初高数学衔接讲义练习题【16讲wprd版有答案】

这是一份初高数学衔接讲义练习题【16讲wprd版有答案】，共67页。试卷主要包含了知识归纳，例题讲解，课堂练习，根的分布等内容，欢迎下载使用。

目 录

第一讲 因式分解……………………………………2
第二讲 分式…………………………………………6
第三讲 图形变换……………………………………10
第四讲 三角形的“五心” ………………………14
第五讲 几何中的著名定理………… ……………18
第六讲 圆………………………… ………………20
第七讲 一次函数和一次不等式……………… …23
第八讲 均值不等式………… ……………………27
第九讲 一次分式函数…… ………………………31
第十讲 一元二次方程…… ………………………34
第十一讲 一元二次函数（一）…… ……………38
第十二讲 一元二次函数（二）… ………………42
第十三讲 一元二次不等式… ……………………46
第十四讲 绝对值不等式……………… …………50
第十五讲 根的分布（一）…………… …………53
第十六讲 根的分布（二）…………… …………57

第一讲 因式分解

一、知识归纳
1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）当n为正奇数时
当n为正偶数时
2、十字相乘法因式分解
3、待定系数法因式分解
4、添项与拆项法因式分解
5、长除法
二、例题讲解
例1：因式分解：





例2：因式分解：








例3：因式分解








例4：利用待定系数法因式分解
（1） （2）





例5：利用添项法、拆项法因式分解
（1） （2）







例6：已知，求的值。








三、课堂练习
1、分解因式
（1）
（2）
（3）


分解因式
（1）
（2）
3、分解因式
（1）
（2）
4、已知多项式能被整除，且商式是则 。
5、多项式能被整除，求的值。
第二讲　分式

一、知识归纳
（一）分式的运算规律
1、加减法
同分母分式加减法：
异分母分式加减法：
2、乘法：
3、除法：
4、乘方：
（二）分式的基本性质
1、　　　　　　　　　　　　　　2、
（三）比例的性质
（1）若则
（2）若则（合比性质）
（3）若（）则（合分比性质）
（4）若＝…＝，且则（等比性质）
（四）分式求解的基本技巧
1、分组通分
2、拆项添项后通分
3、取倒数或利用倒数关系
4、换元化简
5、局部代入
6、整体代入
7、引入参数
8、运用比例性质
二、例题解析
例1：化简







例2：化简：










例3：计算







例4：计算








例5：若，求






例6：已知且
求分式的值






三、课堂练习
1、已知，，，则x＝　　　　　　；
2、若则分式＝　　　　　　；
3、设，则＝　　　　　　　；
4、若，且，则＝　　　　　；
5、设、、为有理数，且，，，，则＝　　　　　　；
6、已知、、均不为0，且，则＝　　　　　；

第三讲　图形变换

一、知识归纳
1、
2、
3、
4、
5、
将图象在x轴下方的部分，以x轴为对称轴对称地翻折上去即可
6、
将的图象位于y轴右边的部分保留，在y轴的左边作其对称的图即可。
二、例题解析
例1：说出下列函数图象之间的相互关系
（1）与 （2）与
（3）与 （4）与







例2：已知①中的图的对应函数，则②中的图象对应函数为　　　　　　；
x
y
0
x
y
0
①
②





A、 B、 C、 D、


例3：画出下列函数的图象
（1） （2）






例4：已知的图象过点（3，2），那么与函数的图系关于x轴对称的图象一定过点　　　　　　；
A、（4，2） B、（4，－2） C、（2，－2） D、（2，2）





x
y
0
-1
1
2
3
1
2
3
例5：试讨论方程的根的个数








例6：求方程的解的个数






课堂练习：
1、函数的图象　　　　　　；
A、与的图象关于y轴对称 B、与的图象关于原点对称
C、与的图象关于y轴对称 D、与的图象关于原点对称
2、为了得到的图象，可以把的图象
y
x
0
(0,1)
y=2x
第3题图
A、向左平移3个单位长度
B、向右平移3个单位长度
C、向左平移1个单位长度
D、向右平移1个单位均等
3、已知的图象如右，请画出以下函数的图象
y
x
0
(1,0)
第4题图
（1）　（2）　（3）　（4）　（5）
4、已知
试求不等式：
成立的x的取值范围
5、已知方程有一负根，而没有正根，那么a的取值范围是　　　　　；
A、 B、 C、 D、补以上答案
第四讲　三角形的“五心”

一、知识归纳
1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部。
2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。
3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角形内。
4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外。
5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。
二、例题解析
例1：在锐角△ABC中，内角为A、B、C三边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为　　　　　，重心到三边的距离为　　　　　，外心到三边的距离之比为　　　　　，垂心到三边的距离之比为　　　　　　。








