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黑龙江省省龙东地区2022年中考数学真题解析版
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这是一份黑龙江省省龙东地区2022年中考数学真题解析版，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省省龙东地区2022年中考数学真题
一、单选题
1．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．(b−a)2=b2−a2 B．3a⋅2a=6a
C．(−x2)2=x4 D．a6÷a2=a3
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；幂的乘方
【解析】【解答】(b−a)2=b2+a2−2ab，故A不符合题意；
3a⋅2a=6a2，故B不符合题意；
(−x2)2=x4，故C符合题意；
a6÷a2=a4，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式、单项式乘单项式、幂的乘方和同底数幂的除法逐项判断即可。
2．下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴不符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，是中心对称图形
∴符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ）
A．181 B．175 C．176 D．175.5
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，
∴这6个数据的中位数为175+1762=175.5，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义求解即可。
4．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有5+3=8个．
故答案为：B．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
5．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设有x支队伍，根据题意，得12x(x−1)=45，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故答案为：B．
【分析】设有x支队伍，根据题意列出方程12x(x−1)=45，再求解即可。
6．已知关于x的分式方程2x−mx−1−31−x=1的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m>4 B．m<4 C．m>4且m≠5 D．m<4且m≠1
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】方程两边同时乘以(x−1)，得2x−m+3=x−1，
解得x=m−4，
∵关于x的分式方程2x−mx−1−31−x=1的解是正数，
∴x>0，且x−1≠0，
即m−4>0且m−4−1≠0，
∴m>4且m≠5，
故答案为：C．
【分析】先求出分式方程的解为x=m−4，再根式分式方程的解为正数且分母不为0可得m−4>0且m−4−1≠0，最后求出m的取值范围即可。
7．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-34x．
又∵x，y均为正整数，
∴x=4y=15或x=8y=12或x=12y=9或x=16y=6或x=20y=3，
∴班长有5种购买方案．
故答案为：A．
【分析】设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意列出方程15x+20y=360，再求解即可。
8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y=3x的图象上，顶点A在反比例函数y=kx的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C．−1 D．−2
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，
∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，
∴S△AOB=12S▱OBAD=52，AB∥OD，
∴AB⊥y轴，
∵点B在反比例函数y=3x的图象上，顶点A在反比例函数y=kx的图象上，
∴S△COB=32，S△COA=−k2，
∴S△AOB=S△COB+S△COA=32−k2=52，
解得：k=−2．
故答案为：D．
【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得S△AOB=12S▱OBAD=52，再利用反比例函数k的几何意义可得S△COB=32，S△COA=−k2，所以S△AOB=S△COB+S△COA=32−k2=52，再求出k的值即可。
9．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD=1.5，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD=12S△ABC=12×24=12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED=12S△ABD=12×12=6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD=12S△AED=12×6=3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EG∥BC，EG=12BD=12CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=12CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD=12GD⋅EG=3，即12EG×3=3，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE=EG2+GP2=22+1.52=2.5，
故答案为：A．
【分析】，连接DE，取AD的中点G，连接EG，先利用“AAS”证明△EGP≌△FDP可得GP=PD=1.5，再利用S△EGD=12GD⋅EG=3，即12EG×3=3，求出EG的长，最后利用勾股定理求出PE的长即可。
10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA=45°；③AP−BP=2OP；④若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵OE⊥OF
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF与△COE中
∠ODF=∠OCEOC=OD∠DOF=∠EOC
∴△DOF≌△COE(ASA)
∴EC=FD
∵在△EAC与△FBD中EC=FD∠ECA=∠FDB=45°AC=BD
∴△EAC≌△FBD(SAS)
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①符合题意；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴点P、O在以AB为直径的圆上
