2023年新高考数学一轮复习单元过关检测06《平面向量、复数》（2份打包，解析版+原卷版）

单元过关检测六　平面向量、复数

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．[2022·辽宁抚顺模拟]已知(i－1)z＝i，复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

2．若向量a＝(2,7)，b＝(m，m－2)，a∥b，则m＝(　　)

A．－  B．－

C.      D.

3．[2022·湖北武昌模拟]已知向量a＝(1,3)，则下列向量中与a垂直的是(　　)

A．(0,0)  B．(－3，－1)

C．(3,1)  D．(－3,1)

4．[2022·衡水中学高三测试]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)

A.＋  B.＋

C.＋  D.＋

5．[2022·山东淄博模拟]已知向量a、b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝(　　)

A．3  B.

C．7  D.

6．[2022·福建厦门模拟]△ABC中，CA＝2，CB＝4，D为CB的中点，＝2，则·＝(　　)

A．0    B．2

C．－2  D．－4

7．[2021·辽宁沈阳三模]在三角形ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ＝(　　)

A．1  B.

C.    D．2

8．[2022·湖南长郡中学月考]已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(＋)·的最小值是(　　)

A．－2  B．－

C．－3  D．－4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．[2022·河北邢台月考]若复数z满足iz＝－2＋i(其中i是虚数单位)，则(　　)

A．z的实部是2  B．z的虚部是2i

C.＝1－2i      D．|z|＝

10．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(2，t)，下列说法正确的是(　　)

A．若(a＋b)∥c，则t＝6

B．若(a＋b)⊥c，则t＝

C．若t＝1，则cos 〈a，c〉＝

D．若向量a与向量c夹角为锐角，则t >－1

11.

已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，＝c，则下列命题中正确命题为(　　)

A.＝c－b

B.＝a＋b

C.＝b－a

D.＋＋＝0

12．[2022·湖南岳阳一中月考]在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论正确的是(　　)

A.＝－

B.＝－

C．存在△ABC，使得·＝0

D．存在△ABC，使得∥(＋)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．[2022·天津和平模拟]若复数z＝，则z＝________.

14．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(0,1)，则|a－b|的最大值为________；若a⊥b，则tan θ＝________.

15．设e1，e2是两个不共线的单位向量，若＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，＝e1＋ke2，且A，C，D三点共线，则实数k的值为________．

16．已知点P为△ABC内一点，2＋3＋5＝0，若F为AC中点，G为BC中点，＝________.△APB，△APC，△BPC的面积之比为________．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)[2022·江苏镇江一中月考]在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.

(1)求向量，，对应的复数；

(2)若ABCD为平行四边形，求D点对应的复数．

18．(12分)已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)．

(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；

(2)当t∈时，求|a－tb|的取值范围．

19．(12分)[2022·湖北武汉模拟]如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设＝a，＝b.

(1)若＝xa＋yb，求x，y的值；

(2)若||＝2，∠BAD＝60°，求·的值．

20．(12分)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1.

(1)若|b|＝2，求|a＋b|；

(2)若(a＋b)⊥(a－b)，λ∈R，求|a＋λb|的最小值．

21．(12分)[2022·广东顺德一中月考]△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bc＝6,0<·≤3，设和的夹角为θ.

(1)求θ的取值范围；

(2)求函数f(θ)＝2sin2－cos 2θ的最大值与最小值．

22．(12分)[2022·山东滨州模拟]在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2.

(1)若∠ABD＝，求BC的长；

(2)若AC＝3，求cos ∠BAD.

单元过关检测六　平面向量、复数

1．答案：A

解析：∵z＝＝＝－i，∴＝＋i，

复数z的共轭复数在复平面内对应的点是，在第一象限．

2．答案：B

解析：∵a∥b，∴2(m－2)＝7m，解得：m＝－.

3．答案：D

解析：对于A选项，零向量与任何非零向量平行，A选项不满足条件；

对于B选项，∵1×(－3)＋3×(－1)＝－6≠0，B选项不满足条件；

对于C选项，∵1×3＋3×1＝6≠0，C选项不满足条件；

对于D选项，∵1×(－3)＋3×1＝0，D选项满足条件．

4.

答案：B

解析：∵M为BC的中点，

∴＝(＋)

＝(＋)＋，

又＝－2，∴＝，

∴＝＋＝＋.

5．答案：D

解析：由已知可得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，则a·b＝，

因此，|2a＋b|＝＝＝.

6．答案：A

解析：△ABC中，依题意＝－＝－，

＝＋＝＋＝＋(－)＝(＋2)，

·＝(－2)·(＋2)＝(2－42)＝(42－4·22)＝0.

7．答案：B

解析：根据题意得点D为线段AB三等分点靠近B点的点，点E为线段AC三等分点靠近C点的点，

所以＝＋＝＋＝＋x(－)＝x＋(1－x)＝x＋(1－x)，

所以μ＝x，λ＝(1－x)，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.

8．答案：B

解析：四边形ABCD是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：

则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，设点P(x，y)，

＝(－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(2－x,2－y)，

于是得：(＋)·＝(2－2x，－2y)·(2－x,2－y)＝2(x－1)(x－2)＋2y(y－2)＝2(x－)2＋2(y－1)2－，

当x＝，y＝1时，(＋)·取得最小值－，所以(＋)·的最小值是－.

