹣1）=1﹣x1﹣x1+1=4﹣（x1+x1）＜0，
即x1到对称轴的距离小于x1到对称轴的距离，∴y1＞y1，故⑤正确．
故选D．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax1+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．本题属于中等题型．
6、D
【解析】
试题分析：根据题意得a≠1且△=，解得且a≠1．观察四个答案，只有c＝1一定满足条件，故选D．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
7、B
【解析】
作PA⊥x轴于点A，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】

过P作x轴的垂线，交x轴于点A，
∵P(2,4)，
∴OA=2,AP=4，．
∴
∴.
故选B．
【点睛】
本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.
8、B
【解析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
第一排1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，
…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，
根据数的排列方法，每四个数一个轮回，
由此可知：（1，5）表示第1排从左向右第5个数是，
（13，1）表示第13排从左向右第1个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1，那么第1个就是，
则（1，5）与（13，1）表示的两数之积是1．
故选B．
9、C
【解析】
根据AF是∠BAC的平分线，BH⊥AF，可证AF为BG的垂直平分线，然后再根据正方形内角及角平分线进行角度转换证明EG＝EB，FG＝FB，即可判定②选项；设OA＝OB＝OC＝a，菱形BEGF的边长为b，由四边形BEGF是菱形转换得到CF＝GF＝BF，由四边形ABCD是正方形和角度转换证明△OAE≌△OBG，即可判定①；则△GOE是等腰直角三角形，得到GE＝OG，整理得出a，b的关系式，再由△PGC∽△BGA，得到＝1+，从而判断得出④；得出∠EAB＝∠GBC从而证明△EAB≌△GBC，即可判定③；证明△FAB≌△PBC得到BF＝CP，即可求出，从而判断⑤.
【详解】
解：∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠GAH＝∠BAH，
∵BH⊥AF，
∴∠AHG＝∠AHB＝90°，
在△AHG和△AHB中
，
∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH＝BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG＝EB，FG＝FB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF＝∠CAF＝×45°＝22.5°，∠ABE＝45°，∠ABF＝90°，
∴∠BEF＝∠BAF+∠ABE＝67.5°，∠BFE＝90°﹣∠BAF＝67.5°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴EB＝FB，
∴EG＝EB＝FB＝FG，
∴四边形BEGF是菱形；②正确；
设OA＝OB＝OC＝a，菱形BEGF的边长为b，
∵四边形BEGF是菱形，
∴GF∥OB，
∴∠CGF＝∠COB＝90°，
∴∠GFC＝∠GCF＝45°，
∴CG＝GF＝b，∠CGF＝90°，
∴CF＝GF＝BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOE＝∠BOG＝90°，
∵BH⊥AF，
∴∠GAH+∠AGH＝90°＝∠OBG+∠AGH，
∴∠OAE＝∠OBG，
在△OAE和△OBG中
，
∴△OAE≌△OBG（ASA），①正确；
∴OG＝OE＝a﹣b，
∴△GOE是等腰直角三角形，
∴GE＝OG，
∴b＝（a﹣b），
整理得a＝b，
∴AC＝2a＝（2+）b，AG＝AC﹣CG＝（1+）b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PC∥AB，
∴＝＝＝1+，
∵△OAE≌△OBG，
∴AE＝BG，
∴＝1+，
∴＝＝1﹣，④正确；
∵∠OAE＝∠OBG，∠CAB＝∠DBC＝45°，
∴∠EAB＝∠GBC，
在△EAB和△GBC中
，
∴△EAB≌△GBC（ASA），
∴BE＝CG，③正确；
在△FAB和△PBC中
，
∴△FAB≌△PBC（ASA），
∴BF＝CP，
∴＝＝＝＝，⑤错误；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形，菱形的判定与性质等四边形的综合题．该题难度较大，需要学生对有关于四边形的性质的知识有一系统的掌握．
10、B
【解析】
根据抛物线的开口方向确定a，根据抛物线与y轴的交点确定c，根据对称轴确定b，根据抛物线与x轴的交点确定b2-4ac，根据x=1时，y＞0，确定a+b+c的符号．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＞0，A错误；
∵-＞0，a＞0，
∴b＜0，∴B正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，C错误；
当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、
【解析】
过点C作CE⊥CF延长BA交CE于点E,先求得DF的长,可得到AE的长,最后可求得AB的长.
【详解】
解：延长BA交CE于点E，设CF⊥BF于点F，如图所示．
在Rt△BDF中，BF＝n，∠DBF＝30°，
∴．
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝BF＝n，
∴．
故答案为：．

【点睛】
此题考查解直角三角形的应用,解题的关键在于做辅助线.
12、x＞1．
【解析】
按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.
【详解】
解：去分母得：x﹣1＞8﹣2x，
移项合并得：3x＞12，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.
13、2（m+2n）（m﹣2n）．
【解析】
试题分析：根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．
解：2m2﹣8n2，
=2（m2﹣4n2），
=2（m+2n）（m﹣2n）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
14、
【解析】
根据按一定规律排列的一列数依次为…，可得第n个数为，据此可得第100个数．
【详解】
由题意，数列可改写成，…，
则后一个数的分子比前一个数的法则大2，后一个数的分母比前一个数的分母大3，
∴第n个数为＝，
∴这列数中的第100个数为＝；
故答案为：．
【点睛】
本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，掌握数字类规律基本解题方法.
15、
【解析】
列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．
【详解】
列表如下：