∴AO是该圆的弦
∴∠OPA=∠OBA=45°
所以②符合题意；
③∵tan∠BAE=BEAB=BPAP
∴ABBE=APBP
∴AB−BEBE=AP−BPBP
∴AP−BPBP=CEBE
∴AP−BP=CE⋅BPBE
∵∠EAC=∠OAP，∠OPA=∠ACE=45°
∴△AOP∽△AEC
∴OPCE=AOAE
∴CE=OP⋅AEAO
∴AP−BP=OP⋅AE⋅BPAO⋅BE
∵12AE⋅BP=12AB⋅BE=S△ABE
∴AE⋅BP=AB⋅BE
∴AP−BP=OP⋅AB⋅BEAO⋅BE=ABAOOP=2OP
所以③符合题意；
④作EG⊥AC于点G，则EG∥BO，
∴EGOB=CEBC=CGOC
设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC=522a，
若BE：CE=2：3，则BECE=23，
∴BE+CECE=2+33
∴CEBC=35
∴EG=CEBC⋅OB=35×522a=322a
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=322a
∴tan∠CAE=EGAG=EGAC−CG=322a52a−322a=37
所以④不符合题意；
⑤∵△DOF≌△COE(ASA)，S四边形OECF=S△COE+S△COF
∴S四边形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD
∵S△COD=14S正方形ABCD
∴S四边形OECF=14S正方形ABCD
所以⑤符合题意；
综上，①②③⑤符合题意，④不符合题意，
故答案为： B
【分析】利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质和相似三角形的判定和性质逐项判断即可。
二、填空题
11．我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为 ．
【答案】1.89×108
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：由题意得：1.89亿=1.89×108，
故答案为：1.89×108．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．函数y= 2x−3 中自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥32
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，2x﹣3≥0，
解得x≥ 32 ．
故答案为：x≥ 32 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件 ，使△AOB≌△COD．
【答案】OB=OD（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加OB=OD，
在△AOB和△COD中，
AO=CO∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）
故答案为OB=OD（答案不唯一）
【分析】利用三角形全等的判定方法求解即可。
14．在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【答案】13
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵ 不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，
∴摸到红球的概率是22+4=13，
故答案为：13．
【分析】利用概率公式求解即可。
15．若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥2或2≤a
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：2x−1＜3①x−a<0②，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜a，
∵关于x的不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再结合不等式组的解集为x＜2即可得a≥2。
16．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm，C为⊙O上一点，∠ACB=60°，则AB的长为 cm．
【答案】33
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
∴AD=BD=12AB，∠ODA=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵OA=3cm，
∴OD=32cm，
∴AD=OA2−OD2=332cm，
∴AB=33cm，
故答案为：33．
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，先求出∠OAB=∠OBA=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD=32cm，再利用勾股定理和垂径定理可得AB=33cm。
17．若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为 cm．
【答案】53
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，
则圆锥底面周长为：2πrcm，
∴侧面展开图的弧长为：2πrcm，
∴2πr=120π×5180，
解得：r=53，
故答案为：53．
【分析】设圆锥底面半径为rcm，利用圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长列出方程2πr=120π×5180，再求出r的值即可。
18．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，AD=3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 ．
【答案】362
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB=32，
∴OA=323，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=323，
∴∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=323，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEC=∠CAE=15°，
∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，
∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=OF2+OE2=(332)2+(332)2=362，
∴PO+PE最小值=362．
故答案为：362．
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，再利用等边三角形的性质和勾股定理求出EF的长即可。
19．在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E在边CD上，且CE=4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为 ．
【答案】313或154或6