9．答案：CD

解析：依题意iz＝－2＋i，两边乘以i得－z＝－1－2i，z＝1＋2i，

所以z的实部为1，虚部为2，所以AB错误．

＝1－2i，所以C正确．

＝＝，所以D正确．

10．答案：BC

解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,1)，∴a＋b＝(－1,3)，∵c＝(2，t)，∴a·c＝2t＋2

若(a＋b)∥c，∵c＝(2，t)，∴－1×t＝2×3，∴t＝－6，故A不正确；

若(a＋b)⊥c，∵c＝(2，t)，∴－1×2＋t×3＝0，∴t＝，故B正确；

若t＝1，则c＝(2,1)，∵a·c＝2t＋2＝4，|a|＝，|c|＝，

∴cos 〈a，c〉＝＝＝，故C正确；

若向量a与向量c夹角为锐角，则a·c>0，

∵a＝(1,2)，c＝(2，t)，∴a·c＝1×2＋2×t>0，∴t>－1

若向量a与向量c平行，则1×t＝2×2，t＝4，故向量a与向量c夹角为锐角时t>－1且t≠4，故D不正确．

11．答案：BCD

解析：＝＝(＋)＝(b＋c)，A错误．

＝＋＝＋＝a＋b，B正确．

＝(＋)＝(b－a)，C正确．

＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(－＋－＋－)＝0，D正确．

12．答案：BC

解析：

因为在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，

所以＝(＋)＝＋＝－＋(－)＝－，所以A错误，B正确，

对于C，由·＝0，可得·＝0，所以2－·＝0，

即||2－3||·||cos A＝0，所以当cos A＝时，·＝0，所以C正确，

对于D，取AB的中点F，连接CF，则＋＝2，若∥(＋)，则可得∥，所以C，E，F三点共线，因为EF∥BC，所以CE∥BC，这显然不可能，所以不存在△ABC，使得∥(＋)，所以D错误．

13．答案：＋i

解析：z＝＝＝＝＝＝＝＋i.

14．答案：2　0

解析：由题意，得a－b＝(cos θ，sin θ－1)，所以|a－b|＝＝，所以当sin θ＝－1时，|a－b|取得最大值2；由a⊥b，得a·b＝cos θ·0＋sin θ·1＝0，所以sin θ＝0，所以tan θ＝＝0.

15．答案：

解析：因为A，C，D三点共线，设＝m，

且＝＋＝2e1－e2＋3e1＋3e2＝5e1＋2e2，

5e1＋2e2＝m(e1＋ke2)，即5e1＋2e2＝me1＋mke2，因此，解得.

16．答案：　532

解析：因为2＋3＋5＝0，所以2(＋)＝－3(＋)，

因为F为AC中点，G为BC中点，

所以＋＝2，＋＝2，所以2＝－3，所以F、P、G三点共线，且PF＝PG

易知GF为三角形ABC的中位线，

设△APC中PC边上的高为h1，△BPC中PC边上的高为h2，

所以＝＝＝＝，而S△APB＝S△ABC，

所以△APB，△APC，△BPC的面积之比为532.

17．解析：(1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i，∴A(1,0)，B(2,1)，C(－1,2)，

∴＝(1,1)，＝(－2,2)，＝(－3,1)，

∴向量，，对应的复数为1＋i，－2＋2i，－3＋i；

(2)设D(x，y)，则＝(x－1，y)＝＝－＝(－3,1)，故x＝－2，y＝1；

故D点对应的复数为－2＋i.

18．解析：(1)因为a＝(1，)，b＝(－2,0)，所以a－b＝(3，)，

设a－b与a之间的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，因为θ∈[0，π]，

所以a－b与a之间的夹角为.

(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4＋4t＋4t2＝(2t＋1)2＋3，因为t∈[－1,1]，

所以|a－tb|2∈[3,12]，故|a－tb|的取值范围是[，2]．

19．解析：(1)在菱形ABCD中，DE∥AB，所以△DEF∽△BAF，

则＝＝，可得＝，＝＝－，所以x＝，y＝－.

(2)＝＋，＝－

·＝(＋)·(－)＝2－2－·＝4－2－2×cos 60°＝1.

20．解析：(1)a·b＝|a||b|cos 60°＝1，

|a＋b|＝＝

＝＝.

(2)∵(a＋b)⊥(a－b)，

∴(a＋b)·(a－b)＝0，

∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 60°＝，

∴|a＋λb|＝

＝

＝ ，

当λ＝－时，|a＋λb|的最小值为.

21．解析：(1)∵0<·≤3，

又∵·＝||·||·cos θ＝bc·cos θ，∴0<bc·cos θ≤3，

∵bc＝6，∴0<cos θ≤，∵θ∈(0，π)，∴θ∈.

(2)∵f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos 2θ＝1－cos －cos 2θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＝1＋2

＝1＋2sin，

∵θ∈，2θ－∈，

当2θ－＝，即θ＝时min＝；

当2θ－＝，即θ＝时max＝1；

∴1≤2sin≤2，即2≤1＋2sin≤3，故f(θ)的最大值为3，最小值为2.

22．解析：(1)在△ABD中，AB＝4，AD＝2，∠ABD＝，

由正弦定理得，＝，所以sin ∠ADB＝＝1，

因为0<∠ADB<π，所以∠ADB＝.

所以BD＝2，所以DE＝BE＝，AE＝.

所以cos ∠AED＝cos ∠BEC＝.

因为＝2，所以EC＝.

由余弦定理得，BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cos∠BEC＝2＋－2×××＝，所以BC＝.

(2)因为AC＝3，＝2，所以AE＝2.

设DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得cos ∠ADB＝.

在△AED中，由余弦定理得，cos ∠ADB＝，所以＝，解得x＝2.

所以BD＝4.

在△ABD中，由余弦定理得，cos ∠BAD＝＝＝－.