A
F
B
D
C
E
H
例2：如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分别为D、E、F，则H是△DEF的　　　　　；
A、垂心 B、重心
C、内心 D、外心






例3：如图，D是△ABC的边BC上任一点，点E、
A
B
C
E
G
F
M
D
N
F分别是△ABD和△ACD的重心连结EF交AD于G点，
则DG：GA＝　　　　　　；






例4：设△ABC的重心为G，GA＝，，，则＝　　　　；






例5：若H为△ABC的重心，AH＝BC，则∠BAC的度数是　　　　　；
A、45° B、30° C、30°或150° D、45°或135°







A
E
B
C
D
O
G
例6：已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝10，AC＝9，DE＝12，求平行四边形ABCD的面积。







三、课堂练习
1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为　　　　，重心到垂心的距离为　　　　　；
2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径＝　　　　　；
3、在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos（∠OBC+∠OCB）= ;
4、设G为△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则△ABC的面积为　　　　；
5、若，那么以、、为三边的△ABC的内切圆，外接圆的半径之和为　　　　　；
A、 B、
C、 D、
6、△ABC的重心为G，M在△ABC的平面内，求证：


第五讲　几何中的著名定理

一、知识归纳
本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞瓦定理
二、例题解析
例1：如图△ABC中，AD为∠BAC的角平分线
A
F
B
D
C
E
1
2
求证：





A
B
C
D
1
2
例2：如图，△ABC中，AD为∠A的外角
平分线，交BC的延长线于点D，求证：.





A
B
D
E
C
例3：如图，AD为△ABC的中线，
求证：




例4：（梅涅劳斯定理）
A
F
B
C
E
G
D
如果在△ABC的三边BC，CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则





A
M
B
N
C
P
0
1
2
3
4
5
6
例5：设O为△ABC内任意一点，AO、BO、CO
分别交对边于N、P、M，则.






三、课堂练习
1、如图，P是AC中点，D、E为BC上两点，
且BD＝DE＝EC，则BM：MN：NP＝ ；
B
D
A
E
S
C
M
2、如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、
AC上且DE//BC，设BE与CD交于S，证明BM＝CM。
3、证明：三角形的三条角平分线交于一点。

第六讲　圆

一、知识归纳
1、证明四点共圆的方法有：
（1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上
（2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆
（3）线段同旁张角相等，则四点共圆。
（4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆
（5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆
（6）四边形ABCD对角线相交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆
（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若，则它的四个顶点共圆。
2、圆幂定理
二、例题讲解
例1：如图，设AB为圆的直径，过点A在AB的同侧作弦AP、AQ交B处的切线于R、S，求证：P、Q、S、R同点共圆。
A
B
Q
S
R
P





A
D
C
O
E
B
例2：圆内接四边形ABCD，O为AB上一点，以O为圆心的半圆与BC，CD，DA相切，求证：AD＋BC＝AB



例3：如图，设A为⊙O外一点，AB，
AC和⊙O分别切于B，C两点，APQ为⊙O
的一条割线，过点B作BR//AQ交⊙O于点R，
连结CR交AO于点M，试证：A，B，C，O，M五点共圆。






例4：如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C两点，D为PC中点，且AD延长线交⊙O于点E，又,求证：（1）PA＝PD；（2）.
A
P
B
D
O
E
C






例5：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，A
C
D
P
O
H
E
B
若PE长为2，CD＝1，求DE的长度。






三、课堂练习
1、如图，已知点P在⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A，B两点，并交ST于点C，求证：
S
B
D
P
O
A
C
T






A
B
G
P
C
O
M
R
2、如图，A是⊙O外一点，AB、AC和⊙O分别切于点B、C，APQ为⊙O的一条割线，过B作BR//AQ交⊙O于R，连CR交AQ于M。
试证：A，B，C，O，M五点共圆。






3、设⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，M是⊙O1、⊙O2的切点，R、S分别是⊙O1、⊙O2与⊙O3的切点，连心线交⊙O1于P，⊙O2于Q，求证：P、Q、R、S四点共圆。
P
R
Q
S
O1
O3
O2





第七讲 一次函数和一次不等式

【要点归纳】
1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。
（1）它的图象是一条斜率为k，过点（0，b）的直线。
（2）k>0是增函数；k<0是减函数。
2、不等式ax>b的解的情况：
（1）当a>0时，；
（2）当a<0时，；
（3）当a=0时，
i) 若b≤0，则取所有实数；
ii) 若b>0，则无解。
类似地，请同学们自行分析不等式ax 【典例分析】
例1 已知一次函数的图像如右，则它的表达式为y=____________.
A(1,3)
B(-1,-1)
O
x
y