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD=9，AD=BC=12，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴ABPC=BPCE，即912−BP=BP4，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，
∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴ADCE=DEPC，即124=9−4PC，
解得：PC=53，
∴BP=BC−PC=313；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，
根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴AFDE=PFAD，即AF9−4=912，
解得：AF=154，即PB=154；
综上所述，BP的长为313或154或6．
故答案为：313或154或6
【分析】分三种情况：①当∠APE=90°时，②当∠AEP=90°时，③当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，分别画出图象并利用相似三角形的判定和性质求解即可。
20．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4……在x轴上且OA1=1，OA2=2OA1，OA3=2OA2，OA4=2OA3……按此规律，过点A1，A2，A3，A4……作x轴的垂线分别与直线y=3x交于点B1，B2，B3，B4……记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4……的面积分别为S1，S2，S3，S4……，则S2022= ．
【答案】240413
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：当x=1时，y=3，
∴点B1(1，3)，
∴A1B1=3，
∴S△OA1B1=12×1×3=32，
∵根据题意得：A1B1∥A2B2∥A3B3……∥AnBn，
∴△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽△OA4B4……∽△OAnBn，
∴S△OA1B1∶S△OA2B2∶S△OA3B3∶S△OA4B4……∶S△OAnBn= OA12∶OA22∶OA32……∶OAn2，
∵OA1=1，OA2=2OA1，OA3=2OA2，OA4=2OA3……，
∴OA2=2，OA3=4=22，OA4=8=23……OAn=2n−1，
∴S△OA1B1∶S△OA2B2∶S△OA3B3∶S△OA4B4……∶S△OAnBn=1：22：(22)2：(23)2：⋯⋯(2n−1)2=1：22：24：26：⋯⋯22n−2 ，
∴S△OAnBn=22n−2S△OA1B1，
∴S2022=22×2022−2×32=240413．
故答案为：240413．
【分析】先利用题干中的数据求出规律S△OAnBn=22n−2S△OA1B1，再将n=2022代入计算即可。
三、解答题
21．先化简，再求值：(a2−2aa2−1−1)÷2a−1a+1，其中a=2cos30°+1．
【答案】解：原式=(a2−2aa2−1−a2−1a2−1)⋅a+12a−1
=1−2aa2−1⋅a+12a−1
=11−a，
当a=2cos30°+1=3+1时，
原式=11−3−1=−33
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，−1)，B(2，−5)，C(5，−4)．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】（1）解：如图所示△A1B1C1即为所求，
A1(−5，3)；
（2）解：如图所示△A2B2C2即为所求，A2(2，4)；
（3）解：∵A1C1=32+42=5
∴点A1旋转到点A2所经过的路径长为90π×5180=52π．
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点A1的坐标即可；
（2）根据旋转的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接并直接写出点A2的坐标即可；
（3）先求出A1C1=32+42=5，再利用弧长公式求出路径长即可。
23．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1，0)，点B(2，−3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A(−1，0)，点B(2，−3)，
∴1−b+c=04+2b+c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
（2）解：存在．
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴D(1，−4)，
将x=0代入得，y=−3，
∴C(0，−3)，
∴D到线段BC的距离为1，BC=2，
∴S△BCD=12×2×1=1，
∴S△PBC=4S△BCD=4，
设P(m，m2−2m−3)，
则S△PBC=12×2×(m2−2m−3+3)=4，
整理得，m2−2m=4，
解得m1=1+5，或m2=1−5，
∴P1(1+5，1)，P2(1−5，1)，
∴存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，点P的坐标为P1(1+5，1)，P2(1−5，1)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y=x2+bx+c求出b、c的值即可；
（2）先求出S△BCD=12×2×1=1，再设P(m，m2−2m−3)，利用“△PBC的面积是△BCD面积的4倍”可得S△PBC=12×2×(m2−2m−3+3)=4，再求出m的值，即可得到点P的坐标。
24．为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x<8.5 B组：8.5≤x<9
C组：9≤x<9.5 D组：9.5≤x<10E组：x≥10
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
【答案】（1）100
（2）解：由统计图可知，E组人数占比为15％，
∴E组人数为100×15％=15（人），
∴A组人数为100−20−40−20−15=5（人），
∴补全统计图如图所示
（3）解：由题意知，D组所对应的扇形圆心角度数为20100×360°=72°，
∴D组所对应的扇形圆心角度数为72°．
（4）解：由题意知，1500×5+20100=375（人）
∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：由统计图可知，本次共调查了20÷20％=100（人），
故答案为：100．
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先利用总人数求出“A”和“E”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）先求出“ 睡眠时间不足9小时 ”的百分比，再乘以1500可得答案。
25．为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 km/h，乙车出发时速度是 km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【答案】（1）100；60
