2023年新高考数学一轮复习单元过关检测07《立体几何与空间向量》（2份打包，解析版+原卷版）

单元过关检测七　立体几何与空间向量

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．[2022·山东潍坊模拟]在空间中，下列命题是真命题的是(　　)

A．经过三个点有且只有一个平面

B．平行于同一平面的两直线相互平行

C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等

D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面

2．[2022·辽宁沈阳模拟]已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为(　　)

A.π  B.

C.π  D.

3．[2022·湖南雅礼中学月考]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是(　　)

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行

B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面

C．若m⊥α，n∥α，则直线m与n一定垂直

D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行

4.

如图，E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，若BD1∥平面B1CE，则(　　)

A．BD1∥CE    B．AC1⊥BD1

C．D1E＝2EC1  D．D1E＝EC1

5．[2022·广东汕头模拟]在四面体A­BCD中，AB⊥底面BCD，AB＝BD＝，CB＝CD＝1，则四面体A­BCD的外接球的表面积是(　　)

A．π   B．2π

C．3π  D．4π

6.

[2022·河北沧州模拟]如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的2倍，则AB与平面BCD所成的角为(　　)

A.  B.

C.  D.

7.

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，则以下结论错误的是(　　)

A．BD∥平面CB1D1

B．AD⊥平面CB1D1

C．AC1⊥BD

D．异面直线AD与CB1所成的角为45°

8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠BAC＝30°，D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使得二面角P­BD­C为60°，则三棱锥P­BDC的体积为(　　)

A．2  B．4

C.     D．2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．[2022·湖北黄冈中学月考]若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，正确的是(　　)

A．若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线

B．若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直

C．若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m异面的直线

D．若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线

10．[2022·福建漳州模拟]已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列结论正确的是(　　)

A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b

B．若b∥α，b⊂β，α∩β＝a，则a∥b

C．若a⊂α，b⊂β，a⊥b，则α⊥β

D．若a∥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β

11．[2022·山东日照模拟]已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，以下结论正确的是(　　)

A．四边形BFD1E不一定是平行四边形

B．平面α分正方体所得两部分的体积相等

C．平面α与平面DBB1可以垂直

D．四边形BFD1E面积的最大值为

12．[2021·新高考Ⅰ卷]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则(　　)

A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值

B．当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值

C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP

D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．[2022·湖北荆州模拟]某圆柱的侧面展开图是面积为4π2的正方形，则该圆柱一个底面的面积为________．

14．如图所示的是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱________所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直．

15．[2022·北京101中学月考]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2，BB1＝3，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

16．[2022·山东济宁模拟]农历五月初五是中国的传统节日——端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽粒”，故称“角黍”．同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图(1)的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图(2)的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为________．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)[2022·山东潍坊四中月考]如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D1为A1C1上的中点．

(1)求证：BC1∥平面AB1D1；

(2)设三棱锥A－A1B1D1的体积为V1，三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V2，求.

18．(12分)[2022·北京三中月考]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

(1)求证：BD1∥平面ACE；

(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

19.

(12分)[2022·广东湛江模拟]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．

(1)证明：平面ACE⊥平面PBC.

(2)若BC＝3，求二面角A­CE­D的余弦值．

20．(12分)[2021·新高考Ⅰ卷]如图，在三棱锥A ­ BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E ­ BC ­ D的大小为45°，求三棱锥A ­ BCD的体积．

21．(12分)[2022·河北唐山模拟]在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，CD＝2，PD⊥BC，AC⊥PB.

(1)证明：PD⊥平面ABCD；

(2)若二面角D­PB­C的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

22．(12分)[2022·山东菏泽模拟]如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B＝90°且AD∥BC，若AD＝2BC＝2，AB＝，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．

图①　　　　　　　　　图②　　　

(1)若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；

(2)若EC＝2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E­AD­F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．