例2 已知abc≠0且，那么直线y=px+p 一定通过第（ ）象限
A、一、二 B、二、三 C、三、四 D、一、四
例3 已知一次函数f(x)=3x+2，一次函数g(x)=ax+b，且f[g(x)]=12x+11，求a+b的值。






例4 当1≤x≤2时，函数f(x)=kx+(1-3k)恒为正值，求实数k的取值范围。
例5 已知x≥0，y≥0，z≥0，且满足x+2y+3z=2，2x+y+z=10，求T=x+y+z的最大值和最小值。







例6 不等式与不等式同解，则a的值等于_______




例7 解关于x的不等式组：






例8 对于一次函数f(x)=(2a-b)x+(a-5b)，当且仅当时, f(x)>0，则=___________






例9 若不等式（2a-b）x+(3a-4b)<0的解是，求不等式（a-4b）x+(2a-3b)>0的解。





【反馈练习】
1、一次函数y=(3m-1)x-(m+5)的图象不过第一象限，则实数m的取值范围是____________
2、一次函数f(x)满足：f（f（f(x)））=-27x-21，则f(x)=_______________
3、函数f(x)=3x+1+k-2kx在-1≤x≤1时，满足f(x)≥k恒成立，则整数k的值为____________
4、已知x≥0，y≥0，z≥0，且满足x+3y+2z=3，3x+3y+z=4求w=3x-2y+4z的最大值和最小值。




5、若不等式5x-a≤0的正整数解是1，2，3，4，则a的取值范围为___________




6、解关于x的不等式：a(x-a)>x-1




7、若不等式（m+n）x+(2m-3n)<0的解是，求不等式（m-3n）x+(n-2m)>0的解。




8、解关于x的不等式组：
第八讲 均值不等式
【要点归纳】
当a，b，c＞0时，则
（1）（当且仅当a=b时，取“=”）
（2）（当且仅当a=b=c时，取“=”）
更一般地，当（n）时，
则（当且仅当时，取“=”）
【典例分析】
例1 设a，b，c＞0，证明下列不等式：
（1） （2）





例2 下列命题中有________个正确
（1）函数的最小值是4；
（2）函数的最小值是2
（3）函数的最大值是
（4）函数，当x=1时，取最小值。
例3 （1） 已知，且，求x+y的最小值；
（2） 已知，且，求的最大值。






例4 （1）当x>1时，求的最小值；
（2）当时，求的最大值。






例5 （1）当a，b>0时，证明：
（2）设a>b>c，求使得不等式恒成立的k的最大值。





例6 某食品厂定期购买面粉，已知每吨面粉的价格为1800元，该厂每天需用面粉6吨，面粉的保管费为平均每吨每天3元，因需登记入库，每次所购面粉不能当天使用，每次购面粉需支付运输费900元，求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？





【反馈练习】
1、已知，且a+b=1，求的最小值。




2、函数y=x(1-2x) ()的最大值等于___________；此时x=__________




3、函数的最小值为6，则实数a=_____________




4、已知，且ab=3+a+b，求ab的取值范围。




5、求函数的最大值及相应的x的值。




6、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8
空白，左右各留5空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？


第九讲 一次分式函数
【要点归纳】
形如的函数，叫做一次分式函数。
（1）特殊地，叫做反比例函数；
（2）一次分式函数的图象是双曲线，是两条渐近线，对称中心为（）（c≠0）。
【典例分析】
例1 说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。




例2 求函数在-3≤x≤-2上的最大值与最小值。




例3 将函数的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数的图象
（1）求的表达式；
（2）求满足≤2的x的取值范围。
例4 求函数的值域。





例5 函数，当且仅当-1＜x＜1时，
（1）求常数a的值；
（2）若方程有唯一的实数解，求实数m的值。






例6 已知图象上的点到原点的最短距离为6
（1）求常数a的值；
（2）设图象上三点A、B、C的横坐标分别是t，t+2，t+4，试求出最大的正整数m，
使得总存在正数t，满足△ABC的面积等于。




【反馈练习】
1、若函数y=2/(x-2)的值域为y≤1/3，则其定义域为_____________。
2、函数的图象关于点_____________对称。
3、若直线y=kx与函数的图象相切，求实数k的值。
4、画出函数的图象。




5、若函数在(-2，+∞)是增函数，求实数a的取值范围。




6、（1）函数的定义域、值域相同，试求出实数a的值；
（2）函数的图象关于直线y=x对称，试求出实数a的值。

第十讲 一元二次方程

【要点归纳】
一元二次方程 （※）
1、实数根的判断
△＞0方程（※）有两个不同的实数根
△= 0方程（※）有两个相同的实数根
△＜0方程（※）没有实数根
2、求根公式与韦达定理
当 △≥0时，方程（※）的实数根
并且
【典例分析】
例1、（1）已知是方程的一个实根，求另一个根及实数m的值；
（2）关于x的方程有实数根，求实数a的取值范围。