（2）解：设y=kx+b(k≠0)，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得9k+b=30012k+b=0，
解得k=−100b=1200
∴y与x的函数解析式为y=−100x+1200；
（3）解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得，
当0
解得：t=3；
当5
解得：t=6.3；
当8
解得：t=12.2，不符合题意，舍去；
当9
解得：t=9.125；
综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.125h时，两车之间的距离为120km．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】（1）解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，
∴甲的速度为：500÷5=100km/h；
乙车5h的路程为300km，
∴乙的速度为：300÷5=60km/h；
故答案为：100；60；
【分析】（1）利用图象中的数据，再结合路程、速度和时间的关系求解即可；
（2）结合图象中的数据，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）分类讨论，①当0
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴PA+PB=PC或PA+PC=PB；
（2）解：图②结论：PB=PA+PC
证明：在BP上截取BF=CP，连接AF，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AC=AB，CP=BF，
∴△CAP≌△BAF（SAS），
∴∠CAP=∠BAF，AF=AP，
∴∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF，
∴∠FAP=∠BAC=60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=AP，
∴PA+PC=PF+BF=PB；
（3）解：图③结论：PA+PB=PC，
理由：在CP上截取CF=BP，连接AF，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，BP=CF，
∴△BAP≌△CAF（SAS），
∴∠CAF=∠BAP，AP=AF，
∴∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF，
∴∠FAP=∠BAC=60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=AP，
∴PA+PB=PF+CF=PC，
即PA+PB=PC．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再结合PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得到PA+PB=PC或PA+PC=PB；
（2）在BP上截取BF=CP，连接AF，先利用“SAS”证明△CAP≌△BAF可得∠CAP=∠BAF，AF=AP，再利用角的运算求出∠FAP=∠BAC=60°，证明出△AFP是等边三角形，可得PF=AP，最后利用线段的和差可得PA+PC=PF+BF=PB；
（3）在CP上截取CF=BP，连接AF，先利用“SAS”证明△BAP≌△CAF可得∠CAF=∠BAP，AP=AF，再利用角的运算求出∠FAP=∠BAC=60°，证明出△AFP是等边三角形，可得PF=AP，最后利用线段的和差可得PA+PB=PF+CF=PC，即PA+PB=PC。
27．学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得10x+5y=17515x+10y=300，
解得x=10y=15，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）解：根据题意，得10m+15(45−m)≤56010m+15(45−m)≥548，
解得23≤m≤25.4，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
（3）解：设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=10m+15(45−m)=−5m+675
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w有最小值，即w=−5×25+675=550（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，根据题意列出方程组10x+5y=17515x+10y=300求解即可；
（2）根据题意列出不等式组10m+15(45−m)≤56010m+15(45−m)≥548求解即可；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意列出函数解析式w=10m+15(45−m)=−5m+675，再利用一次函数的性质求解即可。
28．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2−7x+12=0的两个根(OA
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：x2−7x+12=0，解得x1=3，x2=4，
∵OA
∵tan∠DAB=43，
∴ODOA=43，
∴OD=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=3+4=7，DC∥AB，
∴点C坐标为(7，4)；
（2）解：当0⩽t<7时，S=12CP⋅OD=12(7−t)⋅4=14−2t，
当7
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
∵BC⋅AF=AB⋅OD，
∴5⋅AF=7×4，
∴AF=285，
∴S=12CP⋅AF=12(t−7)⋅285=145t−985，
∴S=14−2t(0≤t<7)145t−985(7
根据题意得：当点P在CD上运动时，△CMP可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴tanC=tan∠DAB=43，
∵点M为BC的中点，
∴CM=52，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，
∴CF=32，FM=2，
设PC=PM=a，则PD=7-a，PF=a−32，
∵PF2+FM2=PM2，
∴(a−32)2+22=a2，解得：a=2512，
∴DP=7−PC=5912，
∴此时点P(5912，4)；
当PC=CM=52时，
∴PD=7−PC=92，
∴此时点P(92，4)；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则CG=32，
∴PC=2CG=3，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P(4，4)；
综上所述，存在点P(4，4)或(92，4)或(5912，4)，使△CMP是等腰三角形
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分段函数；等腰三角形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用一元二次方程求出OA=3，OB=4，再结合tan∠DAB=43求出OD=4，根据平行四边形的性质求出DC=AB=3+4=7，即可得到点C的坐标；
