人教版七年级上册数学学案（无答案，90页）

这是一份人教版七年级上册数学学案（无答案，90页），共87页。

第一章 有理数
1.1 正数和负数
学习目标：1.了解正数和负数是从实际需要中产生的.2.理解正数、负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法.
3.会用正数、负数表示具有相反意义的量.（重点、难点）
重点：理解正数、负数及0的意义.难点：会用正数、负数表示具有相反意义的量.
一、知识链接
1.小学数学中我们学过哪些数？请写出来：_____________________________________.
2.想一想：这些数足够表示我们生活中常见的量吗？有比0小的数吗？请根据实际生活举出实例.
_______________________________________________________________________.
二、新知预习
1.根据实际生活的需要，人们引进了另一种数，你知道是什么数吗？观察以下生活实例（图片和新闻报道），回答问题：







新闻报道：某年，我国花生产量比上年增长1.8%，油菜籽产量比上年增长-2.7%.
问题1：说一说上面用到的各数的含义.
（1）天气预报中的3，电梯按钮中的1-10，新闻报道中的1.8%；
（2）天气预报中的-3，电梯按钮中的-1，-2，新闻报道中的-2.7%.

问题2：上面这两类数，分别属于什么数？

2.自主归纳：
像1,2,3，1.8％这样大于0的数叫做 数.
像-3，-1，-2，-2.7％这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做 数.
注意：有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号，如+3，+1.8％，+0.5，….不过一般情况下我们省略“+”不写.
三、自学自测
1.下列各数中，负数是（ ）
A.2.03 B.-2.03 C.+2.03 D.0
2.下列各数：①+5.6；②-5；③6.13；④-0.12；⑤0.其中，正数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
课堂探究
一、 要点探究
探究点1：正、负数的认识
问题1： (1)负数有什么特点？(2)如果一个数不是正数就是负数，对吗？


问题2：0只表示没有吗?


要点归纳：引入正、负数后，0不再简简单单的只表示没有.它具有丰富的意义,是正负数的分界点.
典例精析
例1 读出下列各数，并把它们填在相应的圈里：

-11, ,+73, ,-2.7,4.8,

正数 负数

方法总结：比0大的数是正数，在正数前面加上“-”的数是负数，0既不是正数也不是负数.
探究点2：用正负数表示具有相反意义的量
问题1：判断下面每对量是不是具有相反意义的量.
（1） 节约13m3水和浪费4m3的水；
（2） 电梯上升2层和下降5层；
（3） 小明向支付宝转入300元后又支出100元.


要点归纳：具有相反意义的量包含两层含义：一是意义相反，二是必须含有具体的量．
问题2：以下是生活中遇到的一些数量，你会用正负数来表示它们吗？
甲汽车向东行驶3km，乙汽车向西行驶1km.
蔬菜店购进黄瓜50kg，蔬菜店售出黄瓜2kg.
典例精析
例2 一物体沿东西两个相反的方向运动时，可以用正、负数表示它们的运动．
（1）如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动5m记作________.
（2）如果－7m表示物体向西运动7m，那么+6m表明物体________.
例3（1）一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；
（2）某年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：
美国减少6.4%， 德国增长1.3%， 法国减少2.4%， 英国减少3.5%，
意大利增长0.2%，中国增长7.5%.
写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率.


方法总结：根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下，把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负.
针对训练
1.填空：
（1）在知识竞赛中，如果用+10分表示加10分，那么扣20分记作________；
（2）小明家去年年收入20000元记作+20000元，那么支出15000元记作_________；
（3）如果向西走300米记作－300米，那么+400米表示________;
（4）如果零上28℃记作+28℃，那么－7℃表________ .
2.向东行进－50 m表示的意义是 （ ）
A.向东行进50 m B.向南行进50 m C.向北行进50 m D.向西行进50 m
探究点3：0的意义及用正负数表示相对基准量
问题：下图是吐鲁番盆地的示意图，你能用语言表述它与海平面的高度关系吗？它的含义是什么？

典例精析
例4：里约奥运会勇夺冠军的中国女排的平均身高为187公分，如果以平均身高为标准，
超过部分记为正数，不足部分记为负数，有5名队员分别记为+10，-5，0，+7，-2，
则她们的实际身高应是________________________.
方法总结：“0”可以表示一种基准，高于基准的量用正数来表示，低于基准的量用负数表示.解题时注意，一定要先弄清“基准”是什么，再把数据还原成原数据.
针对训练
1.下列语句正确的是 （ ）
A.0℃表示没有温度 B.0表示什么也没有 C.0是非正数
D.0既可以看作是正数又可以看作是负数
2.你能举出实际生活中0表示的实际意义吗？请举两例.

二、课堂小结
1. 正数是比零大的数，正数前面加“-”号的数叫做负数.
2. 0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界.
3. 正数和负数表示的是一对具有相反意义的量.



当堂检测
1.下列说法，正确的是 （ ）
A.加正号的数是正数，加负号的数是负数 B.0是最小的正数
C.字母a既可是正数，也可是负数，也可是0 D.任意一个数，不是正数就是负数
2.下列各对关系中，不具有相反意义的量的是（ ）
A.运进货物3吨与运出货物2吨
B.升温3℃与降温3℃
C.增加货物100吨与减少货物2000吨
D.胜3局与亏本400元
3.（1）如果零上5℃记作+5℃，那么零下3℃记作________ .
（2）东、西为两个相反方向，如果-4米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示
________ .物体原地不动记为________ .
（3）某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨，那么运出3.8吨应记作________ .
（4）抗洪期间，如果水位超过标准水位1.5米记作+1.5 米，那么后来记录的-0.9米表示_________.
4.下列各数－2，0，－1/2,－10,3.5中，是正数的有_________. .
5.把下列各数填入相应的括号内：
－28，20，0，5，0.23，-，－，－3.2%，25%，3.14，0.62.
正数集合：{ …}；
负数集合：{ … .}.
6.某银行一天内接待了四笔大业务，存款40000元，取款25000元，存款30万元，取款7
万元.若存款为正，请你用正、负数表示这四笔款项.

1.2 有理数
1.2.1 有理数
学习目标：1.掌握有理数的概念.2.会对有理数按一定的标准进行分类,培养分类能力.
重点：掌握有理数的概念.难点：会对有理数按一定的标准进行分类.
自主学习
一、知识链接

1.把下列相等的数用线连起来：
2.6
1.5
0.2
0.1











2.有限小数（如0.1,1.5）和无限循环小数（如）都可以化为_______.在以后的学习中，我们把小学学过的小数（有限小数和无限循环小数）都看成是______.
3.思考：π=3.1415926...，能化为分数吗？ 答：________.
二、新知预习
引入负数之后，我们学过的数可以怎么分类？ ？



整数 分数



正整数 正分数 负分数
【自主归纳】 整数和分数统称为 数.
三、自学自测
1.在－3，15，－0.4，0，，9.5，＋1，－20%中，正数有________________________，负数有_______________；正整数有________________，负整数有________________．
课堂探究
二、 要点探究
探究点1：有理数的概念
我们以前学过的数，像1，2，3……称为 数； ……称为 数.
那么在以上这些数的前面添上“－”号后，
－1，－2，－3……称为 数；……称为 数.
特别提示： 既不是正数，也不是负数！
要点归纳：正整数、零和负整数统称 数.正分数和负分数统称 数.
整数和分数统称 数.
注意：目前我们所学的小数都可以化成 数，所以把小数划分到 数一类.
探究点2：有理数的分类
问题1：你能根据有理数的定义对有理数分类吗？
正整数
整数 自然数
有理数 负整数

分数

问题2：如果按符号（正、负）来分类，又该怎样来分呢？
正整数

有理数 零 正分数
负整数

负分数
说明：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复；③零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
填一填: 判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”。

整数
分数
正数
负数
有理数
2017
√

√

√






-4.9





0





-12





典例精析
例1:给出下列说法：
①0是整数；② 是负分数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2:把下列各数填在相应的集合中：

正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
分数集合：{ }；
整数集合：{ }；
非负有理数集合：{ }；
有理数集合：{ }.
易错提醒：1.像+300%这种可以先化简成整数的数是整数不是分数；2.π大于0是正数不是正有理数.
针对训练
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．正整数、负整数统称整数
B．正分数、负分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负分数
D．所有的分数都是有理数
2.（1）将下列各数填入相应的圈内：.
（2）说出这个两个圈的重叠部分表示的是_________.

二、课堂小结
1.到现在为止，我们学过的数（π除外）都是有理数．
2. 有理数的分类 正整数
正整数 整数 零
正有理数 自然数 负整数
有理数 零 正分数 或有理数
负整数 正分数
分数
负有理数 负分数 负分数
3.注意0的特殊性．
当堂检测

1.下列说法中，正确的是（ ）
A.正整数、负整数统称为整数 B.正分数、负分数统称为分数
C.零既可以是正整数，也可以是负整数
D.一个有理数不是正数就是负数
2.下列各数：-2，5， ，0.63，0，7，-0.05，-6，9，， ，其中正数有____个，负数有____个，正分数有___个，负分数有____个，自然数有____个，整数有___个.
3.判 断：
（1）0是整数（ ） （2）自然数一定是整数（ ）
（3）0一定是正整数（ ） （4）整数一定是自然数（ ）
4．填空：
（1）有理数中，是整数而不是正数的________ ；
是负数而不是分数的是________ ．
（2）零是________ ，还是________ ，但不是________ ，也不是________ ．
5.把下列各数填入相应的集合内
12／7，-3.1416，0，2018，-8／5，-0.23456，10%，10.1，0.67，-89



正数集合 负数集合



整数集合 分数集合



第一章 有理数
1.2 有理数
1.2.2 数轴
学习目标：1.掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.2.会正确的画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.
重点：掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.难点：会正确的画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.
自主学习

一、知识链接
1.回忆正负数的意义并回答以下问题：
在一条东西方向的马路上，有一个学校，学校东50m和西150m处分别有一个书店和一个超市，学校西100m和东200m处分别有一个邮局和医院，以学校为“基准”，并把向东记作“+”，向西记作“-”，用正负数表示书店、超市、邮局、医院的位置.
二、新知预习
1.观察图中的温度计：
（1） 温度计上有哪三类数：______________.
（2） 如图，把温度计平放，零上温度居右，它像我们小学学过的一条_______.
（3） 按照温度计设计的方法，请你把“知识链接”中的问题，设计一条直线来表示这几个有理数.
【提示】以学校作为“0”点，用1cm表示50m作为单位长度，负数放在“0”点左边，正数在原点右边.
类似温度计，按照如下方式处理的一条直线：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做 ；
（2）通常规定直线上从原点向右（或向上）为 ，从原点向 为负方向；
（3）选取适当的长度作为 ，从直线上原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法表示-1，-2，-3，….
这样的直线叫做数轴.
【自主归纳】规定了 、 和 的直线叫做数轴.
三、自学自测
下列图形中，不是数轴的是 ( )

课堂探究

三、 要点探究
探究点1：数轴的概念及画法
问题1：什么是数轴？

注意事项：
（1）数轴是一条特殊的直线；
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度.

做一做: 判断下面哪些是数轴,哪些不是?为什么?

0

-2 -1 0 1 2


1 2 3 4



-1 -2 0 1 2


-2 -1 0 1 2


-2 -1 0 1 2


问题2：怎样画一条数轴？


探究点2：在数轴上表示有理数
思考：1.观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？

2. 每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？

3.如何用数轴上的点来表示分数或小数？如：1.5 怎样表示.


要点归纳：
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度．

典例精析

例1：在所给数轴上画出表示下列各数的点.
1，－5，－2.5，4 ，0
4


注意：
1. 把点标在线上；
2. 把数标在点的上方，以便观看.
例2 在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？



例3 从数轴上表示-1的点出发，向左移动两个单位长度到点B，则点B表示的数是 ，再向右移动5个单位长度到达点C，则点C表示的数是 .

针对训练
1.在数轴上，0和-1之间表示的点的个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
2. 点A为数轴上表示－2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的数为 ( )
A.2 B.－6 C.2或－6 D.不同于以上

二、课堂小结
1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
2.数轴的画法.
3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是正负数的分界限.

当堂检测

1.下列说法中正确的是（ ）
A. 在数轴上的点表示的数不是正数就是负数
B.数轴的长度是有限的
C. 一个有理数总可以在数轴上找到一个表示它的点
D. 所有整数都可以用数轴上的点表示，但分数就不一定能找到表示它的点
2.下图中所画的数轴，正确的是（ ）

3.与原点距离是2．5个单位长度的点所表示的有理数是（ ）
A．2．5 B．-2．5 C．±2．5 D．这个数无法确定
4.在数轴上表示数6的点在原点_______侧，到原点的距离是_______个单位长度，表示
数-8的点在原点的______侧，到原点的距离是________个单位长度．表示数6的点
到表示数-8的点的距离是_______个单位长度．
5．在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为_________．
7．画出数轴并标出表示下列各数的点.
-3，4，2．5，0，1，7，-5．

8．如图所示，在数轴上有A、B、C三个点，请回答:

（1） 将A点向右移动3个单位长度，C点向左移动5个单位长度，它们各自表示新的
什么数？
（2）移动A、B、C中的两个点，使得三个点表示的数相同，有几种移动方法？



1.2.3 相反数
学习目标：1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对
称.2.会求有理数的相反数.
重点：会求有理数的相反数.难点：借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.

自主学习

一、知识链接
1.规定了 、 、 的 叫做数轴.
2.3到原点的距离是 ，-5到原点的距离是 ，到原点的距离是6的数有 .

二、新知预习
观察下列几组数：+1和-1，+2.5和-2.5，+4和-4，并把它们在数轴上表示出来.


思考：1.上述各对数之间有何特点？

2.请写出一组具有上述特点的数.

