2021-2022学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）入学数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的为(    )

A.  B.
C.  D.

2. 分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 缩小倍 D. 不变

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图所示，在中，，，为的中垂线，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7. “双”前，小明的妈妈花了元钱在淘宝上购买了一批室内拖鞋，在“双”大减价期间她发现回款的拖鞋单价每双降了元，于是又花了元钱购买了一批回款室内拖鞋，且比上次还多了双．若设拖鞋原价每双为元，则可以列出方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如果关于的分式方程无解，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若，，，则，，的大小关系式(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：；；
    ；．
    其中结论正确的个数是(    )

1.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 在中，的取值范围为______．
12. 把多项式分解因式的结果是______ ．
13. 已知实数满足，则的值为______ ．
14. 已知，则的值为______．
15. 如图，在中，，，的面积为，垂直平分，分别交边，于点，，点为直线上一动点，点为的中点，连接，，则的最小值为______．

16. 冬季奥运主题活动中，西雅中学某班设计如图的“红色微章”，其设计原理是：如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 解分式方程：
    ；
    ；
20. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简．

21. 已知：为等边三角形，点、分别在和上，并且，连接、相交于点，过点作于点．
    求证：；
    若，，求的长．

22. 如图，点为线段上一点，以线段为腰作等腰直角，，点为延长线上一点，且，连接，，点为延长线上一点，连接，．
    求证：≌；
    试判断与的位置关系，并证明；
    若平分，当，，求线段的长．

23. 华星商店准备从阳光机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多元，用元购进甲种零件的数量是用元购进乙种零件的数量的倍．
    求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
    华星商店甲种零件每件售价为元，乙种零件每件售价为元，商店根据市场需求．决定向该厂购进一批零件、且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的倍还多个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利不少于元、求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
24. 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数分式拆分成一个整数整式与一个真分数分式的和差的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
    如：，这样分式就拆分成一个分式与一个整式的和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：
    假分式用分离常数法可化为______形式；
    利用分离常数法，求分式的取值范围；
    若分式拆分成一个整式与一个分式分子为整数的和差的形式为：，求的最小值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知，且、满足
    求点的坐标；
    如图，已知点，点、关于轴对称，连接交轴于，交的延长线于，求：的值；
    如图，若点、，连、，试确定的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，且，

故选：．
根据分式的值为的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用公式法对、进行判断；根据十字相乘法对进行判断；根据提公因式对进行判断．
本题考查了因式分解十字相乘法等：对于型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是的二次三项式因式分解：．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是整体代入．
把原分式中的换成，把换成进行计算，再与原分式比较即可．
【解答】
解：把原分式中的换成，把换成，那么
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，，垂直平分，
，，
，
中，，
，
，
平分，
，，
，
故答案为：，
故选：．
根据垂直平分线的性质和含的直角三角形的性质解答即可．
此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含的直角三角形的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：设拖鞋原价每双为元，则“双”大减价期间该款拖鞋价格每双为元，
依题意，得：．
故选：．
设拖鞋原价每双为元，则“双”大减价期间该款拖鞋价格每双为元，根据购买数量总价单价结合减价后购买的数量比原价时购买的数量多双，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程无解，得到，
解得：，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可．
此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
分别根据任何非数的次幂等于，平方差公式和幂的运算求出，，，再根据有理数的比较法则判断即可．
本题主要考查了有理数大小比较方法，熟记幂的运算法则以及平方差公式是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，即，
在和中，
，
≌，
，本结论正确；
≌，
，
，
，
，
则，本结论正确；
为等腰直角三角形，
，
，

，本结论正确；
，，，
，故本结论正确，
故选：．
由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出≌，由全等三角形的对应边相等得到；
由≌得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于；
由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到；
由，，，推出即可证明；
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件是分母不等于，二次根式的被开方数是非负数，故，解不等式即可求得的范围．
本题考查了二次根式有意义的条件．要使得本题式子有意义，必须满足分母不等于．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行二次分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：将两边平方，
可得：，
解得：，
故答案为：．
将两边平方后，再整体代入解答即可．
此题考查完全平方公式，关键是把原式两边平方变形．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
．
即．
．
故答案为：．
分式先加减变形，再代入求值．
本题考查了分式的加减和求分式的值．题目比较简单，掌握分式的加减法法则是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

是的垂直平分线，
点与关于对称，
，
此时，最小值为的长，
，点为的中点，
，
，的面积为，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，，由是的垂直平分线，得点与关于对称，则最小值为的长，再运用面积即可求出的长．
本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题，将最小值转化为的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：
，
，，
，
．
故答案为：．
利用正方形的面积减去空白部分的面积求出阴影部分的面积，结合，求出与的比值．
本题考查了三角形的面积、正方形的面积、完全平方公式的应用．要求学生用分割法求出阴影部分的面积．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】先计算开平方，去绝对值，零指数幂及负整数指数幂，再进行加减运算即可．
此题考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
先化简分式，然后将的值代入即可．
 

19.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

20.【答案】解：由题意知：，，，
原式


． 

【解析】根据数轴可知，，，再化简即可．
本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握是解题的关键．
 

21.【答案】证明：为等边三角形，
，
在与中，
，
≌，
；
≌，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明≌，进而解答即可；
根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

22.【答案】证明：是等腰直角三角形，，
，，
，
又，
在和中，

≌；
解：，证明如下：
延长交于，如图所示：
由得：≌，
，
，，
，
，
；
解：平分，
，
由得：，
在和中，

≌，
，
，
设，则，
，，，
，
又，
，
解得：，
． 

【解析】由证明≌即可；
延长交于，由全等三角形的性质得，再由直角三角形的性质和对顶角相等证明，则，即可得出结论；
证≌，得，设，则，得，，，求出，再由三角形面积求出，即可求解．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明≌和≌是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每个甲种零件为元，每个乙种零件的进价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
．
答：每个甲种零件为元，每个乙种零件的进价为元；

设购进甲种零件个，由题意得：
，
解得：．
答：该商店本次购进甲种零件至少是个． 

【解析】设每个甲种零件为元，每个乙种零件的进价为元，根据关键语句“用元购进甲种零件的数量是用元购进乙种零件的数量的倍”可得方程，再解方程即可；
设购进甲种零件个，则购进乙种零件个，根据题意可得不等关系：甲零件的利润乙零件的利润元，根据不等关系列出不等式，解出解集，即可确定答案．
此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键是弄清题目意思，算出甲、乙两种零件的单价．
 

24.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
，

，
．
．



，
又原分式，
，
解得．





，
，
，
最小值为．
仿照题干例题分离常数即可．
分离常数后，求出分式部分范围即可确定整体范围．
仿照例题分离常数，求出对应的，值，代入计算即可．
本题考查分式的基本性质，理解并能运用“分离常数法”是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得，，，
则，
，
点的坐标为；
设与轴交于点，

，点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，，
点、关于轴对称，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
：：；
作点关于轴的对称点，过点作轴于，连接、，

由题意得，，，
在和中，
，
≌，
，，
为等腰直角三角形，
． 

【解析】根据二次根式的性质分别求出、的值，得到点的坐标；
证明为等腰直角三角形，得到≌，得到，计算即可；
作点关于轴的对称点，过点作轴于，连接、，证明≌，根据全等三角形的性质证明．
本题考查的是二次根式的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．