例2 设实数s，t分别满足：，，并且，求的值。





例3 实数x，y，z，满足：x+y+z=a，x2+y2+z2=（a>0）,求证：





例4 求函数的最大值与最小值。





例5 若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。





例6 函数，其中满足：，
（1）求证：方程有两个不同的实数根，；
（2）求的取值范围。






【反馈练习】
1、当a，b时，关于x的方程有实数根？




2、已知，且，则的值等于_______




3、设△ABC的两边AB与AC长之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，求a的取值范围。




4、设实数a，b满足：，求的取值范围。



5、求函数的最值。




6、 若关于x的方程有唯一的实数根，求实数m的取值范围。




第十一讲 一元二次函数（一）
【要点归纳】
1、形如的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。
2、二次函数的解析式的三种形式：
10 一般式
20 顶点式 ，其中顶点为（m，n）
30 零点式 ，其中，是的两根。
本讲主要解决求二次函数的解析式问题。
【典例分析】
例1 二次函数f(x)满足：，并且它的图象在x轴截得的线段长等于4，求f(x)的解析式。






例2 二次函数f(x)满足：f(1)=f(-5)，且图象过点（0，1），被x轴截得的线段长等于。
求f(x)的解析式。




例3 二次函数f(x)满足：f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。
（1）求f(x)的解析式；
（2）当-1≤x≤1时，y=f(x)的图象总是在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围。






例4 若方程有且仅有三个实数根，求实数a的值。






例5 设，若，，
（1）求证：且方程有两个不同的实数根；
（2）求及的取值范围。





例6 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足：
（1）当0 .







【反馈练习】
1、若二次函数f(x)的图象过点（3，4），（1，0），（-2，0），则f(x)=______________
2、若二次函数f(x)的图象过点（1，1），并且，则f(x)=_____________
3、关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________
4、若二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，则f(x)=______________
5、设二次函数f(x)的图象与x轴两交点的距离为2，若将图象沿y轴方向向上平移3个单位，则图象恰好过原点，且与x轴两交点的距离为4，求f(x)的解析式。






6、二次函数f(x)=ax2+bx+c与一次函数g(x)=-bx，其中a>b>c，且a+b+c=0
（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A（x1,y1）B(x2,y2)；
（2）求的取值范围。






7、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足：
证明：当0x1；






8、对于函数f(x),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点。已知二次函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1) (1) 当a=1,b= –2时，求函数f(x)的不动点；
(2) 若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3) 在(2)的条件下，若y=f(x)图上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值（本小问选做）

十二、一元二次函数（二）

知识归纳：
1、一元二次函数
时，
2、一元二次函数在区间[m,n]上的最值。

x
m
n


1°当


x
m
n



2°当


x
m
n



3°当时，


x
m
n


4°时

3、一元二次函数在区间[m,n]上的最值类比2可求得。
举例：
例1、函数在区间上的最小值是（ ）
A、－7 B、－4 C、－2 D、2

例2、已知函数在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A、 B、[0,2] C、[1,2] D、

例3、如果函数对任意实数都有，那么（ ）
A、 B、
C、 D、

例4、若，且，那么的最小值为（ ）
A、2 B、 C、 D、0

例5、设是方程的两个实数根，则的最小值是 。
例6、的最小值是 。

例7、函数的最大值是 ，最小值是 。

例8、已知二次函数满足条件和
（1）求 （2）在区间[－1，1]上的最大值和最小值。

例9、已知二次函数，求的最小值。

例10、设a为实数，函数，求的最小值。
课后练习
一、选择题
1、如果实数x，y满足，那么有（ ）
A、最小值和最大值1； B、最小值，而无最大值
C、最大值1，而无最小值 D、最大值1和最小值
2、函数在区间[1,2]上单调，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、[1,2] D、
3、已知函数在区间[m,2]上有最小值4，最大值5，则m的取值范围是（ ）
A、[0,2] B、 C、[0,1] D、[0,1）
4、若的最大值为2，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、[－1,2] D、(－1,2)
二、填空题
5、已知函数，并且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是 。
6、已知二次函数f(x)满足，且的最大值是8，则f(x)=
。
7、已知关于x的函数（a，b，c为常数，且），若，则的值等于 。
三、解答题
8、已知函数在区间上的最大值为1，求实数a的值。




