人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程精品课后作业题
展开22.2二次函数与一元二次方程人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
- 将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有个公共点，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
- 抛物线的对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 抛物线与坐标轴的交点个数为( )
A. B. C. D.
- 已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示：
则方程的根是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 无实根
- 抛物线与坐标轴的交点个数为( )
A. B. C. D.
- 已知二次函数的与的部分对应值如下表
下列结论
该函数图象是抛物线，且开口向下；
该函数图象关于直线对称；
当时，函数值随的增大而增大；
方程有一个根大于．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线关于下列结论：；；；；方程的两个根为，，其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”例如，都是“雁点”若抛物线上有且只有一个“雁点”，该抛物线与轴交于、两点点在点的左侧当时，则的度数为( )
A. B. C. D.
- 如图，抛物线与轴交于点和，下列结论：
；当时，；
；．
其中正确结论的序号是( )
A.
B.
C.
D.
- 关于的方程的两个相异实根均大于且小于，那么的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 抛物线的部分图象如图所示，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则当时，的取值范围是______．
- 抛物线为常数，经过，两点，下列四个结论：
一元二次方程的根为，；
若点，在该抛物线上，则；
对于任意实数，总有；
对于的每一个确定值，若一元二次方程为常数，的根为整数，则的值只有两个．
其中正确的结论是______填写序号． - 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，点位于、之间，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，点在轴上方且横坐标小于，则下列结论：；；其中为任意实数；，其中正确的是______ ．
- 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
- 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
写出方程的两个根
写出不等式的解集
写出随的增大而减小的自变量的取值范围
若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
- 已知函数为常数．
该函数的图象与轴公共点的个数是____．
A. 或
求证：不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上．
当时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
- 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，当，的长分别是多少时，四边形的面积最大
- 可以用如下方法求方程的实数根的范围：利用函数的图象可知，当时，，当时，，所以方程有一个根在和之间．
参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间
若方程有一个根在和之间，求的取值范围．
- 设二次函数是常数的图象与轴交于，两点．
若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴．
若函数的表达式可以写成是常数的形式，求的最小值．
设一次函数是常数，若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点时，求的值． - 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点已知，该抛物线的对称轴为直线．
求出该抛物线的表达式及点、的坐标；
连接，将线段平移，使得平移后线段的一个端点恰好在这条抛物线上，另一个端点在对称轴上点、平移后的对应点分别记为点、，求、点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图所示，过点的直线与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到与抛物线有且只有一个交点时，此时与新抛物线也有三个公共点，
令，解得：或，即点坐标，
将一次函数与二次函数表达式联立得：，整理得：，
，解得：，
当一次函数过点时，将点坐标代入：得：，解得：，
综上，直线与这个新图象有个公共点，则的值为或；
故选：．
如图所示，过点作直线，将直线向下平移到与抛物线有且只有一个交点时，此时与新抛物线也有三个公共点，则一次函数在这两个位置时，两个图象有个交点，即可求解．
本题考查的是二次函数，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．
【解答】
解：的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最小值；
．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
先计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有个交点．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由抛物线经过点得到，
因为抛物线经过点、，
所以抛物线的对称轴为直线，
而抛物线经过点，
所以抛物线经过点，
所以二次函数解析式为，
方程变形为，
所以方程的根理解为函数值为所对应的自变量的值，
所以方程的根为，．
故选：．
利用抛物线经过点得到，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，由于方程变形为，则方程的根理解为函数值为所对应的自变量的值，所以方程的根为，．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，属于中档题．
先计算自变量为时对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标；再把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有个交点．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：函数的对称轴为：，在对称轴右侧，随的增大而减小，故该函数图象是抛物线，且开口向下，符合题意；
该函数图象关于直线对称，符合题意；
函数的对称轴为：，当时，函数值随的增大而增大，符合题意；
由表格可以看出，当时，，故方程有一个根大于，不符合题意；
故选：．
函数的对称轴为：，在对称轴右侧，随的增大而减小，即可求解；