3.表示各对数的点在数轴上有什么位置关系？

【自主归纳】1. 的两个数互为相反数.特别地， 0的相反数为 .
2.互为相反数的两个数到原点的距离 .
三、自学自测
1.-1的相反数是________;的相反数是________;0的相反数是________;a的相反数是________.
2.化简下列各数.
-[-(-1)]=_____ -[-(+1)]=_____ -[+(-1)]=_____ -[+(+1)]=_____


课堂探究

四、 要点探究
探究点1：相反数的意义
问题1：观察以下两个数，有什么相同和不同？
+3.5 -3.5

要点归纳：
像3.5和-3.5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

问题2：表示互为相反数的点在数轴上有什么位置关系？

要点归纳：
1. 表示互为相反数的两个数的点分别位于原点的两侧（0除外）；
2. 表示互为相反数的两个数的点到原点的距离_______.
3.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有_____个，它们分别在原点的______，表示_______，我们说这两点_______________.
练一练：
判断以下说法是否正确：
（1）－5是5的相反数（ ）;
（2）－5是相反数（ ）;
（3） 与互为相反数（ ）;
（4）－5和5互为相反数（ ）.
（5） 相反数等于它本身的数只有0 ﹙ ﹚
（6） 符号不同的两个数互为相反数﹙ ﹚

探究点2：多重符号的化简
问题1：a的相反数怎么表示？


问题2：若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？
a = +5， - a = -（+5） a = -7， - a = -（-7） a = 0， - a = 0
－（＋1.1）表示什么？－（－7）呢？
－（－9.8）呢？它们的结果应是多少？

问题3：在一个数前面加上“－”号表示求这个数的相反数，如果在这些数前面加上“＋”号呢？

典例精析
例1：填空
(1) -（+4）是____的相反数，-（+4)=_________.
(2)-(+1/5) 是______的相反数，-(+1/5)=______ .
(3) -(-7.1)是_______的相反数，-(-7.1)=________.
(4) -(-100)是_______的相反数，-(-100)=________
例2：化简下列各数（先读后写）
(1)-(+10) (2)+(-0.15) (3)+(+3)
(4)-(-12) (5)+[-(-1.1)] (6)-[+(-7)]



要点归纳：
（1）求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数.
（2）对于数字前面含有多个符号的数的化简，只要观察“－”号的个数即可．如果有奇数个“－”号，结果的符号就是“－”号；如果有偶数个“－”号，结果的符号就是“＋”号．

针对训练
1.下列结论正确的有（ ）
①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的数互为相反数；③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；④若有理数a,b互为相反数，则它们一定异号.
A . 1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．下列各数+（-4），-（），-[+（-）]，+[-（+）]，+[-（-4）]中，正数有（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
3.化简下列各数：
-（﹣68）= ﹣（+0.75）= ﹣（﹣）=
﹣（+3.8）= +（﹣3）= +（+6）=
4.已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A在点B的左边，则点A、B表示的数分别是 .
二、课堂小结
1.相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做 互为相反数；特别地，0的相反数是0.
2.-a表示求 a 的相反数.

当堂检测

1．-1.6是___的相反数，___的相反数是0.3．
2．下列几对数中互为相反数的一对为（ ）．
A．+(-8) 和-(+8) B．-(+8) 与 +(-8) C．-(-8) 与-(+8)
3．5的相反数是____；a的相反数是____；
4．若a=-13，则-a=_____;若-a=-6，则a=____ ．
5．若a是负数，则-a是______数；若-a是负数,则a是______数．
6. 的相反数是______，-3x的相反数是______.
1.2 有理数 1.2.4 绝对值第1课时 绝对值
重点：理解绝对值的概念及性质. 难点：会求一个有理数的绝对值.
一、知识链接
1.a的相反数表示为 . 2.在数轴上表示-5和5的点，它们到原点的距离分别是多少？表示-和的点呢？
五、 要点探究
探究点1：绝对值的意义及求法
问题：（1）甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作 km，乙车向西行驶10km到达B处，记做 km.
（2） 以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多少？它们的实际意义是什么？

要点归纳：我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示.
-5到原点的距离是5,所以-5的绝对值是 ,记做 =5；
0到原点的距离是 ,所以0的绝对值是 ,记做|0|= ；
4到原点的距离是 ,所以4的绝对值是 ,记做|4|= .
探究点2：绝对值的性质及应用
观察与思考：观察这些数的绝对值，它们有什么共同点？
|5|=5 |-10|=10 |3.5|= 3.5 |100|=100 |-3|=3 |50|=50 |-4.5|=4.5 |-5000|=5000 |0|=0
思考1： 一个正数的绝对值是什么？一个负数的绝对值是什么？0的绝对值是什么？
结论1：一个正数的绝对值是正数，一个负数的绝对值是正数，0的绝对值是0.任何一个有理数的绝对值都是非负数.
结论2：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数.
思考2:若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗?
(1)当a是正数时，｜a｜＝____； 正数的绝对值是它本身.
(2)当a是负数时，｜a｜＝____； 负数的绝对值是它的相反数.
(3)当a=0时，｜a｜＝____. 0的绝对值是0.
反思：相反数、绝对值的联系是什么？
互为相反数的两个数的绝对值相等.
绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
典例精析
例1 求下列各数的绝对值：
12，- ， -7.5， 0.

例2 填空
(1)绝对值等于0的数是______,(2)绝对值等于5.25的正数是_____,
(3)绝对值等于5.25的负数是______,(4)绝对值等于2的数是_______.
例3：若|a|+|b|=0，求a,b的值. 提示：由绝对值的性质可得|a|≥0，|b|≥0.


例4：已知|x-4|+|y-3|=0，求x+y的值.



归纳总结: 几个非负数的和为0，则这几个数都为0.


针对训练
1. 判断下列说法是否正确.
（1）一个数的绝对值是4，则这个数是-4. （2）|3|＞0.　　　　　　
（3）|－1.3|＞0. （4）有理数的绝对值一定是正数.　
（5）若a＝－b，则|a|＝|b|.　　　　　　　　 （6）若|a|＝|b|，则a＝b.
（7）若|a|＝－a，则a必为负数.　　　　 　 （8）互为相反数的两个数的绝对值相等.
2.如果，则，.
3.已知|a－1|＋|b＋2|＝0，求a，b的值．



二、课堂小结
1.绝对值的含义
2．绝对值的性质
(1)|a|≥0；(2)

当堂检测

1.判断并改错：
（1）一个数的绝对值等于本身,则这个数一定是正数； ( )
（2） 一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数；( )
（3） 如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定相等； ( )
（4） 如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值一定不等；( )
（5）有理数的绝对值一定是非负数； ( )
2.____的相反数是它本身，_______的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．
3.|－|的相反数是_____；若| a |=2，则a= _____.
4. 求下列各数的绝对值：3，3.14，- ，-2.8.

1.2.4 有理数 第2课时 有理数大小的比较
学习目标：1.掌握有理数大小的比较法则.2.能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.
一、知识链接
1.比较大小：5.2_______8，21_________32，0.3_________0.
2.求下列各数的绝对值.-3、1、3.14、0、-0.27.
二、新知预习
观察与思考
下面是我国5座城市某天的最低温度：



武汉－5 ℃ 北京－10℃ 上海0℃ 哈尔滨－20℃ 广州10℃
（1） 将这5座城市这一天的最低气温按照由低到高的顺序排列出来.

（2） 这5座城市这一天的最低气温在温度计上对应的位置有什么规律？

（3） 将这5座城市这一天的最低气温在数轴上表示出来，这些数的大小与它们在数轴上所表示的点的位置有什么关系？

【自主归纳】 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 .
正数 0，0 负数，正数 负数.
（4）比较下列两座城市之间最低气温的高低（填“高于”或“低于”）
北京__________武汉；北京__________哈尔滨.
（5） 求出下列各数的绝对值：-5 -10 -20，并比较它们绝对值的大小.

（6） 由上你发现了什么？

【自主归纳】 两个负数，绝对值大的反而 .
三、自学自测
(1)0与-6； （2）3和-4.4； （3） 和 .
比较下列各组数的大小：



六、 要点探究
探究点1：借助数轴比较有理数的大小

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
小 大
有理数大小的比较方法1：
数轴比较法:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.



想一想：有没有最大的有理数?有没有最小的有理数?为什么?
探究点2：运用法则比较有理数的大小
问题：对于正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？

结论：（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小.
例如，1＞0，0＞ -1，1＞-1，-1＞-2.
典例精析
例1：在数轴上表示数-3,-5,4,0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”号连接.

例2. 比较下列各数的大小.
（1） －（－3）和－（＋2）；（2）-和-; （3）|-|和-（-0.83）


例3. 下列判断，正确的是（ ）
A．若a>b，则│a│＞│b│ B．若│a│＞│b│，则a＞b
C．若a＜b<0，则│a│<│b│ D．若a>b>0，则│a│>│b│
针对训练
0
－1
1
A
B
C
1.如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，则它们的大小关系是 （ ）
A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c
2.下列各式中，正确的是（ ）
A. －|－16|>0 B. |0.2|>|－0.2| C.|－|＞－|－| D. |－6|＜0
二、课堂小结
比较有理数大小的方法.
方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大．
方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
当堂检测

1.在有理数0，│-（-3）│，-│+1000│，-（-5）中最大的数是（ ）
A．0 B．-（-5） C．-│+1000│ D．│-（-3）│
2． 比较下列各对数的大小：
（1）-（-1） -（+2）；（2） ； （3） ； （4） -（-2）.
3.将下列这些数用“＜”连接.
0，－3，|5|，－（－4），－|－5|.

4．下表记录了今年一月某日部分城市的最高气温：
城市 
阜阳 
安庆
淮北 
合肥
芜湖
最高气温/℃ 
－5 
2
－3
－1
4



(1)在数轴上表示这些城市最高气温的值；(2)用“＜”连接这些城市的最高气温．

5．如果a是有理数，试比较|a|与－2a的大小．

1.3.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法法则
学习目标：1.了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性.2.能运用该法则准确进行有理数的加法运算.(重点）
3.经历探索有理数加法法则的过程，理解并掌握有理数加法的法则.（难点）
一、知识链接
1.计算：
（1）3.2＋2.7＝ ， 2＋＝ ； （2）0＋0.23＝ ，＝　　　　.
2.如果水位上涨记作正数，那么下降记作________.某天水位下降了5厘米，记作_______.第二天水位上涨了8厘米，记作_______.
3.下列各组数中，哪一个数的绝对值大？
（1）7和4；     (2)-7和4；     (3)7和-4；     (4)-7和-4．
七、 要点探究
探究点1：有理数的加法法则
一只可爱的小狗，在一条东西走向的笔直公路上行走，现规定向东为正，向西为负.
问题1：如果小狗先向东行走2米，再继续向东行走1米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？东

解：小狗一共向东行走了 米，写成算是为：（+2）+（+1）= +（ ）（米）
问题2：如果小狗先向西行走2米，再继续向西行走1米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？
解：两次行走后，小狗向西走了 米.用算式表示：（- 2）+（- 1）= -（ ）（米）.
有理数加法法则一：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
问题3：(1) 如果小狗先向西行走3米，再继续向东行走2米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？
解：小狗两次一共向西走了 米.用算式表示为：-3+（+2）=-（ ）（米）
(2) 如果小狗先向西行走2米，再继续向东行走3米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？
解：小狗两次一共向东走了（ ）米.用算式表示为：-2+（+3）=+（ ）（米）
（3） 如果小狗先向西行走2米，再继续向东行走2米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？
解：小狗一共行走了 米.写成算式为：（-2）+（+2）= （米）
有理数加法法则二：异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
想一想：如果小狗先向西行走3米，然后在原地休息，则小狗向哪个方向行走了多少米？
解：小狗向西行走了 米.写成算式为：（-3）+0= （米）
有理数加法法则三：一个数同0相加，仍得这个数.
总结归纳：有理数加法法则 ：
(1)同号两数相加，结果取相同符号，并把绝对值相加．
(2)异号两数相加，结果取绝对值较大的加数的符号，并将较大的绝对值减较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
(3)一个数同0相加，仍得这个数．
典例精析
例1 计算：
（1）（－４）＋（－８）；（2）（－5）＋13；
（3）0＋（－7）；（4）（－4.7）＋3.9．


例2 已知│a│= 8，│b│= 2；
（1）当a、b同号时，求a+b的值；（2）当a、b异号时，求a+b的值.


探究点2：有理数加法的应用
例3 足球循环赛中，红队胜黄队4:1，黄队胜蓝队1:0，蓝队胜红队1:0，计算各队的净胜球数.


【归纳总结】 在解与有理数加法有关的实际应用问题时，先利用正负数表示实际问题中的量，再列式计算．
针对训练
1. 若|x－3|与|y＋2|互为相反数，求x＋y的值．

2.海平面的高度为0m.一艘潜艇从海平面先下潜40m,再上升15m.求现在这艘潜艇相对于海平面的位置.（上升为正，下潜为负）


当堂检测
1.两个有理数的和为零，则这两个有理数一定（ ）
A.都是零 B.至少有一个是零 C.一正一负 D.互为相反数
2.在1，－1，-2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）
A.1 B.0 C.-1 D.3
3.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
c
b
0
a
A. a+c＜0 B. b+c＜0
C. -b+a＜0 D.-a+b+c＜0
4.若，，且，则的值为（ ）
A.1 B.－5 C.－5或－1 D.5或1
5.计算
(1)(-0.6)+(-2.7)；   (2)3.7+(-8.4)； 
(3)3.22+1.78； (4)7+(-3.3)；  


6.某城市一天早晨的气温是-25℃，中午上升了11℃，夜间又下降了13℃，那么这天中午、夜间的气温分别是多少？

1.3.1 有理数的加法 第2课时 有理数加法的运算律及运用
重点：掌握有理数的加法交换律和结合律.难点：运用加法交换律、结合律简化运算.
一、知识链接
1.填空：3+2=2+3  这里运用了加法的(               ) 
25+39+75=（____ +_____ ）+____   =___ +（_____  +_____）  这里运用了加法的（                ）
2.有理数的加法法则：
⑴ 同号两数相加，_____________________________________  ；
⑵ 异号两数相加，绝对值相等时，___________  ；绝对值不相等时，______________________________________________.   
 ⑶ 一个数同0相加，_________________ . 
3.计算
（1）（-15）+（-3） （2）6+（-2.3） （3）（-0.75）+0


八、 要点探究
探究点1：加法运算律
问题1：观察下面的算式，你们能再举一些数字也符合这样的结论吗？试试看！
（1）3+(-5)=-2，-5+3=-2；
（2）[3+(-5)]+(-7)=-9，3+[(-5)+(-7)]=-9.
问题2：通过上面的计算和对比你能发现什么？你能用字母表示出这个规律吗？

要点归纳：
加法的交换律：a+b=b+a加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
例1：计算：16+（－25）+24+（－35）思考：怎样使计算简化的?这样做的根据是什么?