9、函数
（1）当时，恒成立，求a的取值范围。
（2）当时，恒成立，求a的取值范围。




10、设x，y均非负，2x+y=6，求的最大值和最小值。

十三 一元二次不等式

知识归纳
一般式
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式





图像与解
x
y
O
x1
x2








或


x
y
O
x0









无解
x
y
O







无解
R
无解
表中，
2、恒成立
恒成立
二、典例分析
例1、解下列不等式
（1） （2）


（3） （4）


（5） （6）


（7） （8）


例2、若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是（ ）
A、 B、[－2，2] C、（2,2] D、
例3、若不等式的解集为，则a+b的值为（ ）
A、10 B、－10 C、14 D、－14
例4、若不等式和均不成立，则（ ）
A、或 B、
C、 D、
例5、满足的不等式恒成立的x的取值范围是
。
例6、不等式的解集为 。
例7、若恒成立，不等式的解集为 。
例8、解关于x的不等式


例9、设，解关于x的不等式。



例10、已知抛物线过点（－1，0），问是否存在常数a，b，c，使不等式对一切都成立。


课后练习
一、选择题
1、已知的解集为R，则m的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、关于x的不等式的解集是，则实数m的值为（ ）
A、1 B、－1 C、 D、0
3、已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A、 B、或 C、 D、或
4、岩函数，当x为任意实数时，恒有意义，则a的取值范围是（ ）
A、0 二、填空题
5、若m 6、若不等式有且只有一个解，则实数a= 。
7、若函数对一切恒有意义，则a的取值范围是
。
二、解答题
8、解关于x的不等式


9、解关于x的不等式


10、解关于x的不等式
十四 绝对值不等式

知识归纳
1、实数绝对值的意义
2、a>0

或x>a
举例：
例1、解下列不等式
（1） （2）


（3） （4）


例2、不等式的解集是（ ）
A、 B、或 C、 D、
例3、若关于x的不等式在R上恒成立，则a的最大值是（ ）
A、0 B、1 C、－1 D、2
例4、若不等式对一切恒成立，那么实数a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
例5、不等式的解集为 。
例6、不等式对任意恒成立，则c的取值范围是 。
例7、若关于x的不等式无解，则a的取值范围是 。
例8、已知关于x的不等式的解集为求实数a的值。


例9、解下列不等式
（1） （2）


例10、解关于x的不等式


课后练习
一、选择题
1、不等式的解集是（ ）
A、 B、且 C、 D、且
2、不等式的解集为M，且，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若不等式无解，则a的取值范围是（ ）
A、a>3 B、 C、 D、
4、若无解，则c的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
5、不等式的解集是 。
6、满足的x范围是 。
7、不等式的解集为 。
三、解答题
8、若不等式的解集为(－1,2)，求实数a的值。



9、解不等式



10、已知适合不等式的x的最大值为3，求a的值。

根的分布（一）

知识归纳
设，方程的两根为
1°两根都为正
2°两根都为负
3°两根一正一负
典例分析：
例1、已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（ ）
A、(0,1] B、(0,1) C、 D、

例2、二次函数y=f(x)满足，且有两个不等实根，则等于（ ）
A、0 B、3 C、6 D、不能确定
例3、若方程有两个不等的实根，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
例4、设和是方程的两个不相等的实根，则下列结论正确的是（ ）
A、且 B、
C、 D、且
例5、若关于x的不等式有且只有一个解，则实数a等于 。


例6、在[－1，1]上有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围是 。


例7、若函数与直线有两个位于y轴右端的交点，则a的取值范围为 。


例8、设分别是关于x的二次方程和的一个非零实根，且，求证：必有一根在与之间。



例9、已知二次函数和一次函数其中a，b，c满足，
（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A、B
（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。




练习
一、选择题
1、若方程有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、

2、若方程有两个不等负根，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、

3、已知抛物线与x轴的交点，在原点的右侧，则k的取值范围是（ ）
A、R B、
C、或 D、且
4、已知二次函数的顶点在第一象限，则a的取范围是（ ）
A、a>1 B、a>2 C、a>2或a<－2 D、－2
5、已知关于x的二次方程有两个负根，则实数k的取值范围是 。

6、若关于x的方程有实根，则实数a的取值范围是 。


7、若函数与在y轴右侧有两个不同交点，则k的取值范围是 。

8、设，且，求的图象与轴相交所得弦长的取值范围。


9、已知二次函数的二项系数为a，且不等式的解为（1，3）若方程有两个相等的根，求f(x)的解析式。


10、已知二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点，若且时
（1）证明：是的一个根；
（2）比较与c的大小。
（3）证明：
根的分布（二）