该函数图象关于直线对称，即可求解；
函数的对称轴为：，当时，函数值随的增大而增大，即可求解；
由表格可以看出，当时，，故方程有一个根大于，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求与的关系，以及二次函数与一元二次方程之间的关系，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：抛物线开口向下，
，
，
，，
，
错误，正确，
抛物线与轴交于两点，分别是：和，
，，
方程的两个根为：，，
正确，
当时，即，
正确，
故正确的有．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
故“雁点”的函数表达式为，
抛物线上有且只有一个“雁点”，
则，
则，即，
则为，
解得或，
，
点的坐标为，
由，，
解得，
点的坐标为，
过点作轴于点，
则，
，
故的度数为．
故选：．
抛物线上有且只有一个“雁点”，则，则，即，然后求出点的坐标为、点的坐标为，即可求解．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的函数的性质，关键是对函数性质的应用．
9.【答案】
【解析】解：由图象可得，，
，错误．
抛物线开口向上，
时，，正确．
由图象可得时，，错误．
抛物线开口向上，
，
，
，
由图象可得时，，
，正确．
故选：．
由图象可得，的取值范围，从而判断，由图象可判断，由时可判断，由抛物线对称轴的位置可得与的关系，由时可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．把一元二次方程解的问题转化为抛物线与轴的交点问题，则利用题意得抛物线与轴的两个交点到在和之间，利用二次函数图象得到时，和当时，；
接着由确定抛物线与轴有个交点，然后解关于的不等式组确定的范围．
【解答】
解：关于的方程的两个相异实根均大于且小于，
抛物线与轴的两个交点到在和之间，
，解得，
时，，
，解得；
当时，，
，解得，
的范围为．
故选A．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与轴的另一个交点．根据抛物线与轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，的取值范围．
【解答】
解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
由图象可知，当时，的取值范围是．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：抛物线为常数，经过，两点，
当时，的两个根为，，故正确；
该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向下，若点，在该抛物线上，则，故错误；
当时，函数取得最大值，故对于任意实数，总有，即对于任意实数，总有，故正确；
对于的每一个确定值，若一元二次方程为常数，的根为整数，则两个根为和或和或和，故的值有三个，故错误；
故答案为：．
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13.【答案】
【解析】解：抛物线与轴的交点在轴上方，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点位于、之间，
抛物线与轴的另一个交点位于、之间，即当时，，也就是，因此正确；
对称轴为，
时的函数值大于或等于时函数值，即，当时，函数值最大，
，即，，因此不正确；
直线与抛物线交于、两点，点在轴上方且横坐标小于，
时，一次函数值比二次函数值大，即，
而，
，解得，因此正确；
综上所述，正确的结论有，
故答案为．
利用抛物线与轴的交点位置得到，利用对称轴方程得到，则，于是可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，则，即，，于是可对进行判断；由于直线与抛物线交于、两点，点在轴上方且横坐标小于，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解的不等式，则可对进行判断．
本题考查了二次函数的图象和性质，不等式组等知识，利用两个函数在直角坐标系中的图象求自变量的取值范围以及判断系数的大小关系是常考的知识．
14.【答案】，
【解析】解：，
，
抛物线经过点、，
或，
的解是或，
故答案为：，，
根据变形为，根据抛物线经过点、得到或，从而确定的解是或．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15.【答案】解：，
．
．
【解析】见答案
16.【答案】解：；
，
把代入得：，
则不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上；
设函数，
当时，有最小值为；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，
当时，；当时，，
则当时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是．
【解析】
【分析】
此题考查了抛物线与轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；
根据的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
【解答】
解：函数为常数，
，
则该函数图象与轴的公共点的个数是或，
故选D；
见答案；
见答案．
17.【答案】解：设，四边形的面积为，则，
则，
当时，，
所以当时，四边形的面积最大．
【解析】本题主要考查二次函数的最值，二次函数的应用，设，四边形的面积为，根据对角线互相垂直的四边形的面积为对角线乘积的一半可得与的关系式，再求最值即可求解．
18.【答案】解：利用函数的图象可知，当时，，当时，，
所以方程的另一个根在和之间．
函数的图象的对称轴为直线，
由题意，得
解得．
【解析】见答案
19.【答案】解：二次函数过点、，
，即．
抛物线的对称轴为．
把化成一般式得，
．
，．
．
把的值看作是的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
当时，的最小值是．
由题意得，
．
函数的图象经过点 ，
．
，或．
即或．
【解析】根据、两点的坐标特征，可设函数的表达式为，其中，是抛物线与轴交点的横坐标；
把函数，化成一般式，求出对应的、的值，再根据式子的特点求出其最小值；
把，代入求出关于的函数表达式，再根据其图象过点，把代入其表达式，形成关于的一元二次方程，解方程即可．
本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：，顶点式：，交点式：
20.【答案】解：，
，
抛物线的对称轴为直线，且过点，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
令，得，
，
令，得，
解得，，
；
由题意可知点的横坐标为，
把代入得，，
，
，
的纵坐标为，
．
【解析】利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而根据抛物线的解析式可求出，两点的坐标；
由平移的性质、结合图象可知的横坐标为，代入抛物线解析式即可求得点的坐标，进而得出点的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决点的坐标问题．
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