要点归纳：
把正数与负数分别相加,从而计算简化,这样做既运用加法交换律又运用加法的结合律.
例2 计算
（1） (-2.48)+4.33+(-7.52)+(－4.33)（2）+(-)+(-)


思考：回顾以上例题的解答，将怎样的加数结合在一起，可使运算简便？

要点归纳：
(1)互为相反数的两个数可先相加；(2)几个数相加得整数时,可先相加；
(3)同分母的分数可以先相加；(4)符号相同的数可以先相加.

探究点2：有理数加法运算律的应用
例3 每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如图所示，与标准重量比较，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦的总重量是多少？


例4 某一出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下：＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10.
(1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在出发地的什么方向上？
(2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？



针对训练
某日小明在一条南北方向的公路上跑步，他从A地出发，每隔10分钟记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：米）：
－1008，1100，－976，1010，－827，9461小时后他停下来休息，此时他在A地的什么方向？距A地多远？小明共跑了多少米？

二、课堂小结
内容
式子表示
加法交换律
a+b=b+a.
加法结合律
（a+b）+c=a+(b+c) .
当堂检测
1.计算：
（1）23+（－17）+6+（－22）；
（2）（－2）+3+1+（－3）+2+（－4）.


2. 计算：
（1）1+（-）++（-）；
（2）3+(-2)+5+(-8).


3.上周五股民新民买进某公司股票1 000股，每股35元，下表为本周内每日股票的涨跌情况(单位：元)：
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+4
+4.5
-1
-2.5
-6
则在星期五收盘时，每股的价格是多少？

4.10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
2， -4， 2.5， 3， -0.5, 1.5, 3， -1, 0， -2.5.
问这10筐苹果总共重多少千克？


1.3.2 有理数的减法第1课时 有理数的减法法则
学习目标：1.理解、掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法运算转化为加法运算.2.把有理数的减法运算转化为加法运算，渗透转化思想，培养运算能力.
一、知识链接
1. 填空：5的相反数是________；-6的相反数是________；_________的相反数是-a.
2. 计算：
（1） 1+6 =________；（2）（–2）+（–8）=________；（3）（–2.2）+2.2=________；    
（4）（–9）+10=________；（5）5 +（–9）=________；（6）0+（–8）=________.
九、 要点探究
探究点1：有理数的减法法则
问题1：你能从温度计上看出5℃比－5℃高多少摄氏度吗？用式子如何表示？

问题2：5+(+5) = ？由上面两个式子你能得出什么？

问题3：用上面的方法考虑：
0―(―3)=___，0+(+3)=___； 1―(―3)=___，1+(+3)=____； ―5―(―3)=___，―5+(+3)=___．
思考：这些数减−3的结果与它们加+3的结果相同吗？

问题4：计算 9－8=___； 9+(－8)=____；15－7=___； 15+(－7)=____．
通过上面的探究可得结论
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 .表达式为: a - b=a + (-b)
例1 计算:
（1）(－3)―(―5); （2）0－7; （3）7.2―(―4.8); （4）－3-5.



例2. 已知│a│= 5，│b│= 3，且a>0，b<0，则a-b= .
【归纳总结】 进行有理数的减法运算时，将减法转化为加法，再根据加法的法则进行运算.要特别注意减数的符号.
探究点2：有理数减法的应用
例3 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是 8844 米，吐鲁番盆地的海拔高度是–155 米，两处高度相差多少米？



例4 某日哈尔滨、长春等五个城市的最高气温与最低气温记录如下表．
城市
哈尔滨
长春
沈阳
北京
大连
最高气温
2℃
3℃
3℃
12℃
6℃
最低气温
－12℃
－10℃
－8℃
2℃
－℃






哪个城市的温差最大？哪个城市的温差最小？
思路点拨：温差即最高气温与最低气温的差．首先要根据题意列式，利用法则求解，最后比较大小．



【归纳总结】 应用有理数的减法解决温差、时差等实际问题时，一般是两个量比较，求一个量比另一个量多多少，列减法算式即可．
针对训练
1.a，b，c在数轴上的位置如图所示，则a－b______0，b－c______0，－b－c______0，a－(－b)______0.

2．已知甲地海拔高度为150m，乙地海拔高度为－30m，那么甲地比乙地高________m.
3．北京与纽约的时差为－13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚)．若现在是北京时间15：00，那么纽约时间是_____．
二、课堂小结

内容
有理数的减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数
运算步骤
1.将减号变为加号，将减数变为其相反数；
2.利用有理数的加法法则进行计算.

当堂检测
1．计算：
（1）（+7）－（－4） ; （2）（－0.45）－（－0.55）;（3） 0－（－9）；（4）（－4）－ 0 ；（5）（－5）－（＋３）.


2．填空：
（1）温度4℃比－6℃高________℃ ；  （2）温度－7℃比－2℃低________℃ ； 
（3）海拔高度－13m比－200m高_______m；  （4）从海拔20m到－40m，下降了______m.
3.判断并说明理由：
（1）在有理数的加法中，两数的和一定比加数大.（ ）（2）两个数相减，被减数一定比减数大.（ ）
（3）两数之差一定小于被减数.（ ） （4）0减去任何数，差都为负数.（ ）
（5） 较大的数减去较小的数，差一定是正数.（ ）
4. 某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得20分，答错一题扣10分，问答对一题与答错一题得分相差多少分？


1.3.2 有理数的减法第2课时 有理数的加减混合运算
重点：把加减混合运算理解为加法运算.难点：把省略括号的和的形式直接按有理数加法进行计算.
一、知识链接
1.有理数的加法法则
__________________________________________________________________________.
2.有理数的加法运算律
__________________________________________________________________________.
3. 有理数的减法法则
__________________________________________________________________________.
4. 计算
（1）（ － 7）－（+ 4）       （2）  0－（－ 5） （3）（ － 2.5）+5.9             （4）（－2）+（－1）



十、 要点探究
探究点1：有理数的加减混合运算
问题1：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.如：a+b-c=a+b+______.
将（-20）+（+3）-（-5）-（+7）转化为加法:______________________________
这个算式我们可以看作是______、______ 、______、______这四个数的和.
为书写简单，省略算式中的括号和加号写为____________ 也可简单写为：（-20）+（+3）+（+5）+（-7）
在符号简写这个环节，有什么小窍门么？

问题2：观察下列式子，你能发现简化符号的规律吗？
(－40)－(＋27)＋19－24－(－32)＝－40－27＋19－24＋32
(－9)－(－2)＋(－3)－4＝－9 ＋ 2 － 3－4
规律：数字前“－”号是奇数个取“－”；数字前“－”号是偶数个取“＋”
例1 计算：（－2）＋（+30）－（－15）－（＋27）



例2 计算：
（1） -+-+ （2）(-18.25)-4+(+18)+4.4


归纳总结：
有理数加减混合运算的步骤：（1）将减法转化为加法运算；（2）省略加号和括号；（3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；（4）按有理数加法法则计算．
探究点2：加减混合运算的应用
例3 动物园在检验成年麦哲伦企鹅的身体状况时，最重要的一项工作就是称体重.已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行体重检测，以4kg为标准，超过或者不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下表所示，求这6只企鹅的总体重.
可以先求出每只企鹅的体重后，再相加吗？哪种方法根简便呢？




针对训练
1.计算
(1) 0-1+2-3+4-5； (2) –4.2+5.7-8.4+10.2； （3）–30+11-(-10)+(-11)；（4).



2.某公路养护小组乘车沿南北方向公路巡视维护，某天从地出发，约定向南行驶为正，到收工时的行驶记录如下：（单位：千米）8，－5，7，－4，－6，13，4，12，－11
（1）问收工时，养护小组在地的哪一边？距离地多远？（2）若汽车行驶毎千米耗油0.5升，求从出发到收工共耗油多少升？


二、课堂小结
有理数加减法混合运算：方法一：减法转化成加法
1.减法变加法：a+b-c=a+b+(-c)2.运用加法交换律使同号两数分别相加；3.按有理数加法法则计算
方法二：省略括号法1.省略括号；2.同号放一起；3.进行加减运算.

当堂检测
1.若a= -2，b=3，c= -4 ，则a-(b-c)的值为______ .
2.计算：（1）－11－9－7＋6－8＋10 （2）－5.75－（－3） ＋（－5）－3.125（3）|-1|-（-）+1-|-1|


3.下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A.1-4+5-4=1-4+4-5 B.-+--=+-- C.1-2+3-4=2-1+4-3 D.4.5-1.7-2.5+1=4.5-2.5+1-1.7
4.计算1-2+3-4+5+ …+99-100=________.
5.-4,-5,+7这三个数的和比这三个数的绝对值的和小________
1.4.1 有理数的乘法第1课时 有理数的乘法法则
学习目标：1.掌握有理数的乘法法则并能进行熟练地运算.2.掌握多个有理数相乘的积的符号法则.
十一、 要点探究
探究点1：有理数的乘法运算
1.如图,一只蜗牛沿直线 l爬行，它现在的位置在l上的点Ｏ．

填一填：
（1）如果一只蜗牛向右爬行2cm记为+2cm，那么向左爬行 2cm应记为________；
（2）如果3分钟以后记为+3分钟，那么3分钟以前应记为___________.
想一想：
（１） 如果蜗牛一直以每分２cm的速度向右爬行，３分后它在什么位置？
l

结果：3分钟后蜗牛在l上点Ｏ_________ cm处.可以表示为: .
（２） 如果蜗牛一直以每分２cm的速度向左爬行，３分后它在什么位置？
结果：3分钟后蜗牛在l上点Ｏ_________ cm处.可以表示为: .
（３） 如果蜗牛一直以每分２cm的速度向右爬行，３分前它在什么位置？
l

结果：3分钟前蜗牛在l上点Ｏ_________ cm处.可以表示为: .
（４）如果蜗牛一直以每分２cm的速度向左爬行，３分前它在什么位置？
结果：3分钟前蜗牛在l上点Ｏ___________ cm处.可以表示为: .
（5） 原地不动或运动了零次，结果是什么？l

结果：仍在原处，即结果都是___________，可以表示为: .
根据上面结果可知：
1.正数乘正数积为______数;负数乘负数积为______数;(同号得正)
2.负数乘正数积为______数;正数乘负数积为______数;(异号得负)
3.乘积的绝对值等于各乘数绝对值的______.4.零与任何数相乘或任何数与零相乘结果是______.
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同０相乘，都得０.
讨论:(1)若a＜0,b＞0,则ab 0 ;(2)若a＜0,b＜0,则ab 0 ;
(3)若ab＞0,则a、b应满足什么条件？(4)若ab＜0,则a、b应满足什么条件？
例1 计算：(1)3×（-4）； (2)（-3）×（-4）.


归纳:有理数乘法的求解步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值.
例2 计算：
（1） （-3）××（-）×（-）；（2）（-5）×6×（-）×



归纳:
（1）几个不等于零的数相乘，积的符号由_____________决定.（2）当负因数有_____个时，积为负；当负因数有_____个时，积为正.（3）几个数相乘，如果其中有因数为0，_________
探究点2：倒数
例3 计算：

（1） ×2；　　　（2）(-)×(-2)


（2） 要点归纳：有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数.
思考：数a(a≠0)的倒数是什么?
探究点3：有理数的乘法的应用
例4 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温的变化量为-6℃，攀登3km后，气温有什么变化？


例5 一种水笔,甲商店每支售价2元,乙商店搞促销,每支只售1.8元.小明在甲商店买这种水笔10支,小华在乙商店也买这种水笔10支.两人所付的钱数哪个少?少多少?



针对训练
1.计算：（1） ； （2）8×（-1.25）.


2.填空：
－0.5的倒数是 ，一个数的倒数等于这个数本身，则这个数是 .
3.已知a与b互为倒数，c与d互为相反数，m的绝对值是4，求m×(c＋d)＋a×b－3×m的值．
4.气象观测统计资料表明，在一般情况下，高度每上升1km,气温下降6℃.已知甲地现在地面气温为21℃，求甲地上空9km处的气温大约是多少？


当堂检测
1.填表：
被乘数
乘数
积的符号
积的绝对值
结果
－5
7
－
35
-35
15
6



－30
－6



4
－25



2.计算：
（1）2×（-4）； （2）（-）×（-）；（3）（-10.8）×（-）； （4）（-3）×0.