（2）分两种情况：①当0⩽t<7时，②当7
黑龙江省省龙东地区2022年中考数学真题
一、单选题
1．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．(b−a)2=b2−a2 B．3a⋅2a=6a
C．(−x2)2=x4 D．a6÷a2=a3
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；幂的乘方
【解析】【解答】(b−a)2=b2+a2−2ab，故A不符合题意；
3a⋅2a=6a2，故B不符合题意；
(−x2)2=x4，故C符合题意；
a6÷a2=a4，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式、单项式乘单项式、幂的乘方和同底数幂的除法逐项判断即可。
2．下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴不符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，是中心对称图形
∴符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ）
A．181 B．175 C．176 D．175.5
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，
∴这6个数据的中位数为175+1762=175.5，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义求解即可。
4．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有5+3=8个．
故答案为：B．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
5．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设有x支队伍，根据题意，得12x(x−1)=45，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故答案为：B．
【分析】设有x支队伍，根据题意列出方程12x(x−1)=45，再求解即可。
6．已知关于x的分式方程2x−mx−1−31−x=1的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m>4 B．m<4 C．m>4且m≠5 D．m<4且m≠1
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】方程两边同时乘以(x−1)，得2x−m+3=x−1，
解得x=m−4，
∵关于x的分式方程2x−mx−1−31−x=1的解是正数，
∴x>0，且x−1≠0，
即m−4>0且m−4−1≠0，
∴m>4且m≠5，
故答案为：C．
【分析】先求出分式方程的解为x=m−4，再根式分式方程的解为正数且分母不为0可得m−4>0且m−4−1≠0，最后求出m的取值范围即可。
7．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-34x．
又∵x，y均为正整数，
∴x=4y=15或x=8y=12或x=12y=9或x=16y=6或x=20y=3，
∴班长有5种购买方案．
故答案为：A．
【分析】设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意列出方程15x+20y=360，再求解即可。
8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y=3x的图象上，顶点A在反比例函数y=kx的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C．−1 D．−2
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，
∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，
∴S△AOB=12S▱OBAD=52，AB∥OD，
∴AB⊥y轴，
∵点B在反比例函数y=3x的图象上，顶点A在反比例函数y=kx的图象上，
∴S△COB=32，S△COA=−k2，
∴S△AOB=S△COB+S△COA=32−k2=52，
解得：k=−2．
故答案为：D．
【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得S△AOB=12S▱OBAD=52，再利用反比例函数k的几何意义可得S△COB=32，S△COA=−k2，所以S△AOB=S△COB+S△COA=32−k2=52，再求出k的值即可。
9．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD=1.5，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD=12S△ABC=12×24=12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED=12S△ABD=12×12=6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD=12S△AED=12×6=3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EG∥BC，EG=12BD=12CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=12CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD=12GD⋅EG=3，即12EG×3=3，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE=EG2+GP2=22+1.52=2.5，
故答案为：A．
【分析】，连接DE，取AD的中点G，连接EG，先利用“AAS”证明△EGP≌△FDP可得GP=PD=1.5，再利用S△EGD=12GD⋅EG=3，即12EG×3=3，求出EG的长，最后利用勾股定理求出PE的长即可。
10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA=45°；③AP−BP=2OP；④若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵OE⊥OF
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF与△COE中
∠ODF=∠OCEOC=OD∠DOF=∠EOC
∴△DOF≌△COE(ASA)
∴EC=FD
∵在△EAC与△FBD中EC=FD∠ECA=∠FDB=45°AC=BD
∴△EAC≌△FBD(SAS)
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①符合题意；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴点P、O在以AB为直径的圆上
∴AO是该圆的弦
∴∠OPA=∠OBA=45°
所以②符合题意；
③∵tan∠BAE=BEAB=BPAP
∴ABBE=APBP
∴AB−BEBE=AP−BPBP
∴AP−BPBP=CEBE
∴AP−BP=CE⋅BPBE
∵∠EAC=∠OAP，∠OPA=∠ACE=45°