知识归纳：
二次方程的区间根，一般情况下需要从三个方面考虑。
（1）判别式； （2）区间端点函数值的正负；
（3）对称称与区间端点的关系。
设是实系数二次方程的两实根，则的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表表示。
根的分布
图 象
充要条件

x
x1
x2
k









x
x1
x2
k









x
x1
x2
k






x
x1
x2
m

n







有且仅有一个在(m,n)内
x
n
m


或
或
典例分析：
例1、已知，m、n是方程f(x)=0的两根，且a A、m
例2、已知一元二次方程的一个根大于1，一个根小于1，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、

例3、若方程有一个正根，一个负根，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、

例4、若的两根都小于1，则m的取值范围是（ ）
A、m<－1或m>3 B、m≥3 C、m>3 D、－1
例5、关于x的方程的两实根，一个小于1，一个大于1，则实数k的取值范围是 。

例6、已知整系数二次方程在(0,1)上有两个不同的根，则正整数m的最小值为 。


例7、若关于x的方程，有两个不等负根，则实数a的取值范围是是 。


例8、若关于x的二次方程的两根、满足，求实数p的取值范围。




例9、已知函数与线段有效，求实数m的取值范围。





例10、方程在（－1，1）上有两不等实根，求k的取值范围。





练习
一、选择题
1、已知，m、n是的两根，且a A、 B、
C、 D、
2、若方程的一个大于2，一个根小于2，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、

3、若方程有两个实根，且两根均大于5，则k的取值范围是（ ）
A、 B、k>0 C、 D、

4、已知b、c为整数，方程的两根都大于－1，且小于0，则b、c的值为（ ）
A、1，5 B、 C、5，1 D、

二、填空题
5、关于x的方程的根大于－5，且小于，则k的取值范围是 。

6、当实数m 时，方程一根大于2，另一个根小于2。

7、若方程有一个正根，一个负根，则a的取值范围是 。



三、解答题
8、关于x的二次方程的两根分别位于(0,1)和之间求a的取值范围。







9、若关于x的方程的两根为、。
（1）若、都为正；（2）若、都为负；（3）若、一正一负，分别求m的取值范围。







10、已知二函数，设方程有两个实根。
（1）若设函数的对称轴为，求证：
（2）如果，且的两实根相差为2，求实数b的取值范围。





























第一讲 因式分解

3
2
1
-3
例1：解：由多项式的乘法法则易得
∴ ∴3×（－3）+2×1＝－7
∴
x2
－(a－b)2
x2
－(a－b)2
例2：解：

∴原式＝
＝
例3：解：原式＝
2x
－(3y－1)
2x
y－3
＝
＝
＝
点评：以上三例均是利用十字相乘来因式分解，其中例3中有x、y，而我们将其整理x的二次三项式。故又称“主元法”。
例4：解：如果要分解的因式的形式是，唯一确定的，那么可以考虑利用待定系数法
∵
则可设（m、n待定）
∴原式＝
比较系数得 解得m＝4，n＝5
∴原式＝
（2）在例3中利用了十字相乘法，请同学们用待定系数法解决。
例5：解：（1）
＝
或
或
解：（2）＝


例6：解：把用含有的代数式表示
∴
∴
课堂练习答案：
1、（1）
（2）
（3）
2、（1）
（2）
3、（1）
（2）
4、－1 5、

第二讲　分式

例题解析答案：
例1：解：原式＝
当且时，原式＝
当且时，原式＝
例2：解：观察各分母的特点知，式中第一、二项，第三、四项分别组合通分较容易
∴原式＝
＝
例3：解：设，，则
∴原式＝
＝
＝
例4：解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律

因此不难看出，拆项后通分更容易
∴原式＝
＝
＝
例5：解：∵，∴，将式中的a全换成
∴原式＝
＝
例6：解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。
解：令，则
①
②
③
∴ 由①＋②＋③，得
当时
即
∴，，
∴原式＝
为时，，，
∴原式＝
课堂练习答案：
1、　　　　　2、5　　　　　3、
4、8或－1　　　　　5、1　　　　　6、0

第三讲　图形变换

例题解析答案
例1：解：（1）将的图象沿y轴向下平移2个单位即得的图象；
（2）将的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位，即得的图象；
（3）将的图象向右平移3个单位即得的图象；
（4）将的图象向左平移个单位即得的图系。
例2：解：由图象可知应选择C
例3：解：略
例4：解：的图象是的图象向左平移一个单位得到的
∴的图象必过（4，2），则与图象关于x轴对称的图象中过（4，－2）。故选B。
x
y
0
-1
1
2
3
1
2
3
例5：解：画出函数的象如右图
则可知：
当时方程无解
当时方程有两解
当时方程有四解
当的方程有三解
当的方程有两解
故：当时，方程有一解
当或时有两解
当时有三解
当时有四解
例6：请同学们仿照例5的方法给出解答。
课堂练习答案：
1、D　　　2、D　　　3、略　　　4、　　　5、C