3.计算：
（1） （-125）×2×（-8） （2）（-）×（-）×（-）×（-） （3）×（-）×（-3.4）×0




1.4.1 有理数的乘法 第2课时 有理数乘法的运算律及运用
学习目标：1.掌握乘法的分配律，并能灵活的运用.2.掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算.
十二、 要点探究
探究点1：有理数乘法的运算律
第一组：(1) 2×3＝6 3×2＝62×3 = 3×2
(2) (3×4)×0.25＝3 3×(4×0.25)＝3 (3×4)×0.25= 3×(4×0.25)
(3) 2×(3＋4)＝14 2×3＋2×4＝14 2×(3＋4)=2×3＋2×4
思考:上面每小组运算分别体现了什么运算律？
第二组：
(1) 5×(－6) ＝ -30 (－6 )×5＝-30 5× (－6) = (－6) ×5
(2) [3×(－4)]×(－ 5)＝(－12)×(－5) ＝60 3×[(－4)×(－5)]＝3×20＝60
(3) 5×[3＋(－7 )]＝5×（-4）=-20 5×3＋5×(－7 )＝15-35=-20 5×[3＋(－7 )] = 5×3＋5×(－7 )
结论： (1)第一组式子中数的范围是________; (2)第二组式子中数的范围是________;
(3)比较第一组和第二组中的算式,可以发现____________________________.
归纳：1.乘法交换律:ab＝ba2.乘法结合律:(ab)c ＝ a(bc) 3.乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac，a(b＋c＋d )＝ab＋ac＋ad
例1　用两种方法计算
（+-)×12



练一练:计算：① (－8)×(－12)×(－0.125)×(－ )×(－0.1) ② 60×(1－ －－)




③ (－ )×(8－1 －4 ) ④ (－11)×(－)＋(－11)×2 ＋(－11)×(－ )




例2　下面的计算有错吗？错在哪里？
(－24)×( － ＋ － )解:原式＝－24×－24×＋24×－24× =-8-18+4-15 =-41+4 =-37




易错提醒：1.不要漏掉符号；2.不要漏乘.

针对训练
1.计算（1） 60×(1－－－ ) ； （2）.



2.计算
（1）(－426)×251－426×749； （2）95×(－38)－95×88－95×(－26).




当堂检测
1.计算(-2)×(3-)，用分配律计算过程正确的是( )
A.(-2)×3+(-2)×(-) B.(-2)×3-(-2)×(-) C.2×3-(-2)×(-) D.(-2)×3+2×(-)
2.计算：



3.计算：




1.4.2 有理数的除法第1课时 有理数的除法法则
目标：1.认识有理数的除法，经历除法的运算过程.2.理解除法法则，体验除法与乘法的转化关系.3.掌握有理数的除法及乘除混合运算.
十三、 要点探究
探究点1：有理数的除法及分数化简
问题1：根据“除法是乘法的逆运算”填空：
(-4)×(-2)=8 8÷（-4）= 6×(-6)=-36 -36÷6=
(-3/5)×(4/5)= -12/25 -12/25 ÷(-3/5)= -8÷9=-72 -72÷9=
8÷（-4）= 8×(-1/4)= -36÷ 6= –36 ×(1/6)=
-12/25 ÷ (-3/5)= (-12/25)×(-5/3)= -72 ÷9= -72×(1/9)=
问题2：上面各组数计算结果有什么关系？由此你能得到有理数的除法法则吗？
有理数除法法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 .用字母表示为a÷b=a×(b≠0)
问题3：利用上面的除法法则计算下列各题：
（1）-54 ÷（-9）；（2）-27 ÷ 3；（3）0 ÷（-7）； （4）-24÷（-6）.


思考：从上面我们能发现商的符号有什么规律？
有理数除法法则（二）：两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 .
0除以任何一个不等于0的数，都得 .
思考：到现在为止我们有了两个除法法则，那么两个法则是不是都可以用于解决两数相除呢？
归纳：两个法则都可以用来求两个有理数相除.
如果两数相除，能够整除的就选择法则二，不能够整除的就选择用法则一.
例1 计算（1）（-36）÷ 9； （2）(-)÷(-).



例2 化简下列各式：
（1） ；（2）


探究点2：有理数的乘除混合运算
例3 计算
（1） （-125）÷（-5）；（2）-2.5÷×（-）.




方法归纳：
（1） 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算；
（2） 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）.
针对训练
1.（1）（-24）÷4； （2） （-18）÷（-9）； （3） 10÷（-5）.



2.计算：
（1）（－24）÷[（－）×]；（2）（－81）÷2×÷（－16）.



二、课堂小结
一、有理数除法法则: 1.a÷b=a×(b≠0) 2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
二、 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算.
三、 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）
当堂检测
1.计算：
（1）（-）÷（-2）； （2）-0.5÷×（-）；（3）（-7）÷（-）÷（-）



2.填空：
（1）若 a,b互为相反数，且a≠b，则= ________，（2）当a<0时， =_______；
（3）若a>b,<0,则a,b的符号分别是_______.
3. 计算：
(1)24÷(-6); （2）(-4)÷; （3）0÷; （4）(-)÷(-);




1.4.2 有理数的除法第2课时 有理数的加、减、乘、除混合运算
重点：能熟练地进行有理数的加减乘除运算.难点：体会各种运算法则在实际计算中的运用.
十四、 要点探究
探究点1：有理数的加减乘除混合运算
问题：说说下面各题的运算顺序：
（1） -8+4÷（-2） （2）（-7）×（-5）-90÷（-15） （3）[1-(+-)×24]÷5
归纳总结：有理数混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
例1 计算：
（1）6-（-12）÷（-3） （2）（-48）÷8-（-25）×（-6） （3）42×（-）+（-）÷（-0.25）




例2. 请你仔细阅读下列材料，然后回答问题：
（-）÷（-+-）解法一：原式=（-）÷[+-(+)] =（-）÷（-） =（-）×3=-.
解法二：原式的倒数为（-+-）÷（-）=（-+-）×（-30）=-20+3-5+12=-10.
故（-）÷（-+-）=-再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：
（-）÷（-+-）.




针对训练
1.计算
(1) ； （2）.
（3）2×（-）÷（-2）
（4）；
（5）.


当堂检测
1.1.下列各式中，结果相等的是（ ）
A.6÷（3×2）和 6÷3×2 B.(-120+400)÷20和-120+400÷20
C.-3-(4-7)和-3-4-7 D.-4×2÷8和-4×(2÷8)
2.计算：
（1）23×（-5）-（-3）÷
（2）-7×（-3）×（-0.5）+（-12）×（-2.6）


3.计算：
(1)2×(-3÷)-4×(-3)+15;
(2) -8+(-3)×[-4÷（-）+2]-32÷(-2).


4. 一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是－1℃，小莉此时在山脚测得温度是5℃.已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.8℃，这个山峰的高度为多少? (山脚海拔0米)




15.1 乘方第1课时 乘方
重点：有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系.难点：能够正确进行有理数的乘方运算.
十五、 要点探究
探究点1：乘方的意义
问题1：某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个.经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？

提示:这个细胞分裂一次可得多少个细胞?分裂两次呢?分裂三次呢?四次呢？那么,3小时共分裂了多少次?有多少个细胞？

要点归纳：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即a·这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
指数
底数 幂 （乘方的结果）
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，指数1通常省略不写.
问题2：23和32一样吗？为什么？

例1 计算：
(1) （-4）3； (2)（-2）4； (3)


思考：你发现负数的幂的正负有什么规律？
归纳：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.


探究点2：乘方的运算
例3 计算
（1）×（-）
（2）-23×(-32)
（3）64÷(-2)5
（4） (-4)3÷(-1)200+2×(-3)4



思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？
要点归纳：先算乘方，后算乘除；如果遇到括号就先进行括号里的运算.
针对训练
计算：（1）－（－3）3； （2）（－）2；（3）（－）3； （4）（－1）2015.



二、课堂小结
1.求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）零的正整数次幂都是零
3.注意：与二者的区别及相关联系.与之间的区别.
1. 填空：
（1） =______；（2）-=______；=______；（4）=______；=______；（6）=______；
=______;(8)=______;=______（当n是奇数时）______（当n是偶数时）
2. 在，,，中,最大的数是(　　)A. B. C. D.
3.对任意实数a，下列各式一定不成立的是（ ）A. B. C. D.
8.一种纸的厚度是0.1毫米,若拿两张重叠在一起,将它们对折1次后,厚度为4×0.1毫米.
(1)对折2次后,厚度为多少毫米?(2)对折6次后,厚度为多少毫米?
1.5.1 乘方 第2课时 有理数的混合运算
重点：有理数的混合运算.难点：准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题.
十六、 要点探究
探究点1：有理数的混合运算
思考:下列式子含有哪几种运算?先算什么，后算什么？30+5÷22×（-）-1
归纳：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行.
例1 计算：
(1)2×(-3)3-4×(-3)+15;
(2)(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2).



探究点2：数字规律探究
例2 观察下面三行数：
-2， 4， -8， 16， -32， 64，…；①
0， 6， -6， 18， -30， 66，…；②
-1， 2， -4， 8， -16， 32，…. ③
（1）第①行数按什么规律排列？（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
分析：观察①，发现各数均为2的倍数.联系数的乘方，从符号和绝对值两方面考虑，可发现排列的规律.
针对训练
1.计算
（1） ×2+÷4
（2） -3×
2.观察下列各式:
1=-1；1+2=-1；1+2+=-1猜想：1+2+ ++…= .若n是正整数，那么1+2++…= .

1.计算（ ）A.-1000 B.1000 C.30 D.－30
5.计算：
(1)；
(2) ；
(3)；
(4) {1+[]×(-2)4}÷(-).



1.5 有理数的乘方1.5.2 科学记数法
重点：会用科学记数法表示较大的数.难点：会用科学记数法表示较大的数.
十七、 要点探究
探究点1：用科学记数法表示数
例1 用科学记数法表示下列各数：
1000000，57000000，-123000000000

要点归纳：用科学计数法表示一个n位整数时，10的指数是______．
例2 将下列大数用科学记数法表示：
地球表面积约为510000000000000 平方米，地球上陆地的面积大约为149000000平方千米.

探究点2：还原用科学记数法表示的数
例3 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
（1）2003年10月15日，中国首次进行载人航天飞行，神舟五号飞船绕地球飞行了14圈，行程约为6×105千米；
（2） 一套《辞海》大约有1.7×107个字.
（3） 1972年3月发射的“先驱者十号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器，至2003年2 月人们最后一次收到它发回的信号时，它离地球1.22×1011千米.
要点归纳：反过来，如果用科学记数法表示的数10的指数是n，那么原数有n+1位整数位.

例4 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为__________立方米．
针对训练
1．填空：300=3×100=3×10（ ） 32000=3.2×10000=3.2×10（ ） 345000000=3.45×100000000=3.45×10（ ）

2.将下列大数用科学记数法表示：
2017年，中国有劳动力约为720000000人，失业下岗人员约为24000000人；每年新增劳动力12000000人，进城找工的农民约140000000人.

3.填空：
6.74×105的原数有___位整数；－3.251×107原数有____位整数；9.6104×1012原数有____位整数.
二、课堂小结
1．用科学计数法表示较大的数应注意以下两点：
（1）1≤a＜10
‚（2）当大数是大于10的整数时，n为整数位减去1.
2．灵活运用科学计数法，注意解题技巧，总结解题规律.
1．用科学记数法表示下列各数．
80000 56000000 7400000


2．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
4×103 8.5×106 7.04×105 3.96×104


3．今年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人， 这个数据用科学记数法表示为(　　)
A．5.6×103 B．5.6×104
C．5.6×105 D．0.56×105
4．太平洋最深处是马里亚纳海沟，它的深度是海平面以下11034米，记为－11034米，用科学记数法表示为(　　) A．1.1×104米 B．1.1034×104米
C．－11.034×104米 D．－1.1034×104米
5．写出下列用科学记数法表示的数据的原数．
(1)地球绕太阳公转的速度约是1.1×105千米/时；__________(2)一个正常人一年的心跳次数大约为3.679×107次；__________(3)世界文化遗产长城总长约6.7×106 m．__________
6．已知光的传播速度为300000000 m/s，太阳光到达地球的时间大约是500 s，试计算太阳与地球的距离大约是多少千米．(结果用科学记数法表示)


1.5 有理数的乘方1.5.3 近似数
重点：了解近似数的意义.难点：能按照精确度的要求,用四舍五入法求出近似数.
十八、 要点探究
探究点1：准确数与近似数
问题1：什么样的数是近似数？试举例说明.
（1）我们得不到与实际完全相符的数，而是通过测量、估算得到的数都是近似数.例如，姚明的身高是2.26米.
（2）有时我们为了叙述、书写方便，通过四舍五入得到的数也是近似数.例如，2017年全国高考报名的考生共940万人.
问题2：近似数与准确数有何区别？试举例说明.
探究点2：按要求取近似值
问题3：按四舍五入法对圆周率π取近似数，有
π≈ （精确到个位），π≈ （精确到0.1，或叫做精确到十分位），
π≈ （精确到0.01，或叫精确到百分位），π≈ （精确到0.001，或叫做精确到千分位），
π≈ （精确到0.0001，或叫做精确到万分位），……
知识要点：近似数是一个与准确数接近的数，其接近程度可以用精确度表示.
例1 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）0.0158（精确到0.001）；（2）304.35（精确到个位）；（3）1.804（精确到0.1）；（4）1.804（精确到0.01）．


思考：(4)中能把“1.80”后面的“0”去掉吗？
例2 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
　 （1） 600万 ； （2） 7.03万； （3） 5.8亿 ； （4） 3.30×105．

例3 据2010年上海世博会官方统计，2010年5月1日至10月31日期间，共有7308.44万人次入园参观，求每天平均入园人次（精确到0.01万人次）.


