2023年新高考数学一轮复习单元过关检测08《平面解析几何》（2份打包，解析版+原卷版）

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单元过关检测八　平面解析几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·河北石家庄二中月考]若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于(　　)A．－1    B．1C.       D．－2．已知双曲线E：－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则E的焦距等于(　　)A.        B．2C．2      D．43．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　)A．1           B．2C．2         D．44．[2022·山东省实验中学模拟]已知两圆相交于两点A(1,3)，B(t，－1)，两圆圆心都在直线x＋2y＋c＝0上，则t＋c的值为(　　)A．－3      B．－2C．0        D．15．[2022·福建莆田模拟]已知抛物线x2＝2py(p≠0)的准线与圆x2＋(y－2)2＝9相切，则p＝(　　)A．2         B．6或－6C．－2或10  D．2或－106．已知F1是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点P在双曲线上，直线PF1与x轴垂直，且|PF1|＝a，那么双曲线的离心率是(　　)A.  B.C．2  D．37．[2022·湖北武汉模拟]某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝(　　)A．2      B．2C．2         D．48．已知椭圆＋＝1的右焦点为F，A是椭圆上一点，点M，则△AMF的周长最大值为(　　)A．14  B．16C．18  D．20二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知双曲线C：9x2－16y2＝144的左右焦点分别为F1、F2，点P为C上的一点，且|PF1|＝6，则下列说法正确的是(　　)A．△PF1F2的周长为30B．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0C．双曲线的离心率为D．点P在椭圆＋＝1上10．[2022·辽宁沈阳模拟]已知曲线C: －＝1(mn≠0)，则下列命题中为真命题的是(　　)A．若m＋n＝0，则C是圆B．若m>0，n<0，且m＋n≠0，则C是椭圆C．若mn>0，则C是双曲线，且渐近线方程为y＝± xD．若0<m<1，n<－1，则C是椭圆，其离心率为 11．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切12．[2022·湖南益阳模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则(　　)A．C的准线方程为y＝－1B．线段PQ长度的最小值为4C．S△OPQ≥2D.·＝－3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2022·河北保定模拟]若抛物线C：y2＝2px上的一点A到它的焦点的距离为6，则p＝________.14．[2022·山东青岛模拟]若圆C：x2＋y2＋6x－2y＋n＝0截直线l：(2＋m)x＋(2m－1)y－5m＝0所得的最短弦长为4，则实数n＝________.15．[2022·湖南岳阳模拟]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则该双曲线的方程为________．16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，过右焦点F2的直线l与圆x2＋y2＝b2相切于点P，与椭圆相交于A，B两点，点A在x轴上方，且切点P恰为线段AF2的中点，则椭圆的离心率为________，直线l的斜率为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且|BF|＝4.(1)求抛物线C的方程；(2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点(1,0)的直线m与抛物线C交于D，E两点．记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝，求直线m的方程．          18．(12分)[2022·河北邯郸模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点.(1)求椭圆方程；(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x＝上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N.          19．(12分)[2022·辽宁实验中学模拟]已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM和BM的斜率之积为－，记M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)问在第一象限内曲线C上是否存在点P使得∠PBA＝2∠PAB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．          20．