-2
-1
1
2
-2

2
-2
-4
-1
2

-1
-2
1
-2
-1

2
2
-4
-2
2

由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果，
∴积为大于-4小于2的概率为=，
故答案为．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16、1．
【解析】
试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=1，答：它的周长是1，故答案为1．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
17、x≥1．
【解析】
试题分析：根据题意得当x≥1时，ax+b≥2，即不等式ax+b≥2的解集为x≥1．
故答案为x≥1．
考点： 一次函数与一元一次不等式．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）y＝﹣10x2+130x+2300，0＜x≤10且x为正整数；（2）每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；（3）每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元.
【解析】
（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【详解】
（1）根据题意得：
y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）
当x＝2时，30+x＝32（元）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y＝﹣10x2+130x+2300
＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），
当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
19、（1）0.8；2.1；（2）；（2）图像见解析，2
【解析】
（1）根据小华走了4千米后休息了一段时间和小华的速度即可求出a的值，用剩下的路程除以速度即可求出休息后所用的时间，再加上1.5即为b的值；
（2）先求出电瓶车的速度，再根据路程=两地间距-速度×时间即可得出答案；
（2）结合的图象即可画出的图象，观察图象即可得出答案．
【详解】
解：（1），

故答案为：0.8；2.1．
（2）根据题意得：
电瓶车的速度为
∴．
（2）画出函数图象，如图所示．
观察函数图象，可知：小华在休息后前往乙地的途中，共有2趟电瓶车驶过．
故答案为：2．

【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，能够从图象上获取有效信息是解题的关键．
20、（1）y=-x2+2x+2；（2）详见解析；（3）点P的坐标为（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．
【解析】
（1）根据题意得出方程组，求出b、c的值，即可求出答案；
（2）求出B、C的坐标，根据点的坐标求出AB、BC、AC的值，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（3）分为两种情况，画出图形，根据相似三角形的判定和性质求出PE的长，即可得出答案．
【详解】
解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2；
（2）∵由y=-x2+2x+2得：当x=0时，y=2，
∴B（0，2），
由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），
∵A（3，-1），
∴AB=3，BC=，AC=2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）①如图，当点Q在线段AP上时，

过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D
∵S△OPA=2S△OQA，
∴PA=2AQ，
∴PQ=AQ
∵PE∥AD，
∴△PQE∽△AQD，
∴==1，
∴PE=AD=1
∵由-x2+2x+2=1得：x=1，
∴P（1+，1）或（1-，1），
②如图，当点Q在PA延长线上时，

过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D
∵S△OPA=2S△OQA，
∴PA=2AQ，
∴PQ=3AQ
∵PE∥AD，
∴△PQE∽△AQD，
∴==3，
∴PE=3AD=3
∵由-x2+2x+2=-3得：x=1±，
∴P（1+，-3），或（1-，-3），
综上可知：点P的坐标为（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
21、（1）50人；（2）补全图形见解析，表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为108°；（3）.
【解析】
分析：(1)、根据B的人数和百分比得出样本容量；(2)、根据总人数求出C组的人数，根据A组的人数占总人数的百分比得出扇形的圆心角度数；(3)、根据题意列出树状图，从而得出概率．
详解：（1）被调查的总人数为19÷38%=50人；
（2）C组的人数为50﹣（15+19+4）=12（人），
补全图形如下：

表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为360°×=108°；
（3）画树状图如下，

共有12个可能的结果，恰好选中甲的结果有6个， ∴P（恰好选中甲）=.
点睛：本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率的计算法则，属于基础题型．理解频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键．
22、（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
由余角的性质可得，即可证∽；
由相似三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求的值；
由题意可证∽，可得，可求，由等腰三角形的性质可得AE平分，可证，可得是等腰直角三角形，即可求AG的长．
【详解】
证明：，

又，


又，
∽
∽，

又，，


如图，延长AD与BG的延长线交于H点

，
∽
∴
，由可知≌
，
，
代入上式可得，
∽，
，，
∴
，，
平分
又平分，
，
是等腰直角三角形．
∴.
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是添加恰当辅助线构造相似三角形．
23、 甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【解析】
【分析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）)元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可；
设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可．
【详解】设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
甲乙两种商品的销售量为，
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
，
解得，
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键.
24、（1）作图见解析；（2）A1（0，1），点B1（﹣2，2）．（3）
【解析】
（1）按要求作图.
（2）由（1）得出坐标.
（3）由图观察得到，再根据勾股定理得到长度.
【详解】
解：（1）画出△A1OB1，如图．

（2）点A1（0，1），点B1（﹣2，2）．
（3）OB1＝OB＝＝2．
【点睛】
本题主要考查的是绘图、识图、勾股定理等知识点，熟练掌握方法是本题的解题关键.