第四讲　三角形的“五心”

例题解析答案
例1：解：答案依次为：
1：1：1；　　；　　；　　
例2：解：内心
例3：解：
例4：解：
例5：解：D
例6：分析：设AC交DE于G，可推出G为△ABD的重心，∠EGA＝90°，故可求出及S□ABCD。
解：设AC、BD交于G，连BD交AC于O（如图）
由□ABCD知BO＝DO，OA＝OC而BE＝AE
故G为△ABD的重心
有，
而EA＝5，故,∠EGA＝90°，＝6


∴S□ABCD＝2＝72
课堂练习答案：
1、6.5，　　2、2　　3、　　4、72　　5、A　　6、略

第五讲　几何中的著名定理

例题解析答案：
例1：证明：过点D作,垂足分别为E、F
∵∠1＝∠2　　　　∴DE＝DF
∴　　　　　
∴
又　　　　　　　　∴＝
A
B
D
C
E
4
1
2
3
证明2：如图，过点C作DA的平行线交BA的延长线于点E，由平行线分线段成比例定理得
＝
又∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4
∴∠3＝∠4　　　∴AC＝AE　　　　∴＝
这就是三角形内角平分线定理
A
B
C
D
1
2
例2：这是三角形外角平分线定理，请同学们仿照上
面的方法给予证明。
例3：证明：过点A作，垂足为E，则
,
∴
A

B

D

E

C

∴
∴
这就是三角形中的中线长定理
A

F

B

C

E

G

D

例4：
证明：此题的证明方法有很多，如过点C作CG//AB
交FD于点G，∴
∴
又 ∴
注：梅涅劳斯的逆定理：如果在△ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上有点D、E、F且，则D、E、F三点共线。
A
M
B
N
C
P
0
1
2
3
4
5
6
例5：

∴
同样，塞瓦定理有逆定理，设M、P、N分别在△ABC的边AB、BC、AC上且满足
则AN、BP、CM相交于一点。
课堂练习答案：略


第六讲　圆

例题讲解答案
A
B
Q
S
R
P
例1：证明：连PQ、QB内四边形ABQP内接于圆
∴∠QBA＝∠RPQ
又∵SB为切线，AB为直径
∴∠ABS＝∠AQB＝90°，故∠QBA＝∠QSB
∴∠RPQ＝∠QSB
A
D
C
O
E
B
∴P、Q、S、R四点共圆
例2：解：在AB上截取BE＝BC，连结OC，OD，DE，CE。
∴∠BEC＝（180°－∠B）
∵ABCD内接于圆，
∴180°－∠B＝∠ADC
∴∠BEC＝∠ADC
又DA，DC为半圆切线，
∴∠ADC＝∠ADO＝∠ODC
∴∠BEC＝∠ODC，即C、E、O、D四点共圆。
∴∠AED＝∠OCD＝∠BCD＝（180°－∠A），
∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝180°－∠A－（180°－∠A）＝（180°－∠A）
A
B
G
P
C
O
M
Q
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE
∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC。
例3：解答：连接OB,OC,BC，则OB⊥AB,OC⊥AC,
∴A，B，O，C四点共圆，∵BR//AQ，
∵∠GBR=∠BAQ,而∠GBR=∠BCR,
∴∠BAQ=∠BCR,即∠BAM=∠BCM,∴A,B,M，C四点共圆，但A，B，C三点确定一个圆，
∴A，B，C，O，M五点共圆。
例4：解：（1）连接AB
A
P
B
D
O
E
C
∵∵
∵∠E＝∠F
∴△BDE∽△ABE，∴∠DBE＝∠BAD
∵PA切⊙O于点A，∴∠E＝∠PAB
∴∠DBE+∠E＝∠BAD+∠PAB
∴∠PAD＝∠BDA，PD＝PA
（2）∵PA切⊙O于点A，∴
∵D为PC中点，∴PC＝2PD，∵PD＝PA，
∴,∴DP＝2PB，
∴B为PD中点，DC＝2BD，∴
例5：解答：连PO交AB于H，设DE＝x，则，
在Rt△APH中，
A
C
D
P
O
H
E
B
∴　　　　　　　　　　①
在Rt△PHD中， ②
由相交弦定理，知
而
∴　　　　　　　　　　　　③
由①②③可知，，
∴DE＝
课堂练习答案：略

第七讲 一次函数和一次不等式

【典例分析】
例1 例2 B
例3 7 例4
例5 解：由
∴ x+y+z=， 又 由x≥0，y≥0得：
故当z=-9时，，当时，
例6 a=1，
例7 时，；时，；时，无解。
例8 例9
【反馈练习】
1、； 2、
3、 4、
5、
6、时， ；时，；a=1，无解。
7、
8、（1）时， ；
（2）时，；
（3）时，

