2022永昌县一中高一下学期期末考试数学试题含答案

永昌县第一高级中学2021-2022-2期末试卷

高一数学

（考试时间：120分钟）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则（    ）

A.   B.   C.   D.

2.已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A.若，，，则   B.若，，则

C.若，，，则   D.若，，则

3.已知向量，满足，，，则（    ）

A.-2   B.-1   C.1   D.2

4.2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（    ）

A.   B.   C.   D.

5.已知，为与单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影向量为（    ）

A.   B.4   C.   D.

6.攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑.下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（    ）

A.   B.   C.   D.

7.已知，为锐角，且，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

8.如图，二面角的大小是60°，线段，，AB与所成的角为30°，则AB与平面所成的角的正弦值是（    ）

A.   B.   C.   D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。

9.函数，则下列选项正确的是（    ）

A.的最小正周期为   B.的一个对称中心为

C.的最大值为   D.的一条对称轴为

10.甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（    ）

A.甲乙都研发成功的概率为

B.疫苗A研发成功的概率为

C.疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为

D.仅有一款疫苗研发成功的概率为

11.如图，在三棱锥中，已知，，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（    ）

A.平面平面

B.平面平面

C.是直线EF与直线PC所成的角

D.是平面与平面所成二面角的平面角

12.已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值可能为（    ）

A.   B.0   C.   D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，.若，则_____________.

14.某地区确诊有A、B、C、D四人先后感染了新冠病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染，于是假定C受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是，在这种假定下，若B、C、D三人中恰有两人直接受A感染的概率是__________.

15.若，，且，，则_________.

16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面ABC，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.

四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）已知复数使得，，其中是虚数单位.

（1）求复数的共轭复数；

（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.

18.（本小题12分）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线.

（1）求实数的值；

（2）若，，求的坐标；

（3）已知点，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.

19.（本小题题12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求；

（2）若，面积为2，求.

20.（本小题12分）冰壶被喻为冰上的“国际象棋”，是以团队为单位在冰上进行的投掷性竞赛项目，每场比赛共10局，在每局比赛中，每个团队由多名运动员组成，轮流掷壶、刷冰、指挥.两边队员交替掷壶，可击打本方和对手冰壶，以最终离得分区圆心最近的一方冰壶数量多少计算得分，另外一方计零分，以十局总得分最高的一方获胜.冰壶运动考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧.同时由于冰壶的击打规则，后投掷一方有优势，因此前一局的得分方将作为后一局的先手掷壶.已知甲、乙两队参加冰壶比赛，在某局中若甲方先手掷壶，则该局甲方得分概率为；若甲方后手掷壶，则该局甲方得分概率为，每局比赛不考虑平局.在该场比赛中，前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，其中第六局乙方得分.

（1）求第七局、第八局均为甲方得分的概率；

（2）求当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率.

21.（本小题12分）函数在上的最大值为.

（1）求常数的值；

（2）当时，求使不等式成立的的取值集合.

22.（本小题12分）如图，四棱锥的底面为矩形，，.

（1）证明：平面平面ABCD.

（2）若，，，求点B到平面PCD的距离.

永昌县第一高级中学2021-2022-2期末试卷

学高一数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13.  14.  15.  16.

三、解答题

17.（1）设，则

∵∴又，∴

综上，有∴

（2）∵为实数，且

∴由题意得，解得故实数的取值范围是

18.（1）由已知，又，

A，E，C三点共线，则，共线，

所以存在实数使得，即，

，不共线，所以，解得；

（2），

；

（3）由题意，所以，

，得

所以点坐标为（10，7）.

19.（1），∴，

∵，∴，

∴，∴；

（2）由（1）可知，∵，∴，

∴

，

∴.

20（1）解：第六局乙方得分，所以第七局乙方先掷壶，甲方后掷壶，则第七局甲方得分概率为；第七局甲方得分，则第八局甲先掷壶，乙后掷壶，第八局甲方得分的概率为，所以第七局、第八局均为甲方得分的概率为.

（2）解：前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，所以后面四局甲全胜或者甲胜三局.后面四局甲全胜，且第七局乙先掷壶，则概率为；

后面四局甲胜三局，且第七局乙先掷壶，分为第七局乙得分或者第八局乙得分或第九局乙得分或第十

局乙得分，

所以概率为

则当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率为.

21.（1）

，

当时，，结合正弦函数性质易知，

当，即时，函数在上取最大值，

因为函数在上的最大值为，

所以，解得，.

（2），即，，

结合正弦函数性质易知，

即，

解得，

故的取值集合为.

22.（1）连接BD，交AC于点O，连接PO，如图所示，

∵底面ABCD为矩形，∴O为AC，BD的中点，

又∵，，∴，，

又∵，∴平面ABCD，

∵平面PAC，

∴平面平面ABCD.

（2）∵，，

∴，∴，

在中，，∴，

∴在中，，

在中，，，

∴，

∵，∴，

设点B到平面PCD的距离为h，

由等体积法可知，

又∵平面ABCD，∴PO为点P到平面BCD的距离，

∴，

∴，

即点B到平面PCD的距离为.