针对训练
1.判断下列各数，哪些是近似数，哪些是准确数
⑴某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加;( ) ⑵检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌800000万个; ( ) ⑶张明家里养了5只鸡; ( )
⑷1990年人口普查,我国人口总数为11.6亿; ( )
2.小红量得课桌长为1.036米，请按下列要求取这个数的近似数．
（1）四舍五入到百分位；（2）四舍五入到十分位；（3）四舍五入到个位．


3.下列结论正确的是 （ ）
A．近似数4.230和4.23的精确度是一样的　 B．近似数89.0是精确到个位
C．近似数0.00510与0.0510的精确度不一样　D．近似数6万与近似数60 000的精确度相同　
1.用四舍五入法按要求取近似值：
（1）75 436（精确到百位）；（2）0.785（精确到百分位）．

2.下列数据精确到什么位？
（1）小王的身高1.53米; （2）月球与地球相距38万千米; （3）圆周率π取3.14159


3.判断下列说法是否正确，说明理由.
（1）近似数4.60与4.6的精确度相同.（2）近似数5千万与近似数5000万的精确度相同.
（3）近似4.31万精确到0.01.（4）1.45×104精确到0.01.

第二章 整式的加减 2.1 整式第 1课时 用字母表示数
十九、 要点探究
探究点1：用字母表示规律
问题1：如果用 x 表示所搭正方形的个数, 那么搭 x 个这样的正方形需要多少根火柴?

第1个 第2个 第x个
例1 根据你的计算方法，搭200个这样的正方形需要______根火柴棒; 搭2017个这样的正方形需要_______根火柴棒; 能否利用前面得到的结论？
探究点2：含字母的式子的书写
例2 用含有字母的式子表示下列数量
（1）苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表示现价；
（2）某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，用式子表示去年的产量；
（3）一个长方体包装盒的长和宽都是a cm，高是h cm，用式子表示它的体积；
（4）用式子表示数n的相反数.
归纳总结：列式注意事项① 数与字母、字母与字母相乘时省略乘号，数与字母相乘时数字在前；② 出现多个字母时，字母按照26个字母顺序排列；③ 相同字母相乘时应写成幂的形式；④ 1或-1与字母相乘时，1通常省略不写；
⑤ 式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写，带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数.
探究点3：用含字母的式子表示数量关系
例3 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
提示：顺水行驶时，船的速度=船在静水中的速度+水流速度；逆水行驶时，船的速度=船在静水中的速度-水流速度.
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要 z 元，用式子表示买 3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数；
（3）如左下图（图中长度单位：cm），用式子表示三角尺的面积；
（4）右下图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），用式子表示这所住宅的建筑面积.

要点归纳：列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言．
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．
针对训练
2.判断下列式子书写是否规范，不规范的请改正.

3.（1）某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入.
（2）圆柱体的底面半径、高分别是 r，h，用式子表示圆柱体的体积.
（3） 有两片棉田，一片有m hm2 (公顷，1 hm2 ＝104 m2 )，平均每公顷产棉花a kg；另一片有n hm2 ，平均每公顷产棉花b kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量.
（4）在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是a mm，小正方形的边长是b mm，用式子表示剩余部分的面积.
二、课堂小结
列式时：①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；②数与字母相乘时数字在前；③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；⑤带单位时，适当加括号.
当堂检测
用式子表示下列数量.
（1）5箱苹果重m kg，每箱重______ kg ；（2）一个数比a的2倍小5，则这个数为______ ；
（3）全校学生总数是x，其中女生占总数52%，则女生人数是______ ，男生人数是______ ；
（4）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每人分4本，还缺25本，则这批图书共______本；
第2课时 单项式
学习目标：1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念.2.会用单项式表示简单的数量关系.
二十、 要点探究
探究点1：单项式的相关概念
问题1：用含有字母的式子填空：（1）棱长为a的正方形的表面积为______，体积为______ .
（2）铅笔的单价为x元,圆珠笔的单价是铅笔的单价2.5倍,圆珠笔的单价是______元.
（3）一辆汽车的速度是vkm/h,它t小时的行驶路程为______km.（4）一个圆的半径是r cm，它周长是______cm.
问题2：以上各式中运算有什么共同特点？
单项式：上面各式的运算中数字和字母之间，字母与字母之间的运算都是乘法运算(都是表示字母与数字、字母与字母的积).这样的式子叫做单项式.
例1 下列各式中哪些是单项式？

方法归纳：判断单项式的方法：1.单独一个数或一个字母也是单项式.2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
3.单项式数字因数与字母可能一个或多个.4.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
单项式的系数、次数：单项式中数与字母相乘,把数字因数叫做系数;所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.√
√
√
√

例2 用单项式填空,并指出它们的系数和次数.
（1） 每包书有12册,n包书有_____册； （2）底边长为a,高为h的三角形的面积是____；
（3）一个长方体的长和宽都是a,高为h,它的体积是____； （4）一台电视机原价为a元,现按原价的九折出售,这台电视机现在的售价为____； （5）一个长方形的长为0.9,宽为a,面积是____.
【归纳总结】确定单项式的系数及次数时，应注意：
①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写； ③省略1的字母指数别漏掉；④单项式次数只与字母指数有关.
探究点2：单项式的应用
问题：你能写出一个含有x、y，而且系数是-3，次数是4的单项式吗？提示：x、y的指数之和为4.

例3 若 (m-2)x2yn 是关于 x，y 的一个四次单项式，m，n应满足的条件？


针对训练
1.下列代数式中，单项式有 .
2.指出下列各单项式、、x的系数和次数.

3．已知是八次单项式，则m的值是(　　)A．4 B．3 C．2 D．1
4.已知是四次单项式，则p2＝________.
二、课堂小结
1.单独的一个数或一个字母也是单项式； 2.当一个单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如x2，－a2b等
3.圆周率π是常数，把它当作系数； 4.如果单项式系数为0，它就是0次单项式.5.单项式次数只与字母指数有关；
当堂检测
1. 下列各式是不是单项式？为什么？
； ； ； ；
2.判断下列各说法是否正确，将错误的改正过来.
（1）单项式的系数是0, 次数是2. (　　　)（2）单项式的系数是2, 次数是10 . (　　　)
（3）单项式的系数是,次数是n+1 . (　　　)
3.若ax2yb-1是关于x,y的单项式，系数为6，次数是3，则a=( ),b=( ).
4.已知是x，y的五次单项式，求a的值.




第3课时 多项式
重点：理解多项式的有关概念.难点：会确定一个多项式的项数和次数.
二十一、 要点探究
探究点1：多项式的相关概念
问题1：列式表示下列数量
（1） 温度由t℃下降5℃后是______℃.
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要___________元.
（3）如图三角尺的面积为___________. （4）如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是___________.

问题2：上述几个式子都是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
要点归纳：
1.几个单项式的和叫做多项式2.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项3.不含字母的项叫做常数项
4.多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数5.单项式与多项式统称为整式
例1 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：


要点归纳：
(1)多项式的各项应包括它前面的符号；(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；(3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；(4)一个多项式的最高次项可以不唯一.
例2：已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式.



【归纳】解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.然后根据题意，列出方程，求出m的值.
探究点2：多项式的应用
例3 如图所示，用式子表示圆环的面积．当r=15 cm，r=10cm时，求圆环的面积（π取3.14 ）．

例4　某公园的门票价格是：成人10元/张；学生5元/张.
（1）一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？（2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？

针对训练
1.将代数式①3，②，③，④，⑤，⑥x2，⑦3a＋1，⑧，⑨－x2＋yz，⑩填入适当的空格中（填序号）：
单项式：____________________；多项式：________________；整式：____________
2.多项式3m3-2m-5+m2的常数项是______，一次项是_____，二次项的系数是_____.
3.（1）a，b分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长l＝______，面积S＝___，当a＝2 cm，b＝3 cm时，l＝______ cm，S＝______cm 2 ；
（2）a，b分别表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，则梯形面积S＝_______，当a＝2 cm，b＝4 cm， h＝5 cm时， S＝______cm 2 ．
4.如果xn－(m－1)x＋2为三次二项式，求m2＋n的值．





二、课堂小结
系数：单项式中的数字因数.
单项式
次数:所有字母的指数的和.
整式
项：多项式中的每个单项式叫多项式的项.
多项式 （其中不含字母的项叫做常数项）
次数：多项式中次数最高的项的次数.
当堂检测
1.下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
3x，2x-1， ，-ab，-5， -1，3m-4n+m2n．

2. 判断正误：
（1） 多项式-x2y+2x2-y的次数2．（ ）（2）多项式 -a+3a2的一次项系数是1．（ ）
（3）-x-y-z是三次三项式．（ ）
3.一个关于字母x的二次三项式的二次项系数为４，一次项系数为１，常数项为7，则这个二次三项式为________．
4.若是关于x的一次式,则a =______,若它是关于x的二次二项式,则a =______.
5.多项式是关于a、b的四次三项式，且最高次项的系数为－2，则x=______,y=______.
6.已知多项式:是六次四项式,单项式的次数与这个多项式的次数相同,求n的值.



2.2 整式的加减 第1课时 合并同类项
重点：会判断同类项并能合并同类项.难点：同类项的定义，合并同类项法则的形成过程及应用.
二十二、 要点探究
探究点1：同类项的辨别
问题：先判断每一组是否是同类项，不是的，为前者配一个.
（1）2x2y与-3x2y （2）2abc与2ab （3）3pq与3qp （4）-4x2y与5xy2


总结归纳：判定几个单项式是同类项需注意：
（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；
（2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可. 并且不要忘记几个常数项也是同类项.
例1 (1)在6xy-3x2-4x2y-5yx2+x2中没有同类项的项是 .
(2)如果2a2bn+1与-4amb3是同类项，则m= ，n= .
探究点2：合并同类项及应用
问题：下列合并同类项对吗？不对的，说明理由.
(1)a+a=2a (4)4x2y-5xy2=-x2y (2)3a+2b=5ab (5)3x2+2x3=5x5(3)5y2-3y2=2 (6)a+a-5a=3a
总结归纳：“合并同类项”的方法：
一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出；
二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
三合，将同一括号内的同类项相加即可.
例2 (1)水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降２cm；第二天连续上升了a小时，每小时平均上0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？
(2)某商店原有５袋大米，每袋大米为x千克．上午卖出３袋，下午又购进同样包装的大米４袋．进货后这个商店有大米多少千克？
例3 (1)求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x＝.
(2)求多项式3a＋abc－c2－3a＋c2的值，其中a＝－，b＝2，c＝－3.[来源:Z
分析：在多项式求值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再代入求值，这样可以简化计算.





针对训练
1.下列各组式子中，是同类项的是（ ）A、与 B、与 C、与 D、与
2. （1）如果与是同类项，则m=_________,n=___________.
（2）若和是同类项，则m=_________,n=___________.
3.合并下列各式的同类项：
(1)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(2)4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.
二、课堂小结
所含字母相同
两同
相同字母的指数相同
同类项
与系数无关
两无关
与所含字母的顺序无关
2.合并同类项——“一加二不变”
当堂检测
1.下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．-2a与a2 B．2a2b与3ab2 C．5ab2c与-b2ac D．-ab2和4ab2c
2.下列运算中正确的是（ ）
A．3a2-2a2=a2 B．3a2-2a2=1 C．3x2-x2=3 D．3x2-x=2x
3．如果5x2y与xmyn是同类项，那么m =____，n =____．
4．合并同类项：
（1）-a-a-2a=________； （2）-xy-5xy+6yx=________；
（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______；（4）3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7______________．
5.三角形三边长分别为，则这个三角形的周长为 ；当时，周长为 .
6．求下列各式的值:
（1）3x2-8x+2x3-13x2+2x-2x3+3，其中x=-1．
（2）a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b，其中a=0.1，b=0.01．


2.2 整式的加减 第2课时 去括号
重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简.难点：括号前面是“﹣”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误.
二十三、 要点探究
探究点1：去括号化简
问题：比较、‚两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
+120（t-0.5）=+120t-60  -120（t-0.5）=-120t+60 ‚

要点归纳：
1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
例1 化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）； （2）（5a-3b）-3（a2-2b）；（3）(2x2＋x)－[4x2－(3x2－x)]．


【归纳总结】
1.当括号前面有数字因数时，可应用乘法分配律将这个数字因数乘以括号内的每一项，切勿漏乘．
2.当含有多重括号时，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号．每去掉一层括号，若有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简化，减少差错．
探究点2：去括号化简的应用
例2 两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时.问: (1)2小时后两船相距多远?(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米?


例3：先化简，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]＋2x2y－xy2.



归纳】在化简时要注意去括号时是否变号；在代入时若所给的值是负数、分数、有乘方运算的，代入时要添上括号.
针对训练
1. 化简：（1）3(a2－4a＋3)－5(5a2－a＋2)；
（2）3(x2－5xy)－4(x2＋2xy－y2)－5(y2－3xy)；
（3） .
2. 先化简，再求值：(3a2－ab＋7)－(5ab－4a2＋7)，其中a＝2，b＝ .



二、课堂小结：1.去括号时要将括号前的符号和括号一起去掉；2.去括号时首先弄清括号前是“+”还是“-”；
3.去括号时当括号前有数字因数应用乘法分配律，切勿漏乘.
当堂检测
1. 下列去括号中，正确的是（ ）
A． B．
C． D.
2．不改变代数式的值，把代数式括号前的“－”号变成“＋”号，结果应是（ ）
A． B． C． D.
3.已知a-b=-3,c+d=2,则（b+c）-(a-d)的值为（ ）
A.1 B.5 C.-5 D.-1
4.化简下列各式：（1）8m＋2n＋(5m－n)； （2）(5p－3q)－3( p2-2q )．


5.先化简，再求值：2(a＋8a2＋1－3a3)－3(－a＋7a2－2a3)，其中a＝－2 .