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点M在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(1，t)为椭圆C上一点，过点F2的直线l与椭圆C交于异于点P的A，B两点，若△PAB的面积是，求直线l的方程．           21．(12分)已知抛物线C：y2＝4px(p>0)的焦点为F，且点M(1,2)到点F的距离比到y轴的距离大p.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l：x－m(y＋2)－5＝0与抛物线C交于A，B两点，问是否存在实数m使|MA|·|MB|＝64？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．        22．(12分)[2022·重庆一中月考]双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的顶点与椭圆C1：＋y2＝1长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为y＝x.(1)求双曲线C2的方程；(2)过双曲线C2右焦点F作直线l1与C2分别交于左右两支上的点P，Q，又过原点O作直线l2，使l2∥l1，且与双曲线C2分别交于左右两支上的点M，N.是否存在定值λ，使得·＝λ？若存在，请求λ的值；若不存在，请说明理由．          单元过关检测八　平面解析几何1．答案：B解析：由已知条件可得1×2－2m＝0，解得m＝1.2．答案：D解析：双曲线E：－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，可得：b＝1，所以c＝＝＝2，所以焦距为2c＝4.3．答案：B解析：抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝＝，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.4．答案：A解析：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB与直线x＋2y＋c＝0垂直，且AB的中点在这条直线x＋2y＋c＝0上；由AB与直线x＋2y＋c＝0垂直，可得＝2，可解得t＝－1，则B(－1，－1)，故AB中点为(0,1)，且其在直线x＋2y＋c＝0上，代入直线方程可得，0＋2×1＋c＝0，可得c＝－2；故t＋c＝(－1)＋(－2)＝－3.5．答案：D解析：圆x2＋(y－2)2＝9与y轴的交点为A(0，－1)、B(0,5)，抛物线x2＝2py(p≠0)的准线方程为y＝－，由题意可得－＝－1或－＝5，解得p＝2或－10.6．答案：A解析：F1的坐标为(－c,0)，设P点坐标为(－c，y0)，易得－＝1，解得y0＝，因为直线PF1与x轴垂直，且|PF1|＝a，所以可得＝a，则a2＝b2，即a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2，离心率为e＝.7．答案：B解析：方法一：设直线x＋2y＋1＝0与直线3x－4y＋c2＝0的交点为A，则，解得，故A，同理设直线x＋2y＋1＝0与直线3x－4y＋c1＝0的交点为B，则B，设直线x＋2y＋3＝0与直线3x－4y＋c1＝0的交点为C，则C，设直线x＋2y＋3＝0与直线3x－4y＋c2＝0的交点为D，则D，由菱形的性质可知BD⊥AC，且BD，AC的斜率均存在，所以kBD·kAC＝－1，则·＝－1，即＝－1，解得|c1－c2|＝2.方法二：由菱形两组对边间的距离相等，得＝，解得|c1－c2|＝2.8．答案：C解析：如图所示设椭圆的左焦点为F′，则F(3,0)，F′(－3,0)|MF|＝＝5＝|MF′|，则|AF|＋|AF′|＝8，∵|AM|－|AF′|≤|MF′|，∴△APF的周长＝|AF|＋|AM|＋|MF|＝|AM|＋|MF|＋8－|AF′|≤5＋8＋5＝18，当且仅当三点M，F′，A共线时取等号．∴△APF的周长最大值等于18.9．答案：ABD解析：双曲线标准方程为－＝1，a＝4，b＝3，|PF1|＝6<2a＝8，P在左支上，|PF2|＝6＋8＝14，△PF1F2的周长为30，A正确；渐近线方程为±＝0，即3x±4y＝0，B正确；离心率为e＝＝，C错；|PF1|＋|PF2|＝20，因此P在椭圆＋＝1(此椭圆是以F1，F2为焦点，长轴长为20的椭圆)上，D正确．10．答案：BC解析：对于A：若m＝－1，则n＝1，原方程为－＝1，此时曲线C不存在，故A不正确；对于B：由已知得＋＝1，又m>0，n<0，且m＋n≠0，所以＋＝1表示椭圆，故B正确；对于C：若mn>0，则C是双曲线，但渐近线方程为y＝± x，故C正确；对于D：由已知得＋＝1，又0<m<1，n<－1，所以－n>1，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，所以a2＝－n，b2＝m，c2＝a2－b2＝－n－m，其离心率为e＝＝，故D不正确．11．答案：ABD解析：圆心C到直线l的距离d＝，若点A在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.12．答案：BCD解析：因为焦点F到准线的距离为p＝2，所以抛物线C的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，则选项A错误；当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1,2)，Q(1，－2)，所以|PQ|＝4，则选项B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1，联立x＝my＋1，y2＝2px，消去y可得x2－(4m2＋2)x＋1＝0，消去x可得y2－4my－4＝0，所以x1＋x2＝4m2＋2，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，S△OPQ＝|OF||y1－y2|＝×1×＝×≥2，当m＝0时成立，则选项C正确；又x1x2＝1，y1y2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，则选项D正确．