初中人教版21.1 一元二次方程精品随堂练习题

21.1一元二次方程人教版初中数学九年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 若，，满足，则关于的方程的解是(    )

A. ， B. ， C. ， D. 无实数根

2. 将一元二次方程化为一般形式，结果是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若方程中，，，满足和，则方程的根是(    )

A. ， B. ， C. ， D. 无法确定

4. 若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有根为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为【       】

A. 或 B.  C.  D.

6. 下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 下列方程是一元二次方程的是(    )

A.
B. 均为常数
C.
D.

8. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

9. 下列方程是一元二次方程的是(    )

A.   B.
C.  D.

10. 若关于的一元二次方程有一个解为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 若是方程的一个根，则代数式的值是______．
12. 若是关于 的方程 的根，则的值为          ．
13. 方程是关于的一元二次方程，则          ．
14. 若是一元二次方程的一个解，且，则的值为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 当方程是一元二次方程时，求的值．
16. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个．
    若使这种背包的月均销量不低于个，每个背包售价应不高于多少元？
    在的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是元？
    这种书包的销售利润有可能达到元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
17. 请阅读下列材料：
    问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
    解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；
    化简，得；故所求方程为．
    这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
    请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式；
    已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
    已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
18. 若方程和只有一个公共根，则的值是多少？
19. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结．
     

若，求的度数．

设，．

线段的长是方程的一个根吗说明理由

若，求的值．

20. 已知关于，的方程组与的解相同．
    求，的值；
    若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
分别把或代入方程可得到和，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
【解答】
解：当时，，
当时，，
所以关于的方程的解为或．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：由原方程去括号，得：

移项，合并得：．
一元二次方程的一般形式是：是常数且据此，对原方程通过去括号、移项合并即可将原方程转化为一般形式．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，，
所以方程的根分别为或．
故选：．
分别把或代入方程可得到和，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

4.【答案】 

【解析】解：由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：．
对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于．
首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．
【解答】
解：把代入得：
，
，
解得：，，
是一元二次方程，
，
，
，
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：等号左边是分式，不属于一元二次方程，不符合题意；
B.化简以后不含二次项，不属于二元二次方程，不符合题意；
C.是一元二次方程，符合题意；
D.含有两个未知数，不符合题意．
故选：．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是．
 

7.【答案】 

【解析】解：、是分式方程，故本选项不符合题意；
B、，时，是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、化简后是一元一次方程，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将代入方程可得关于的方程，解之可得的值，由一元二次方程的定义取舍即可．
【解答】
解：将代入方程，得：，
解得：或，
又，
，
则，
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、由已知方程化简得到：，不是方程，故本选项不符合题意．
故选：．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为．
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，将代入，得：，
解得，
故选：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入方程可得：，
即，
；
故答案为：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求的值．
考查了一元二次方程的根，此题应注意把当成一个整体．利用了整体的思想．
 

12.【答案】 

【解析】解：是方程的根，
，
又，
，
．
 

13.【答案】 

【解析】 方程是关于的一元二次方程，
，且，
解得．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的定义，得到的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．同时注意根据分式的基本性质化简分式． 
【解答】
解：是一元二次方程的一个解，
满足一元二次方程，
，即，
，
即，
把代入，得 
故答案为．  

15.【答案】解：是一元二次方程，
， 解得，
又， 
，
 

【解析】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是 根据一元二次方程的定义求解即可．
 

16.【答案】解：设每个背包的售价为元，则月均销量为个，
依题意，得：，
解得：．
答：每个背包售价应不高于元．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：当该这种书包销售单价为元时，销售利润是元．
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，
这种书包的销售利润不能达到元． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
设每个背包的售价为元，则月均销量为个，根据月均销量不低于个，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；
根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出这种书包的销售利润不能达到元．
 

17.【答案】解：设所求方程的根为，则，
把代入方程得，
即所求方程为；
设所求方程的根为，则，
把代入方程得，
整理得，
即所求方程为， 

【解析】本题主要考查了一元二次方程的根．本题是一道材料题，是一种新型问题，解题时，要提取材料中的关键性信息．
设所求方程的根为，则，然后把代入方程得到新方程；
设所求方程的根为，则，然后把代入方程得到关于的一元二次方程即可．
 

18.【答案】解：设公共根为，则．
，得，
当时，两方程完全一样，不合题意；
当时，，则．
答：的值是． 

【解析】设出公共根构造二元一次方程组，解出符合条件的公共根．
本题利用两个方程有公共根建立了方程组来求，的关系．
 

19.【答案】解：，，
，
，
，
；
由勾股定理得，，
，
解方程得，，
线段的长是方程的一个根；
，
，
由勾股定理得，，
整理得，
． 

【解析】 本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可；
根据勾股定理求出的长，利用求根公式解方程得到方程的根，两者比较即可；
 根据勾股定理列出算式，计算即可．
 

20.【答案】解：由题意得，关于，的方程组的相同解，就是方程组的解，
解得，，
代入原方程组得，，；
当，时，关于的方程就变为，
解得，，
又，
以、、为边的三角形是等腰直角三角形． 

【解析】本题考查一元一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理的逆定理是得出正确答案的关键．
关于，的方程组与的解相同．实际就是方程组的解，可求出方程组的解，进而确定、的值；
将、的值代入关于的方程，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．