∴△AOP∽△AEC
∴OPCE=AOAE
∴CE=OP⋅AEAO
∴AP−BP=OP⋅AE⋅BPAO⋅BE
∵12AE⋅BP=12AB⋅BE=S△ABE
∴AE⋅BP=AB⋅BE
∴AP−BP=OP⋅AB⋅BEAO⋅BE=ABAOOP=2OP
所以③符合题意；
④作EG⊥AC于点G，则EG∥BO，
∴EGOB=CEBC=CGOC
设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC=522a，
若BE：CE=2：3，则BECE=23，
∴BE+CECE=2+33
∴CEBC=35
∴EG=CEBC⋅OB=35×522a=322a
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=322a
∴tan∠CAE=EGAG=EGAC−CG=322a52a−322a=37
所以④不符合题意；
⑤∵△DOF≌△COE(ASA)，S四边形OECF=S△COE+S△COF
∴S四边形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD
∵S△COD=14S正方形ABCD
∴S四边形OECF=14S正方形ABCD
所以⑤符合题意；
综上，①②③⑤符合题意，④不符合题意，
故答案为： B
【分析】利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质和相似三角形的判定和性质逐项判断即可。
二、填空题
11．我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为 ．
【答案】1.89×108
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：由题意得：1.89亿=1.89×108，
故答案为：1.89×108．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
12．函数y= 2x−3 中自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥32
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，2x﹣3≥0，
解得x≥ 32 ．
故答案为：x≥ 32 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件 ，使△AOB≌△COD．
【答案】OB=OD（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加OB=OD，
在△AOB和△COD中，
AO=CO∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）
故答案为OB=OD（答案不唯一）
【分析】利用三角形全等的判定方法求解即可。
14．在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【答案】13
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵ 不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，
∴摸到红球的概率是22+4=13，
故答案为：13．
【分析】利用概率公式求解即可。
15．若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥2或2≤a
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：2x−1＜3①x−a<0②，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜a，
∵关于x的不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再结合不等式组的解集为x＜2即可得a≥2。
16．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm，C为⊙O上一点，∠ACB=60°，则AB的长为 cm．
【答案】33
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
∴AD=BD=12AB，∠ODA=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵OA=3cm，
∴OD=32cm，
∴AD=OA2−OD2=332cm，
∴AB=33cm，
故答案为：33．
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，先求出∠OAB=∠OBA=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD=32cm，再利用勾股定理和垂径定理可得AB=33cm。
17．若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为 cm．
【答案】53
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，
则圆锥底面周长为：2πrcm，
∴侧面展开图的弧长为：2πrcm，
∴2πr=120π×5180，
解得：r=53，
故答案为：53．
【分析】设圆锥底面半径为rcm，利用圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长列出方程2πr=120π×5180，再求出r的值即可。
18．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，AD=3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 ．
【答案】362
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB=32，
∴OA=323，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=323，
∴∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=323，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEC=∠CAE=15°，
∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，
∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=OF2+OE2=(332)2+(332)2=362，
∴PO+PE最小值=362．
故答案为：362．
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，再利用等边三角形的性质和勾股定理求出EF的长即可。
19．在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E在边CD上，且CE=4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为 ．
【答案】313或154或6
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD=9，AD=BC=12，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴ABPC=BPCE，即912−BP=BP4，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，
∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴ADCE=DEPC，即124=9−4PC，
解得：PC=53，
∴BP=BC−PC=313；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，
根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴AFDE=PFAD，即AF9−4=912，
解得：AF=154，即PB=154；
综上所述，BP的长为313或154或6．
故答案为：313或154或6
【分析】分三种情况：①当∠APE=90°时，②当∠AEP=90°时，③当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，分别画出图象并利用相似三角形的判定和性质求解即可。
20．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4……在x轴上且OA1=1，OA2=2OA1，OA3=2OA2，OA4=2OA3……按此规律，过点A1，A2，A3，A4……作x轴的垂线分别与直线y=3x交于点B1，B2，B3，B4……记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4……的面积分别为S1，S2，S3，S4……，则S2022= ．
【答案】240413
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：当x=1时，y=3，
∴点B1(1，3)，
∴A1B1=3，
∴S△OA1B1=12×1×3=32，
∵根据题意得：A1B1∥A2B2∥A3B3……∥AnBn，
∴△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽△OA4B4……∽△OAnBn，
∴S△OA1B1∶S△OA2B2∶S△OA3B3∶S△OA4B4……∶S△OAnBn= OA12∶OA22∶OA32……∶OAn2，
∵OA1=1，OA2=2OA1，OA3=2OA2，OA4=2OA3……，
∴OA2=2，OA3=4=22，OA4=8=23……OAn=2n−1，
∴S△OA1B1∶S△OA2B2∶S△OA3B3∶S△OA4B4……∶S△OAnBn=1：22：(22)2：(23)2：⋯⋯(2n−1)2=1：22：24：26：⋯⋯22n−2 ，
∴S△OAnBn=22n−2S△OA1B1，
∴S2022=22×2022−2×32=240413．
故答案为：240413．
【分析】先利用题干中的数据求出规律S△OAnBn=22n−2S△OA1B1，再将n=2022代入计算即可。
三、解答题
21．先化简，再求值：(a2−2aa2−1−1)÷2a−1a+1，其中a=2cos30°+1．
【答案】解：原式=(a2−2aa2−1−a2−1a2−1)⋅a+12a−1
=1−2aa2−1⋅a+12a−1
=11−a，
当a=2cos30°+1=3+1时，
原式=11−3−1=−33
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，−1)，B(2，−5)，C(5，−4)．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】（1）解：如图所示△A1B1C1即为所求，
A1(−5，3)；
（2）解：如图所示△A2B2C2即为所求，A2(2，4)；
（3）解：∵A1C1=32+42=5
∴点A1旋转到点A2所经过的路径长为90π×5180=52π．
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点A1的坐标即可；
（2）根据旋转的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接并直接写出点A2的坐标即可；
（3）先求出A1C1=32+42=5，再利用弧长公式求出路径长即可。
23．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1，0)，点B(2，−3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A(−1，0)，点B(2，−3)，
∴1−b+c=04+2b+c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
（2）解：存在．
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴D(1，−4)，
将x=0代入得，y=−3，
∴C(0，−3)，
∴D到线段BC的距离为1，BC=2，
∴S△BCD=12×2×1=1，
∴S△PBC=4S△BCD=4，
设P(m，m2−2m−3)，
则S△PBC=12×2×(m2−2m−3+3)=4，
整理得，m2−2m=4，
解得m1=1+5，或m2=1−5，
∴P1(1+5，1)，P2(1−5，1)，
∴存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，点P的坐标为P1(1+5，1)，P2(1−5，1)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y=x2+bx+c求出b、c的值即可；
（2）先求出S△BCD=12×2×1=1，再设P(m，m2−2m−3)，利用“△PBC的面积是△BCD面积的4倍”可得S△PBC=12×2×(m2−2m−3+3)=4，再求出m的值，即可得到点P的坐标。
24．为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x<8.5 B组：8.5≤x<9
C组：9≤x<9.5 D组：9.5≤x<10E组：x≥10
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
【答案】（1）100
（2）解：由统计图可知，E组人数占比为15％，
∴E组人数为100×15％=15（人），
∴A组人数为100−20−40−20−15=5（人），
∴补全统计图如图所示
（3）解：由题意知，D组所对应的扇形圆心角度数为20100×360°=72°，
∴D组所对应的扇形圆心角度数为72°．
（4）解：由题意知，1500×5+20100=375（人）
∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：由统计图可知，本次共调查了20÷20％=100（人），
故答案为：100．
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先利用总人数求出“A”和“E”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）先求出“ 睡眠时间不足9小时 ”的百分比，再乘以1500可得答案。
25．为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 km/h，乙车出发时速度是 km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【答案】（1）100；60
（2）解：设y=kx+b(k≠0)，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得9k+b=30012k+b=0，
解得k=−100b=1200
∴y与x的函数解析式为y=−100x+1200；