13．答案：8解析：根据抛物线的定义知＋＝6，所以p＝8.14．答案：－15解析：易知圆C的圆心为C(－3,1)，半径r＝，直线(2＋m)x＋(2m－1)y－5m＝0恒过点M(1,2)．又|MC|＝＝，当MC⊥l时，所得弦最短，此时弦长为2 ＝2 ＝4，解得r＝5，所以＝5，解得n＝－15.15．答案：－y2＝1解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，所以2c＝2，得c＝，因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以·(－2)＝－1，即a＝2b，因为c2＝a2＋b2，所以5b2＝5，所以b＝1，a＝2，所以双曲线方程为－y2＝1.16．答案：　－2解析：∵P为AF2的中点，O为F1F2的中点，∴|OP|＝|AF1|＝b，且OP⊥AF2，∴|AF1|＝2b，|AF2|＝2|PF2|＝2，由椭圆的定义知2b＋2＝2a，化简得＝，∴e＝＝＝，tan∠OF2P＝＝＝2，∴直线l的斜率为－2.17．解析：(1)由题意B，代入y2＝2px，得p2＝16，p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)当直线m的斜率不存在时，k1＋k2＝0与题意不符，所以直线的斜率一定存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)代入到y2＝8x中，k2x2－(2k2＋8)x＋k2＝0，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则，k1＋k2＝＋＝＋＝＝＝∴k＝，所以直线m的方程为4x－3y－4＝0.18．解析：(1)椭圆过点，即＋＝1，又2c＝2，得a2＝b2＋3，所以a2＝4，b2＝1，即椭圆方程为＋y2＝1；(2)由，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，设AB的中点M为(x0，y0)，得x0＝－＝，即1＋4k2＝－8km，所以y0＝kx0＋m＝k－＝－.所以AB的中垂线方程为y＋＝－，即y＝－，故AB的中垂线恒过点N.19．解析：(1)设M(x，y)，由题意可得，kAM·kBM＝·＝＝－(x≠±2)，化简可得＋y2＝1(x≠±2)，故曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±2)；(2)设P(x，y)(x>0，y>0)，且＋y2＝1(x≠±2)，①tan∠PBA＝，tan∠PAB＝，因为∠PBA＝2∠PAB，所以tan∠PBA＝tan2∠PAB，即＝，化简可得3x2＋4x－y2－4＝0，②由①②可得，13x2＋16x－20＝0，解得x＝或x＝－2(舍)，此时y＝，所以第一象限内曲线C上存在点P使得∠PBA＝2∠PAB.20．解析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意可得解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)因为P(1，t)在椭圆C上，所以＋＝1，解得|t|＝.①当直线l的斜率为0时，|AB|＝2a＝4，则△PAB的面积为|AB||t|＝×4×＝3.因为△PAB的面积是，所以直线l的斜率为0不符合题意．②当直线l的斜率不为0或斜率不存在时，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.则y1＋y2＝－，y1y2＝－.故|AB|＝|y1－y2|＝·＝.因为点P到直线l的距离d＝＝，所以|AB|d＝××＝.因为△PAB的面积是，所以＝，整理得31m4＋m2－32＝0，解得m2＝1，即m＝±1.故直线l的方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0.21．解析：(1)由点M到点F的距离比到y轴的距离大p，得点M到点F的距离与到直线x＝－p的距离相等．由抛物线的定义，可知点M在抛物线C上，所以4＝4p，解得p＝1 所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)存在．由得y2－4my－8m－20＝0.因为Δ＝16m2＋4(8m＋20)>0恒成立，所以直线l与抛物线C恒有两个交点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4(2m＋5)．因为·＝(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝＋(y1－2)(y2－2)＝－＋y1y2－2(y1＋y2)＋5＝－－4(2m＋5)－8m＋5＝0所以MA⊥MB，即△MAB为直角三角形．设d为点M到直线l的距离，所以|MA|·|MB|＝|AB|·d＝··＝4|1＋m|＝16|1＋m|＝64，所以(m＋1)4＋4(m＋1)2－32＝0，解得(m＋1)2＝4或(m＋1)2＝－8(舍)．所以m＝1或m＝－3.所以当实数m＝1或m＝－3时，|MA|·|MB|＝64.22．解析：(1)由椭圆C1：＋y2＝1得到：a＝，双曲线的渐近线方程为y＝x，得到：＝，解得：b＝1.则双曲线C2的方程－y2＝1.(2)若存在定值λ，使得·＝λ，∵与同向，∴λ＝，∵F(2,0)，设l1：x＝ty＋2，由消去x整理得：(t2－3)y2＋4ty＋1＝0，∴，由l1交C2左右两支于P、Q两点，有，即，则t2－3>0，||＝|y1－y2|＝＝＝，由于l2∥l1，可设l2：x＝ty，由消去x整理得：(t2－3)y2＝3，∴y2＝，由此||2＝(|y－(－y)|)2＝(1＋t2)·4y2＝，∴λ＝＝2，故存在定值λ＝2，使得||·＝λ.