第2课时 整式的加减
重点：熟练进行整式的加减运算.难点：列式表示问题中的数量关系，去掉括号前是负因数的括号.
二十四、 要点探究
探究点1：整式的加减
问题1：如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 .交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是 .将这两个数相加： + = .
结论：这些和都是_________的倍数.
问题2：任意写一个三位数交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数，两个数相减.
例如：原三位数728，百位与个位交换后的数为827,由728 －827= －99.你能看出什么规律并验证它吗？
任意一个三位数可以表示成100a+10b+c
设原三位数为100a+10b+c，百位与个位交换后的数为100c+10b+a，它们的差为：
(100a+10b+c)－( 100c+10b+a)= 100a+10b+c－100c－10b－a=99a－99c=99(a－c)
在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？
例1 计算： (1)(2a-3b)+(5a+4b)；(2)(8a-7b)-(4a-5b)


例2 求多项式3x2+5x 与多项式-6x2+2x-3的和与差.


总结：整式的加减运算归结为_________、______________，运算结果仍是______．运算结果，常将多项式的某个字母（如x）的降幂（升幂）排列.
探究点2：整式的加减的应用
例3 一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？


总结归纳：整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
例5 求的值,其中



【针对训练】
有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－（4a3b3－a2b－b2）＋（a3b3＋a2b）－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.


二、课堂小结
1.整式的加减运算法则 .2.列整式解决实际问题的一般步骤.3.比较复杂的式子求值,先化简,再把数值代入计算.
当堂检测
1.已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
2.长方形的一边长等于3a+2b,另一边比它大a-b,那么这个长方形的周长是（ ）
A.14a+6b B.7a+3b　　 C.10a+10b　 D.12a+8b
3.若A是一个二次二项式，B是一个五次五项式，则B－A一定是（　 ）
A.二次多项式 B.三次多项式　 　C.五次三项式 D. 五次多项式
4.多项式与多项式的和不含二次项，则m为（ ）
A.2 B.-2 C.4 D.-4
5.已知 ，，则=_______________________.
6.若mn=m+3,则2mn+3m-5mn+10=__________.
7.计算：


8.某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下图（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？



（1）
思路点拨：设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3，分别表示两个图形的周长，再结合r1+r2+r3=R，化简式子比较大小.

第二章 整式的加减 2.1 整式第 1课时 用字母表示数
二十五、 要点探究
探究点1：用字母表示规律
问题1：如果用 x 表示所搭正方形的个数, 那么搭 x 个这样的正方形需要多少根火柴?

第1个 第2个 第x个
例1 根据你的计算方法，搭200个这样的正方形需要______根火柴棒; 搭2017个这样的正方形需要_______根火柴棒; 能否利用前面得到的结论？
探究点2：含字母的式子的书写
例2 用含有字母的式子表示下列数量
（1）苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表示现价；
（2）某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，用式子表示去年的产量；
（3）一个长方体包装盒的长和宽都是a cm，高是h cm，用式子表示它的体积；
（4）用式子表示数n的相反数.
归纳总结：列式注意事项① 数与字母、字母与字母相乘时省略乘号，数与字母相乘时数字在前；② 出现多个字母时，字母按照26个字母顺序排列；③ 相同字母相乘时应写成幂的形式；④ 1或-1与字母相乘时，1通常省略不写；
⑤ 式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写，带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数.
探究点3：用含字母的式子表示数量关系
例3 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
提示：顺水行驶时，船的速度=船在静水中的速度+水流速度；逆水行驶时，船的速度=船在静水中的速度-水流速度.
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要 z 元，用式子表示买 3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数；
（3）如左下图（图中长度单位：cm），用式子表示三角尺的面积；
（4）右下图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），用式子表示这所住宅的建筑面积.

要点归纳：列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言．
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．
针对训练
2.判断下列式子书写是否规范，不规范的请改正.

3.（1）某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入.
（2）圆柱体的底面半径、高分别是 r，h，用式子表示圆柱体的体积.
（4） 有两片棉田，一片有m hm2 (公顷，1 hm2 ＝104 m2 )，平均每公顷产棉花a kg；另一片有n hm2 ，平均每公顷产棉花b kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量.
（4）在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是a mm，小正方形的边长是b mm，用式子表示剩余部分的面积.
二、课堂小结
列式时：①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；②数与字母相乘时数字在前；③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；⑤带单位时，适当加括号.
当堂检测
用式子表示下列数量.
（1）5箱苹果重m kg，每箱重______ kg ；（2）一个数比a的2倍小5，则这个数为______ ；
（3）全校学生总数是x，其中女生占总数52%，则女生人数是______ ，男生人数是______ ；
（4）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每人分4本，还缺25本，则这批图书共______本；
第2课时 单项式
学习目标：1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念.2.会用单项式表示简单的数量关系.
二十六、 要点探究
探究点1：单项式的相关概念
问题1：用含有字母的式子填空：（1）棱长为a的正方形的表面积为______，体积为______ .
（2）铅笔的单价为x元,圆珠笔的单价是铅笔的单价2.5倍,圆珠笔的单价是______元.
（3）一辆汽车的速度是vkm/h,它t小时的行驶路程为______km.（4）一个圆的半径是r cm，它周长是______cm.
问题2：以上各式中运算有什么共同特点？
单项式：上面各式的运算中数字和字母之间，字母与字母之间的运算都是乘法运算(都是表示字母与数字、字母与字母的积).这样的式子叫做单项式.
例1 下列各式中哪些是单项式？

方法归纳：判断单项式的方法：1.单独一个数或一个字母也是单项式.2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
3.单项式数字因数与字母可能一个或多个.4.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
单项式的系数、次数：单项式中数与字母相乘,把数字因数叫做系数;所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.√
√
√
√

例2 用单项式填空,并指出它们的系数和次数.
（2） 每包书有12册,n包书有_____册； （2）底边长为a,高为h的三角形的面积是____；
（3）一个长方体的长和宽都是a,高为h,它的体积是____； （4）一台电视机原价为a元,现按原价的九折出售,这台电视机现在的售价为____； （5）一个长方形的长为0.9,宽为a,面积是____.
【归纳总结】确定单项式的系数及次数时，应注意：
①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写； ③省略1的字母指数别漏掉；④单项式次数只与字母指数有关.
探究点2：单项式的应用
问题：你能写出一个含有x、y，而且系数是-3，次数是4的单项式吗？提示：x、y的指数之和为4.

例3 若 (m-2)x2yn 是关于 x，y 的一个四次单项式，m，n应满足的条件？


针对训练
1.下列代数式中，单项式有 .
2.指出下列各单项式、、x的系数和次数.

3．已知是八次单项式，则m的值是(　　)A．4 B．3 C．2 D．1
4.已知是四次单项式，则p2＝________.
二、课堂小结
1.单独的一个数或一个字母也是单项式； 2.当一个单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如x2，－a2b等
3.圆周率π是常数，把它当作系数； 4.如果单项式系数为0，它就是0次单项式.5.单项式次数只与字母指数有关；
当堂检测
2. 下列各式是不是单项式？为什么？
； ； ； ；
2.判断下列各说法是否正确，将错误的改正过来.
（1）单项式的系数是0, 次数是2. (　　　)（2）单项式的系数是2, 次数是10 . (　　　)
（3）单项式的系数是,次数是n+1 . (　　　)
3.若ax2yb-1是关于x,y的单项式，系数为6，次数是3，则a=( ),b=( ).
4.已知是x，y的五次单项式，求a的值.




第3课时 多项式
重点：理解多项式的有关概念.难点：会确定一个多项式的项数和次数.
二十七、 要点探究
探究点1：多项式的相关概念
问题1：列式表示下列数量
（2） 温度由t℃下降5℃后是______℃.
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要___________元.
（3）如图三角尺的面积为___________. （4）如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是___________.

问题2：上述几个式子都是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
要点归纳：
1.几个单项式的和叫做多项式2.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项3.不含字母的项叫做常数项
4.多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数5.单项式与多项式统称为整式
例1 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：


要点归纳：
(1)多项式的各项应包括它前面的符号；(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；(3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；(4)一个多项式的最高次项可以不唯一.
例2：已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式.



【归纳】解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.然后根据题意，列出方程，求出m的值.
探究点2：多项式的应用
例3 如图所示，用式子表示圆环的面积．当r=15 cm，r=10cm时，求圆环的面积（π取3.14 ）．

例4　某公园的门票价格是：成人10元/张；学生5元/张.
（1）一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？（2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？

针对训练
1.将代数式①3，②，③，④，⑤，⑥x2，⑦3a＋1，⑧，⑨－x2＋yz，⑩填入适当的空格中（填序号）：
单项式：____________________；多项式：________________；整式：____________
2.多项式3m3-2m-5+m2的常数项是______，一次项是_____，二次项的系数是_____.
3.（1）a，b分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长l＝______，面积S＝___，当a＝2 cm，b＝3 cm时，l＝______ cm，S＝______cm 2 ；
（2）a，b分别表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，则梯形面积S＝_______，当a＝2 cm，b＝4 cm， h＝5 cm时， S＝______cm 2 ．
4.如果xn－(m－1)x＋2为三次二项式，求m2＋n的值．





二、课堂小结
系数：单项式中的数字因数.
单项式
次数:所有字母的指数的和.
整式
项：多项式中的每个单项式叫多项式的项.
多项式 （其中不含字母的项叫做常数项）
次数：多项式中次数最高的项的次数.
当堂检测
1.下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
3x，2x-1， ，-ab，-5， -1，3m-4n+m2n．

3. 判断正误：
（2） 多项式-x2y+2x2-y的次数2．（ ）（2）多项式 -a+3a2的一次项系数是1．（ ）
（3）-x-y-z是三次三项式．（ ）
3.一个关于字母x的二次三项式的二次项系数为４，一次项系数为１，常数项为7，则这个二次三项式为________．
4.若是关于x的一次式,则a =______,若它是关于x的二次二项式,则a =______.
5.多项式是关于a、b的四次三项式，且最高次项的系数为－2，则x=______,y=______.
6.已知多项式:是六次四项式,单项式的次数与这个多项式的次数相同,求n的值.



2.2 整式的加减 第1课时 合并同类项
重点：会判断同类项并能合并同类项.难点：同类项的定义，合并同类项法则的形成过程及应用.
二十八、 要点探究
探究点1：同类项的辨别
问题：先判断每一组是否是同类项，不是的，为前者配一个.
（1）2x2y与-3x2y （2）2abc与2ab （3）3pq与3qp （4）-4x2y与5xy2


总结归纳：判定几个单项式是同类项需注意：
（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；
（2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可. 并且不要忘记几个常数项也是同类项.
例1 (1)在6xy-3x2-4x2y-5yx2+x2中没有同类项的项是 .
(2)如果2a2bn+1与-4amb3是同类项，则m= ，n= .
探究点2：合并同类项及应用
问题：下列合并同类项对吗？不对的，说明理由.
(1)a+a=2a (4)4x2y-5xy2=-x2y (2)3a+2b=5ab (5)3x2+2x3=5x5(3)5y2-3y2=2 (6)a+a-5a=3a
总结归纳：“合并同类项”的方法：
一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出；
二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
三合，将同一括号内的同类项相加即可.
例2 (1)水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降２cm；第二天连续上升了a小时，每小时平均上0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？
(2)某商店原有５袋大米，每袋大米为x千克．上午卖出３袋，下午又购进同样包装的大米４袋．进货后这个商店有大米多少千克？
例3 (1)求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x＝.
(2)求多项式3a＋abc－c2－3a＋c2的值，其中a＝－，b＝2，c＝－3.[来源:Z
分析：在多项式求值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再代入求值，这样可以简化计算.





针对训练
1.下列各组式子中，是同类项的是（ ）A、与 B、与 C、与 D、与
3. （1）如果与是同类项，则m=_________,n=___________.
（2）若和是同类项，则m=_________,n=___________.
3.合并下列各式的同类项：
(1)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(2)4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.
二、课堂小结
所含字母相同
两同
相同字母的指数相同
同类项
与系数无关
两无关
与所含字母的顺序无关
2.合并同类项——“一加二不变”
当堂检测
1.下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．-2a与a2 B．2a2b与3ab2 C．5ab2c与-b2ac D．-ab2和4ab2c
2.下列运算中正确的是（ ）
A．3a2-2a2=a2 B．3a2-2a2=1 C．3x2-x2=3 D．3x2-x=2x
3．如果5x2y与xmyn是同类项，那么m =____，n =____．
4．合并同类项：
（1）-a-a-2a=________； （2）-xy-5xy+6yx=________；
（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______；（4）3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7______________．
5.三角形三边长分别为，则这个三角形的周长为 ；当时，周长为 .
6．求下列各式的值:
（1）3x2-8x+2x3-13x2+2x-2x3+3，其中x=-1．
（2）a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b，其中a=0.1，b=0.01．


2.2 整式的加减 第2课时 去括号
重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简.难点：括号前面是“﹣”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误.
二十九、 要点探究
探究点1：去括号化简
问题：比较、‚两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
+120（t-0.5）=+120t-60  -120（t-0.5）=-120t+60 ‚

要点归纳：
1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
例1 化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）； （2）（5a-3b）-3（a2-2b）；（3）(2x2＋x)－[4x2－(3x2－x)]．


【归纳总结】
1.当括号前面有数字因数时，可应用乘法分配律将这个数字因数乘以括号内的每一项，切勿漏乘．
2.当含有多重括号时，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号．每去掉一层括号，若有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简化，减少差错．
探究点2：去括号化简的应用
例2 两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时.问: (1)2小时后两船相距多远?(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米?


例3：先化简，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]＋2x2y－xy2.



归纳】在化简时要注意去括号时是否变号；在代入时若所给的值是负数、分数、有乘方运算的，代入时要添上括号.
针对训练
2. 化简：（1）3(a2－4a＋3)－5(5a2－a＋2)；
（2）3(x2－5xy)－4(x2＋2xy－y2)－5(y2－3xy)；
（4） .
3. 先化简，再求值：(3a2－ab＋7)－(5ab－4a2＋7)，其中a＝2，b＝ .



