2022年广西桂林中考数学复习训练：第23讲 圆的有关计算(含答案)

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A． eq \f(3,2) π B．2π C．3π D．6π
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧 eq \(AB,\s\up8(︵)) 上任意一点(与点B不重合)，则∠BPC的度数为(B)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．(2021·湖北中考)用半径为30 cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为(B)
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．20 cm
4．若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为__ eq \f(3,4) π__．
5．(2021·上海中考)六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，则中间正六边形的面积为__ eq \f(3\r(3),2) __．
6．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD′E′F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是__3π__．
7．如图，半圆O的直径AB＝6，弦CD＝3， eq \(AD,\s\up8(︵)) 的长为 eq \f(3,4) π，求 eq \(BC,\s\up8(︵)) 的长．
【解析】连接OD，OC，
∵CD＝OC＝OD＝3，
∴△CDO是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴ eq \(CD,\s\up8(︵)) 的长为 eq \f(60·π×3,180) ＝π，
又∵半圆弧的长度为 eq \f(1,2) ×6π＝3π，
∴ eq \(BC,\s\up8(︵)) 的长为3π－π－ eq \f(3π,4) ＝ eq \f(5π,4) .
8．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点，连接AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.
(1)计算∠CAD的度数．
(2)连接AE，证明：AE＝ME.
(3)求证：ME2＝BM·BE.
【解析】(1)∵A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点，
∴ eq \(CD,\s\up8(︵)) 的度数为 eq \f(360°,5) ＝72°，
∴∠COD＝72°.
∵∠COD＝2∠CAD，∴∠CAD＝36°.
(2)连接AE，
∵A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点，
∴ eq \(AB,\s\up8(︵)) ＝ eq \(DE,\s\up8(︵)) ＝ eq \(AE,\s\up8(︵)) ＝ eq \(CD,\s\up8(︵)) ＝ eq \(BC,\s\up8(︵)) ，
∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°，
∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36°，
∴∠AME＝72°，
∴∠AME＝∠CAE，∴AE＝ME.
(3)连接AB，
由(2)可知：
∠NAE＝∠AEN＝36°，
∠ABE＝∠AEB＝36°，
AB＝AE，
∴△ABE∽△NAE，
△ABM≌△EAN，
∴ eq \f(AB,AN) ＝ eq \f(BE,AE) ，AN＝BM，
∴AB·AE＝AN·BE.
∵AB＝AE＝ME，∴ME2＝BM·BE.
9．(2021·百色模拟)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，⊙O的半径为4.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求BD的长；
(3)阴影部分的面积．
【解析】(1)连接OC，则∠COD＝2∠CAD，
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝30°，∴∠COD＝60°，
∴∠OCD＝180°－60°－30°＝90°，
∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；
(2)由(1)知△OCD为直角三角形，且∠D＝30°，
所以OD＝2OC＝2×4＝8，且OB＝4，所以BD＝8－4＝4；
(3)在Rt△OCD中，OC＝4，OD＝8，由勾股定理可求得CD＝4 eq \r(3) ，
所以S△OCD＝ eq \f(1,2) OC·CD＝ eq \f(1,2) ×4×4 eq \r(3) ＝8 eq \r(3) ，
因为∠COD＝60°，所以S扇形COB＝ eq \f(60π×42,360) ＝ eq \f(8,3) π，
所以S阴影＝S△OCD－S扇形COB＝8 eq \r(3) － eq \f(8,3) π.
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝∠ABC，AC＝2 eq \r(3) ，则 eq \(ABC,\s\up8(︵)) 的长度是(B)
A． eq \f(2π,3) B． eq \f(4π,3) C．2π D． eq \f(8π,3)
11.如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是3 m，底面半径为2 m，则做这把遮阳伞需用布料的面积是(D)
A．4π m2 B．2π m2 C．8π m2 D．6π m2
12．如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的 eq \(AB,\s\up8(︵)) 恰好与OA，OB相切，则劣弧AB的长为(B)
A． eq \f(5,3) π B． eq \f(5,2) π C． eq \f(5,4) π D． eq \f(5,6) π
13．图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆)，正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近(C)
A． eq \f(4,5) B． eq \f(3,4) C． eq \f(2,3) D． eq \f(1,2)
14．(2021·湖州中考)如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ eq \r(3) ，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是(B)
A．π B．π＋ eq \f(3\r(3),4)
C． eq \f(3\r(3),2) D．2π
15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为 eq \(DE,\s\up8(︵)) 上一点(点P与点D，点E不重合)，连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于__54__度．
16．(2021·凉山州中考)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A′B′C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积为__ eq \f(5π,3) __．
17．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH.
(1)求∠FAB的度数．
(2)求证：OG＝OH.
【解析】(1)∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝ eq \f(（6－2）×180°,6) ＝120°.
(2)连接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH.
在△AOG和△BOH中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AG＝BH，,∠OAG＝∠OBH，,OA＝OB，))
∴△AOG≌△BOH(SAS)，∴OG＝OH.
【核心素养题】
如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
(1)求由 eq \(EF,\s\up8(︵)) 及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积．
(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
【解析】(1)∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝ eq \r(3) AD＝6 eq \r(3) ，∴BC＝2BD＝12 eq \r(3) ，
∴由 eq \(EF,\s\up8(︵)) 及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积＝S△ABC－S扇形EAF＝ eq \f(1,2) ×6×12 eq \r(3) － eq \f(120·π·62,360) ＝36 eq \r(3) －12π.
(2)设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝ eq \f(120·π·6,180) ，解得r＝2，
∴这个圆锥的高h＝ eq \r(62－22) ＝4 eq \r(2) .
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