（3）解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得，
当0
解得：t=3；
当5
解得：t=6.3；
当8
解得：t=12.2，不符合题意，舍去；
当9
解得：t=9.125；
综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.125h时，两车之间的距离为120km．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】（1）解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，
∴甲的速度为：500÷5=100km/h；
乙车5h的路程为300km，
∴乙的速度为：300÷5=60km/h；
故答案为：100；60；
【分析】（1）利用图象中的数据，再结合路程、速度和时间的关系求解即可；
（2）结合图象中的数据，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）分类讨论，①当0
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴PA+PB=PC或PA+PC=PB；
（2）解：图②结论：PB=PA+PC
证明：在BP上截取BF=CP，连接AF，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AC=AB，CP=BF，
∴△CAP≌△BAF（SAS），
∴∠CAP=∠BAF，AF=AP，
∴∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF，
∴∠FAP=∠BAC=60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=AP，
∴PA+PC=PF+BF=PB；
（3）解：图③结论：PA+PB=PC，
理由：在CP上截取CF=BP，连接AF，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，BP=CF，
∴△BAP≌△CAF（SAS），
∴∠CAF=∠BAP，AP=AF，
∴∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF，
∴∠FAP=∠BAC=60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=AP，
∴PA+PB=PF+CF=PC，
即PA+PB=PC．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再结合PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得到PA+PB=PC或PA+PC=PB；
（2）在BP上截取BF=CP，连接AF，先利用“SAS”证明△CAP≌△BAF可得∠CAP=∠BAF，AF=AP，再利用角的运算求出∠FAP=∠BAC=60°，证明出△AFP是等边三角形，可得PF=AP，最后利用线段的和差可得PA+PC=PF+BF=PB；
（3）在CP上截取CF=BP，连接AF，先利用“SAS”证明△BAP≌△CAF可得∠CAF=∠BAP，AP=AF，再利用角的运算求出∠FAP=∠BAC=60°，证明出△AFP是等边三角形，可得PF=AP，最后利用线段的和差可得PA+PB=PF+CF=PC，即PA+PB=PC。
27．学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得10x+5y=17515x+10y=300，
解得x=10y=15，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）解：根据题意，得10m+15(45−m)≤56010m+15(45−m)≥548，
解得23≤m≤25.4，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
（3）解：设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=10m+15(45−m)=−5m+675
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w有最小值，即w=−5×25+675=550（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，根据题意列出方程组10x+5y=17515x+10y=300求解即可；
（2）根据题意列出不等式组10m+15(45−m)≤56010m+15(45−m)≥548求解即可；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意列出函数解析式w=10m+15(45−m)=−5m+675，再利用一次函数的性质求解即可。
28．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2−7x+12=0的两个根(OA
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：x2−7x+12=0，解得x1=3，x2=4，
∵OA
∵tan∠DAB=43，
∴ODOA=43，
∴OD=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=3+4=7，DC∥AB，
∴点C坐标为(7，4)；
（2）解：当0⩽t<7时，S=12CP⋅OD=12(7−t)⋅4=14−2t，
当7
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
∵BC⋅AF=AB⋅OD，
∴5⋅AF=7×4，
∴AF=285，
∴S=12CP⋅AF=12(t−7)⋅285=145t−985，
∴S=14−2t(0≤t<7)145t−985(7
根据题意得：当点P在CD上运动时，△CMP可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴tanC=tan∠DAB=43，
∵点M为BC的中点，
∴CM=52，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，
∴CF=32，FM=2，
设PC=PM=a，则PD=7-a，PF=a−32，
∵PF2+FM2=PM2，
∴(a−32)2+22=a2，解得：a=2512，
∴DP=7−PC=5912，
∴此时点P(5912，4)；
当PC=CM=52时，
∴PD=7−PC=92，
∴此时点P(92，4)；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则CG=32，
∴PC=2CG=3，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P(4，4)；
综上所述，存在点P(4，4)或(92，4)或(5912，4)，使△CMP是等腰三角形
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分段函数；等腰三角形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用一元二次方程求出OA=3，OB=4，再结合tan∠DAB=43求出OD=4，根据平行四边形的性质求出DC=AB=3+4=7，即可得到点C的坐标；
（2）分两种情况：①当0⩽t<7时，②当7
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