二、课堂小结：1.去括号时要将括号前的符号和括号一起去掉；2.去括号时首先弄清括号前是“+”还是“-”；
3.去括号时当括号前有数字因数应用乘法分配律，切勿漏乘.
当堂检测
2. 下列去括号中，正确的是（ ）
B． B．
C． D.
2．不改变代数式的值，把代数式括号前的“－”号变成“＋”号，结果应是（ ）
A． B． C． D.
3.已知a-b=-3,c+d=2,则（b+c）-(a-d)的值为（ ）
A.1 B.5 C.-5 D.-1
4.化简下列各式：（1）8m＋2n＋(5m－n)； （2）(5p－3q)－3( p2-2q )．


5.先化简，再求值：2(a＋8a2＋1－3a3)－3(－a＋7a2－2a3)，其中a＝－2 .



第2课时 整式的加减
重点：熟练进行整式的加减运算.难点：列式表示问题中的数量关系，去掉括号前是负因数的括号.
三十、 要点探究
探究点1：整式的加减
问题1：如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 .交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是 .将这两个数相加： + = .
结论：这些和都是_________的倍数.
问题2：任意写一个三位数交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数，两个数相减.
例如：原三位数728，百位与个位交换后的数为827,由728 －827= －99.你能看出什么规律并验证它吗？
任意一个三位数可以表示成100a+10b+c
设原三位数为100a+10b+c，百位与个位交换后的数为100c+10b+a，它们的差为：
(100a+10b+c)－( 100c+10b+a)= 100a+10b+c－100c－10b－a=99a－99c=99(a－c)
在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？
例1 计算： (1)(2a-3b)+(5a+4b)；(2)(8a-7b)-(4a-5b)


例2 求多项式3x2+5x 与多项式-6x2+2x-3的和与差.


总结：整式的加减运算归结为_________、______________，运算结果仍是______．运算结果，常将多项式的某个字母（如x）的降幂（升幂）排列.
探究点2：整式的加减的应用
例3 一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？


总结归纳：整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
例5 求的值,其中



【针对训练】
有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－（4a3b3－a2b－b2）＋（a3b3＋a2b）－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.


二、课堂小结
1.整式的加减运算法则 .2.列整式解决实际问题的一般步骤.3.比较复杂的式子求值,先化简,再把数值代入计算.
当堂检测
1.已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
2.长方形的一边长等于3a+2b,另一边比它大a-b,那么这个长方形的周长是（ ）
A.14a+6b B.7a+3b　　 C.10a+10b　 D.12a+8b
3.若A是一个二次二项式，B是一个五次五项式，则B－A一定是（　 ）
A.二次多项式 B.三次多项式　 　C.五次三项式 D. 五次多项式
4.多项式与多项式的和不含二次项，则m为（ ）
A.2 B.-2 C.4 D.-4
5.已知 ，，则=_______________________.
6.若mn=m+3,则2mn+3m-5mn+10=__________.
7.计算：

8.某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下图（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？

（2）
思路点拨：设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3，分别表示两个图形的周长，再结合r1+r2+r3=R，化简式子比较大小.
第四章 几何图形初步4.1 几何图形4.1.1 立体图形与平面图形
第1课时 认识立体图形与平面图形
学习目标：1. 能从简单实物的外形中抽象出几何图形，并了解立体图形与平面图形的
区别.
2. 会判断一个图形是立体图形还是平面图形，能准确识别简单几何体.
重点：识别简单的几何图形，培养几何直觉.
难点：从实物中得出几何图形，理解立体图形与平面图形的区别与联系.

自主学习

一、知识链接
1. 说一说你知道的平面图形和立体图形，它们能让你联想到日常生活中的哪些实物？


2. 你认为立体图形和平面图形有什么区别和联系？



课堂探究

三十一、 要点探究
探究点1：几何图形
合作探究：
观察这个纸盒，从中可以看出哪些你熟悉的图形?
从整体上看，它的形状是 ；看不同的侧面，得到的是 或 ；
看棱得到的是 ；看顶点得到的是 .



探究点2：立体图形
观察与思考：
说一说下面这些几何图形有什么共同特点？

认识棱柱与棱锥：



思考：
(1) 棱锥与棱柱的区别是什么？

(2) 圆锥与圆柱的区别是什么？


议一议 根据已有的数学经验，我们能否把它们进行分类？你的标准是什么？

要点归纳

针对训练
1. 图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来.

2. 观察小茗的房间，说说你能看到哪些立体图形.

探究点3：平面图形
观察与思考：
说一说下面这些几何图形又有什么共同特点？

画一画
用两个圆、两个三角形和两条直线为条件，画出一个独特且具有意义的图形，并命名.

针对训练
下面各图中包含哪些简单的平面图形？请再举出一些平面图形的例子.

二、课堂小结
简单几何图形的分类：
三棱柱
四棱柱
五棱柱
…
圆柱
棱柱

柱体


立体图形
球体

三棱锥
四棱锥
五棱锥
…
圆锥
棱锥

锥体

几何图形


多边形
圆
线段
角
…


平面图形




当堂检测

1. 下列图形不是立体图形的是 ( )
A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 圆


2. 长方体属于 ( )
A. 棱锥 B. 棱柱 C. 圆柱 D. 以上都不对

3. 下列几何体中属于棱锥的是 ( )

A. ①⑤① B. ① C. ①⑤⑥ D. ⑤⑥
4. 月球、西瓜、易拉罐、篮球、热水瓶胆、书本等物体中，形状类似圆柱的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 观察下列图形，在括号内填上相应名称.




6. 图中的各立体图形的表面包含哪些平面图形？试指出这些平面图形在立体图形中的
位置.

第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
4.1.1 立体图形与平面图形
第2课时 从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图
学习目标：1. 了解立体图形与平面图形之间的联系.
2. 能画出简单立体图形从不同方向看得到的平面图形.
3. 了解研究立体图形的方法，体会一个立体图形按照不同方式展开可得到不
同的平面展开图.
4. 通过展开与折叠，了解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、长方体、正方体的表面
展开图或根据展开图判断立体图形.
重点：了解立体图形从不同方向看能够得到平面图形，了解基本几何体与其展开图的关
系，体会一个立体图形可以有多种展开图.
难点：会画简单立体图形从不同方向看得到的平面图形，能够画出简单立体图形的展开
图，或根据展开图判断立体图形.


课堂探究

三十二、 要点探究
探究点1：从不同的方向看立体图形
合作探究：
画出正方体、长方体、圆柱体、圆锥、四棱锥、三棱柱从正面、左面、上面看得到的平面图形．












例1 下图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，
各能得到什么平面图形？





针对训练
图中的几何体从正面看得到的平面图形是____，从左面看得到的平面图形是____，从上面看得到的平面图形是____．



探究点2：立体图形的展开图
合作探究：
将一个正方体的表面沿某些棱剪开,能展成哪些平面图形？




思考：
正方体展开图可以分为几种？
这些展开图有没有什么规律？哪些展开图可以分为一类，为什么？





要点归纳：
1.巧记正方体的展开图口诀：
正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁，十一类图记分明；
一四一呈6种，二三一有3种，二二二与三三各1种；
对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田”.
2.一个多面体的展开图中，在同一直线上的相邻的三个线框中，首尾两个线框是立体图形中相对的两个面.

针对训练
1. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是 ( )

2. “坚”在下，“就”在后，“胜”和“利”在哪里？


3. 下面图形是一些多面体的表面展开图,你能说出这些多面体的名字吗?












4. 下列立体图形的平面展开图是什么?








二、课堂小结
常见几何体的展开图：


当堂检测

1. 下图所示的从正面、上面看到的图形对应的是 ( )


2. 下图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，
又可以堵住方形空洞的是 ( )


3. 下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的从正面、左面、上面看得到的三个平面
图形，这些相同的小正方体的个数是 ( )
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个



4. 下列的三幅平面图是三棱柱的表面展开图的有(多选) ( )

5. 如图是一个立方体纸盒的展开图，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数
互为相反数，求：a= ；b= ；c= .

第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
4.1.2 点、线、面、体
学习目标：1. 知道点、线、面、体是构成几何图形的元素. 进一步认识点、线、面、
体的几何特征.
2. 知道点、线、面、体之间的关系.
重点：认识点、线、面、体，知道它们之间的联系.
难点：进一步培养空间想象能力，能够想象出点、线、面运动后所形成的几何图形.
自主学习

一、知识链接
1. 观察下面的长方体，它有几个面？面与面相交的地方形成了几条棱？棱和棱相交成几
个顶点？



2. 把笔尖看作一个点，移动笔尖，笔尖划过的痕迹是什么图形？在生活中还有这样的例
子吗？


3. 把笔当作一条线，动手移动这条线，观察它扫过的痕迹，都能看到什么图形？你能举
出生活中这样的实例吗？


4. 准备一个长方形纸片，把它看作一个面，移动这个面，观察它扫过的空间形成什么图
形？


二、 新知预习
1. 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体.包
围着体的是面，面与面相交的地方形成 ，线和线相交的地方是 .
2. 笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成 ，这可以说成点动成线. 类
似地，线动成 ，面动成 .

三、我的疑惑
____________________________________________________________

课堂探究

三十三、 要点探究
探究点1：图形构成的元素
合作探究：
问题：1. 你知道这些几何体是由什么围成的吗？
2. 下图中的图形分别有哪些面？这些面有什么不同吗？

针对训练
如下图，围成这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？



观察与思考：
观察长方体、圆柱、棱锥等熟悉的几何体模型，结合下列问题小组合作探究：
(1) 面和面相交的地方形成了什么？它们有什么不同吗？
(2) 线和线相交处又形成了什么？它们有什么不同吗？



要点归纳：
体由面围成，面有平面和曲面；
面与面相交成线，线有直线和曲线；
线与线相交成点.

探究点2：由点、线、面运动而形成的图形
问题：笔尖可以看作是一个点，这个点在纸上运动时，形成了什么？你能举出其他实例吗？





思考：汽车雨刷可以看作什么几何图形？它在挡风玻璃上运动时的路线形成什么几何图形？

思考：长方形纸片绕它的一边旋转一周，会形成什么图形？



针对训练
如下图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来.



二、课堂小结



当堂检测

1. 围成圆柱体的面有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 多于3个

2. 下列说法：①平面上的线都是直线；②曲面上的线都是曲线；③两条线相交只能得到
一个交点；④两个面相交只能得到一条直线，不正确的有 ( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

3. 笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字这说明了__________；自行车车轮旋转时，
看起来像一个整体的圆面，这说明了_________；直角三角形绕它的直角边旋转一周，
形成了一圆锥体，这说明了 _________. 
4. 如图：三棱锥有 个面，它们相交形成了 条棱，这些棱相交形成了 个点.

5. 请把下图中的平面图形与其绕轴旋转一周后得到的立体图形连接起来.

6. 长为4cm，宽为2cm的长方形，绕其一边进行旋转得到一几何体.
(1) 这个几何体是什么？
(2) 这个几何体的表面积是多少？
(3) 这个几何体的体积是多少？


第四章 几何图形初步
4.2 直线、射线、线段
第1课时 直线、射线、线段
学习目标：1. 掌握“两点确定一条直线”的基本事实，了解点和直线的位置关系.
2. 进一步认识直线、射线、线段，会用正确的方法表示直线、射线、线段.
3. 理解直线、射线、线段的区别与联系.
重点：理解并掌握直线的性质，会用字母表示图形和根据语言描述画出图形.
难点：理解直线、射线、线段的区别与联系，掌握“符号语言、文字语言、图形语言”
之间的转化.
自主学习

一、知识链接
1. 观察下列图形，回忆小学时候的知识，将你联想到的图形填在图形下边的横线上（填“直线”“射线”或“线段”）.


_________________ _______________ ________________
2. 自己动手，分别画一条直线、射线和线段.

课堂探究

三十四、 要点探究
探究点1：直线
合作探究：
过一点O可以画几条直线？过两点A，B可以画几条直线？
.A

.B
.O



要点归纳：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简称：两点确定一条直线.
说一说：生活中有哪些应用有关直线的基本事实的例子.
针对训练
如果你想将一根木条固定在墙上，并使其不能转动，至少需要几个钉子？你知道这样做的依据是什么吗？



想一想：用不同的方法表示下图中的直线

要点归纳：表示直线的方法：①用一个小写字母表示，如直线m;②用两个大写字母表示，注：这两个大写字母可交换顺序.
画一画：1.在纸上画一条直线和一个点，想一想点和直线有哪些位置关系？


如图：点A在直线l上，点B在直线l外
或者说：直线 l 经过点 A
点B不在直线l上 (直线l不经过点B )
2.在纸上画两条直线，它们之间有哪些位置关系？


如图，直线a和b相交于点O

要点归纳：
当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的________.

针对训练
1.判断下列语句是否正确，并把错误的语句改过来：
① 一条直线可以表示为“直线A”；
② 一条直线可以表示为“直线ab”；
③ 一条直线既可以表示为“直线AB”又可以表示为“直线BA”，还可以记为
“直线m”.
2.按下列语句画出图形：
(1) 直线EF经过点C；
(2) 点A在直线l外.
探究点2：射线、线段
思考：如何表示射线和线段？



议一议：
（1） 试一试，如何由线段得到直线、射线，如何由射线得到直线？三者之间有什么联系？


要点归纳：
直线、射线、线段三者的联系：
1. 将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
2. 将线段向两个方向无限延长就形成了直线.
3. 线段和射线都是直线的一部分.

（2）观察自己的画的直线、射线和线段，想一想它们有什么区别？填写下表：
类型
端点个数
延伸性
能否度量
线段



射线



直线








猜一猜：以下三个箱子中各有一个数学谜语，你能猜出谜底吗（均为打一线的名称）？



针对训练
按下列语句画出图形：
(1) 经过点O的三条线段a，b，c；
(2) 线段AB，CD相交于点B.