第八讲 均值不等式
【典例分析】
例2 2个（③④两个命题正确）
例3 （1）当x=4，y=12时，x+y取最小值16；
（2）当x=，y=时，取最大值。
例4 （1）当x=2时，；（2）当x=1时，
例5 （1）略 （2） 4
例6 解：设该厂应x天购买一次面粉，其购买量为6x吨。
由题意知，面粉的保管费用为3[6x+6(x－1)+…+6×2+6×1]=9x(x+1)
设平均每天所支付的总费用为y元，则

=≥2
当且仅当，即x=10时取等号，
故该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。
【反馈练习】
1、当时，取最小值4。
2、当时，
3、a=4 提示：
4、ab≥9 提示：ab=3+a+b
5、当x=1时， 提示：
6、宽为55cm，高为88cm

第九讲 一次分式函数

【典例分析】
例1 向左平移一个单位，再向上平移三个单位，对称中心为（-1，3）
例2 分离常数得： 在-3≤x≤-2上是减函数，
故 ；
例3 （1）； （2）
例4 ；提示：逆求法 由得 ，
例5 （1） a=1 (2)或0
例6 （1） a=6 （2） 5 提示：利用根的分布先求出
【反馈练习】
1、 提示： 法1：解分式不等式； 法2：图象法。
2、对称中心（-3，-2）
3、
4、略
5、图象法：
6、（1）a=1 (2)a=1

第十讲 一元二次方程
【典例分析】
例1 （1）另一个根 ，m=-4 （利用韦达定理） （2）
例2 －5 （逆用韦达定理，构造方程）
例3 法1： 由x+y+z=a，x2+y2+z2=得：x+y =a-z，xy=
构造以x,y为实数根的二次方程，再利用△≥0证得。
法2：由x+y+z=a，x2+y2+z2=得：x2+（a-z-x）2+z2=
整理得：，再利用△≥0证得。
法3：依题 直线x+y+z-a=0 与圆 x2+y2 =-z2有公共点。
故,可证
例4 （判别式法）；也可用不等式法。
例5 法1：令，则且 ，于是原方程化为：
有两个不同的非负实数根。
故
法2 ：数形结合
例6（1）略 （2）
【反馈练习】
1、 2、-36
3、 4、
5、（判别式法） 6、数形结合 或

第十一讲 一元二次函数（一）
【典例分析】
例1 、 设“顶点式”，或“零点式”
例2、 设“一般式”或“顶点式”，或“零点式”
例3、（1） （2）m<-1
例4、数形结合 或
例5、（1）略 （2）；
例6、（略）
【反馈练习】
1、 2、
3、a=1 4、
5、或 6、（1）略 （2）
7、略
8、（1）－１，3 （2） （3），提示：

十二、一元二次函数（二）

举例答案：
例1、选C 例2、选C 例3、选A 例4、选B
例5、1 例6、8 例7、
例8、（1） （2）
例9、
例10、当时，
当时，
当时，
课后练习答案：
DDCC；5、；6、；7、c；
8、或 9、（1）；（2）
10、，

十三 一元二次不等式

典例分析答案：
例1、（1） （2）或 （3）或
（4） （5） （6）无解 （7）R （8）无解
例2、C 例3、D 例4、D 例5、或
例6、或或
例7、或 例8、时， a<0时，或 时，，时，时，无解 例9、
例10、，，
课后练习答案：
ACAC 5、；6、；7、
8、a=0时，；a>0时，或，－2 ；时，x=－1；a<－2时，
9、1°当，即时，无解；
2°当，即或时，
10、时，；时，无解；时，

十四 绝对值不等式

参考答案
例1、（1），（2）x>1或 （3），（4）或
例2、B 例3、B 例4、D 例5、01
例7、 例8、a=－2 例9、（1） （2）0 例10、
课后练习答案：
DBAB 5、 6、 7、或
8、－4； 9、或或 10、8

十五、根的分布（一）

典例分析答案：
例1、D 例2、C 例3、C 例4、B 例5、 例6、
例7、
例8、设，
得证：
例9、（1）
，∴得证：
（2）


课后练习答案：
BDDB 5、 6、
7、k>4 8、 9、（1）a=1或 10、（1）图 （2） （3）略

十六、根的分布（二）

典例分析答案：
例1、A 例2、C 例3、A 例4、B 例5、 例6、5 例7、 例8、或 例9、 例10、
课后练习答案：
BCDC 5、k=1或； 6、m<0 7、
8、a>1 9、（1） （2）无解 （3）m>3； 10、（1）略 （2）