二、课堂小结
1. 经过两点有一条直线并且只有一条直线.
2. 不同几何语言 (文字语言、图形语言) 的相互转化.
3. 直线、射线、线段的表示方法.
4. 直线、射线、线段三者的区别与联系.

当堂检测

1. 在同一平面内有三个点A，B，C，过其中任意两个点做直线，可以画出的直线的条是 ( )
A. 1 B. 2 C. 1或3 D. 无法确定
2. 下列表示方法正确的是 ( )
A. 线段L B. 直线ab C. 直线m D. 射线Oa
3. 下列语句准确规范的是 ( )
A. 延长直线AB B. 直线AB，CD相交于点M
C. 延长射线AO到点B D. 直线a，b相交于一点m
4. 如图，A，B，C三点在一条直线上，
(1) 图中有几条直线，怎样表示它们？
(2) 图中有几条线段，怎样表示它们？
(3) 射线AB和射线AC是同一条射线吗？
(4) 图中有几条射线？写出以点B为端点的射线.



5. 如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1) 做射线BC；
(2) 连接线段AC，BD交于点F；
(3) 画直线AB，交线段DC的延长线于点E；
(4) 连接线段AD，并将其反向延长.


拓展提升
6.往返于A、B两地的客车，中途停靠三个站，每两站间的票价均不相同，问：
（1）有多少种不同的票价？
（2）要准备多少种车票？

4.2 直线、射线、线段
第1课时 直线、射线、线段
学习目标：1. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.
2. 理解线段等分点的意义.
3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学
会运用.
重点：作一条线段等于已知线段，理解线段的和、差，掌握线段中点的概念，理解“两
点之间，线段最短”的线段性质.
难点：利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差，利用线段的和、差、倍、分求
线段的长度，“两点之间，线段最短”的实际运用.

课堂探究

三十五、 要点探究
探究点1：线段长短的比较
合作探究：
问题1 做手工时，在没有刻度尺的条件下，如何从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长？




问题2 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，如何再画一条与它相等的线段？


要点归纳：
尺规作图：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法：
1. 画射线AC；2.在射线AC上截取AB=a.
问题3 若要比较两个同学的身高，有哪些办法？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？

试一试：比较线段AB，CD的长短.

(1) 度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较：
AB=_________;BC=_______,________>_______,所以_______>_______;

(2) 叠合法：将点A与点C重合，再进行比较：
若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB_____CD.
‚若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D________，那么 AB = CD.
ƒ若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB_________CD.

探究点2：线段的和、差、倍、分
画一画：在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是 与 的和，记作AC= . 如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是 与 的差，记作AD= .

观察与思考：
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？

要点归纳：
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点.

几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点
∴ AM = MB = AB，
　或 AB = AM = MB

例1 若AB = 6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求：线段AD的长是多少?




例2　如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．



变式训练：
如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=AB= CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长




方法总结：求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.

例3　A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　）
A．1cm B．9cm　　　　　C．1cm或9cm D．以上答案都不对

变式训练：
已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　）
A．21cm或4cm B．20.5cm　　　　C．4.5cm 　D．20.5cm或4.5cm


方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：点在某一线段上；‚点在该线段的延长线.


针对训练
1.如图，点B，C在线段AD上则AB+BC=____；AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　第1题图　　　　　　　　　　　第2题图　　　　　　　　第3题图
2.如图，点C是线段AB的中点，若AB=8cm，则AC = cm.
3.如图，下列说法，不能判断点C是线段AB的中点的是 ( )
A. AC=CB B. AB=2AC　　　C. AC+CB=AB D. CB =AB
4. 如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使AB=2a－b.





5.如图，线段AB=4cm，BC=6cm，若点D为线段AB的中点，点E为线段BC的中点，
求线段DE的长.









探究点3：有关线段的基本事实
议一议：
如图：从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.


想一想：
1. 如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最
短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由.
2. 把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？
　　　　　
　　　第1题图　　　　　　　　　　第2题图
要点归纳：1.两点的所有连线中，_____最短.简称：两点之间，_____最短.
2.连接两点间的线段的_______，叫做这两点的距离.
针对训练
1. 如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+AC BC (填“>”“<”或“=”). 其
中蕴含的数学道理是 .

2. 在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，如图，现在要在公路l上建一个汽
车站C，使汽车站到A，B两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.


二、课堂小结
1. 基本作图：作一条线段等于已知线段.
2. 比较两条线段大小 (长短) 的方法：度量法；叠合法.

3. 线段的中点.
因为点M是线段AB的中点，
所以AM=BM=AB. (反过来说也是成立的)
4. 两点之间的所有连线中，线段最短；两点之间线段的长度 ，叫做这两点之间的距离．

当堂检测

1. 下列说法正确的是 ( )
A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段
B. 两点之间的距离是指两点之间的直线
C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度
D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度
2. 如图，AC=DB，则图中另外两条相等的线段为_____________.

　　
　　　　第2题图　　　　　　　　　　　　第3题图
3.已知线段AB = 6 cm，延长AB到C，使BC=2AB，若D为AB的中点，则线段DC的长为_____________.
4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_________．
5. 如图：AB=4cm，BC=3cm，如果点O是线段AC的中点．求线段OB的长度．



6.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．

第四章 几何图形初步
4.3 角
4.3.1 角
学习目标：1. 理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法.
2. 会正确使用量角器测量角的大小.
3. 认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.
重点：理解角的两种定义，掌握角的表示方法，认识角的单位.
难点：会进行度、分、秒之间的换算.

自主学习

一、知识链接
1. 回忆小学所学的知识，说一说什么是角？

2. 直角、平角、周角各是多少度？


二、 新知预学
观察角的图像，你能归纳出角的特点吗？尝试去描述一下角是由什么组成的图形？

要点归纳：有公共端点的两条_______组成的图形，叫做角.这个公共端点叫做角的__________,两条___________叫做角的两条边.
三、自学自测
判断下列哪些图形是角

四、 我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________


课堂探究

三十六、 要点探究
探究点1：角的概念及表示方法
问题1 有哪些方式可以表示如图所示的角？
1. 用一个大写字母表示：∠_____
2. 用三个大写字母表示：∠_____或∠_____
3. 用一个小写希腊字母或数字表示：∠_____


问题2 下图中有哪些角？如何表示？还能用∠O表示∠AOB吗？
图中的角有___________________________________
____________________________________________.
___________（填“能”或不能）用∠O表示∠AOB.

要点归纳：
角的表示方法：用一个大写字母表示，该大写字母表示的点为顶点；‚用三个大写字母表示；ƒ用一个数字或一个小写希腊字母表示.
注意：当两个或两个以上的角共同一个顶点时，不能用一个大写字母表示；‚当用三个大写字母表示角时，必须把顶点字母放在中间；ƒ用数字或希腊字母表示角时，一定要在图形中用角弧标出.

思考：
角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. 如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA 重合时，又形成什么角？





针对训练
1. 图中有　　个角，你能将它们表示出来吗？

2.下列说法正确的是 ( )
A. 平角是一条直线 B. 一条射线是一个周角
C. 两条射线组成的图形叫做角 D. 两边成一直线的角是平角

3.填写下表，将图中的角用不同方法表示出来.






探究点2：角的度量
思考：怎么知道这个角的大小？



知识要点
1周角＝　　　°；1平角＝　　　°.1°＝　　　′； 1′＝　　　″.
例1 计算
(1) 57.32°= ° ′ ″； (2) 17°6′36″= °.
方法总结：由度转化为度分秒的形式，按1°＝_____′，1′＝_____″，先把度化成分，再把分化成秒. (小数化整数)；由度分秒转化为度的形式，按1″＝_____′，1′＝_____°先把秒化成分，再把分化成度. (整数化小数)
例2 如图，时钟显示为10：10时，时针与分针所夹角度是 ( )
A．90° B．100° C．105° D．110°

针对训练
1.计算：
（1）5°＝　　　′＝　 　　″；（2）38.15°＝　　　°　　　′；
（3）36″＝　　　′=　　　°；（4）38°15′＝　　　　°.
2. 时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是_________°.

二、课堂小结

当堂检测

1. 下列语句正确的是 ( )
A. 两条直线相交，组成的图形叫做角
B. 两条有公共端点的线段组成的图形叫做角
C. 两条有公共点的射线组成的图形叫做角
D. 从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角
2. 下列说法不正确的是 ( )
A. ∠AOB的顶点是O B. 射线BO，AO分别是∠AOB的两条边
C. ∠AOB的边是两条射线 D. ∠AOB与∠BOA表示同一个角
3. 甲、乙、丙、丁，四名学生在判断钟表的分针和时针互相垂直的时刻时，每人说了两个时刻，
说法都对的是（　　）
A．甲：“3时整和3时30分” B．乙说“6时15分和6时45分”
C．丙说“9时整和12时15分” D．丁说：“3时整和9时整”
4. 判断
(1) 直线是一个平角 ( )
(2) 如图①，点P不在∠AOB的内部 ( )
(3) 如图②，∠ABC与∠DBE是同一个角 ( )

5. 如图所示：
(1) 图中共有多少个角？请写出能用一个字母表示的角；
(2) 把图中所有的角都表示出来.




6. 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，请说明它们的大小关系.





能力提升：

7. (1) 如图∠AOB内部画1条射线，问图中一共有多少个角？如果是画2条、3条呢？





(2) ∠AOB内部画99条射线，问图中一共有多少个角？如果是 (n－1) 条呢？



第四章 几何图形初步
4.3 角
4.3.2 角的比较与运算
学习目标：1. 掌握角的大小的比较方法.
2. 理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言
进行相关表述，并能解答相关问题.
3. 会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
重点：掌握角的大小的比较方法，理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量
关系，能够用几何语言进行相关表述.
难点：能够解答角平分线和角的和、差、倍、分有关的问题，会进行涉及度、分、秒的
角度的计算.


课堂探究

三十七、 要点探究
探究点1：角的比较与计算
合作探究：
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？




观察与思考：
图中有几个角？它们之间有什么关系？





针对训练
如图所示：
(1) ∠AOC是哪两个角的和？
(2) ∠AOB是哪两个角的差？
(3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？


例1 填空：
(1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝ 度．

(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝ 度．
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC＝ 度．


易错提醒：在计算角的度数时，若无图，一定要注意分类讨论.

试一试：
如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？



例2 计算
（1） 120°－38°41′； （2）67°31′+48°49′.



要点归纳：
涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.

针对训练
1. 用一副三角板不能画出（　　）
A．15°角 B．135°角 C．145°角 D．105°角
2.已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（　　）A．28° B．112° C．28°或112° D．68°
3.计算：
（1）20°30′×8.； （2）106°6′÷5.



探究点2：角的平分线
互动探究
动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=_____∠AOC.

要点归纳：
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_________的角的射线，叫做这个角的平分线.
应用格式：
∵ OC 是∠AOB 的角平分线，
∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝________∠AOB，
∠AOB ＝________∠BOC ＝________∠AOC.




例3 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD
是多少度？
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB
是多少度？







例4 已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．






方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
针对训练
1. 如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是
( )
A. ∠COD=∠AOC B. ∠COD=∠AOC
C. ∠COD=∠AOC D. ∠COD=∠AOC

2. 如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.


二、课堂小结


当堂检测

1. 如图，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，则∠BOC=____.

2. 已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC的度数是 .
3. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.


4. 计算：
(1) 12°36′56″+45°24′35″； (2) 79°45′+61°48′49″；



(3) 62°24′17″×4； (4) 102°43′÷3.




5.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．




6.如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1) 求∠EOD的度数；
(2) 若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．





第四章 几何图形初步
4.2 直线、射线、线段
第1课时 直线、射线、线段
学习目标：1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角
的知识解决相关问题.
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
重点：了解余角、补角的概念及性质，了解方位角的概念和表达方式.
难点：运用余角、补角和方位角的相关知识解题.

自主学习

一、知识链接
如图①，在长方形中，∠1+∠2= °，
∠3+∠4= °.


图①
二、新知预习
1. 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为______ (简称为两个角______ ).
如图①，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
2. 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为______ (简称为两个角______).
如图①，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.

三、自学自测
1. 图中给出的各角，哪些互为余角？








2. 图中给出的各角，哪些互为补角？











四、我的疑惑
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

课堂探究

三十八、 要点探究
探究点1：有关余角和补角的计算
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.






方法总结：余补角问题中，若角之间有比较明显的倍分关系，可尝试将较小的角设为未知数，列方程解答.

例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．





观察与思考：
∠α
∠α的余角
∠α的补角
5°


32°


45°


77°


62°23′


x°(0＜x＜90)



观察可得结论：
锐角的补角比它的余角大_____.

针对训练
1. 如果∠a=36°，那么∠a的余角等于（　　）
A．54° B．64° C．144° D．134°
2.如图，将一副直角三角板如图放置，若∠AOD=18°，则∠BOC的度数为_____.

第2题图 变式题图
【变式题】一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大44°，则∠1=______.
3.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.




探究点2：余角和补角的性质
思考：∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？







例3 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．







针对训练
如图，已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.

探究点3：方位角

八大方位
正东：
正南：
正西：
正北：
西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向：

例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北 (即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.


针对训练
1. 如图，说出下列方位
(1) 射线 OA 表示的方向为 .
(2) 射线 OB 表示的方向为 .
(3) 射线 OC 表示的方向为 . .
(4) 射线 OD 表示的方向为 .
2.费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？




二、课堂小结




当堂检测

1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.下列说法正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.
4.∠1与∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，则∠1= ，∠2= .
5. 请认真观察下图，回答下列问题：
(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？


6 垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色
漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.
(1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；



(2) 点C在点A的北偏东60°的方向上，那么点 A在点C的________方向上.
A. 南偏东30° B. 南偏西30°C. 南偏东60° D. 南偏西60°