四川省遂宁市2022年中考数学试卷解析版

这是一份四川省遂宁市2022年中考数学试卷解析版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省遂宁市2022年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）
1．﹣2的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣ 12
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵﹣2×（- 12 ）=1，
∴﹣2的倒数是﹣ 12 ．
故选D．
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约198000公里.数据198000用科学记数法表示为（　　）
A．198×103 B．1.98×104 C．1.98×105 D．1.98×106
【答案】C
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：198000＝1.98×105.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．大 B．美 C．遂 D．宁
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由图可知，我和美相对，爱和宁相对，大和遂相对.
故答案为：B.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
5．下列计算中正确的是（　　）
A．a3•a3＝a9 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a10÷（﹣a2）3＝a4 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2+4
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A，原式＝a6，故该选项不符合题意；
B，原式＝﹣8a3，故该选项符合题意；
C，原式＝a10÷（﹣a6）＝﹣a4，故该选项不符合题意；
D，原式＝（﹣a）2﹣22＝a2﹣4，故该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断B；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；D中的式子可变形为-(2-a)(2+a)，然后利用平方差公式进行判断.
6．若关于x的方程 2x ＝ m2x+1 无解，则m的值为（　　）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： 2x ＝ m2x+1 ，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，
∴4﹣m＝0或x＝﹣ 12 ＝﹣ 24−m ，
∴m＝4或m＝0.
故答案为：D.
【分析】对原方程去分母并整理可得(4-m)x＝-2，根据分式方程无解可得4-m=0或x=-12，据此求解可得m的值.
7．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（　　）
A．175π3 cm2 B．175π2 cm2 C．175πcm2 D．350πcm2
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：在Rt△AOC中，AC＝ 72+242 ＝25（cm），
所以圆锥的侧面展开图的面积＝ 12 ×2π×7×25＝175π（cm2）.
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理求出AC，即母线长，由圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长可得弧长为2π×7，然后根据S侧=12rl进行计算.
8．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设AN＝a，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ANAM
∴DE8=a6
∴DE＝ 43 a，
∴△DEF面积S＝ 12 ×DE×MN
＝ 12 × 43 a•（6﹣a）
＝﹣ 23 a2+4a
＝﹣ 23 （a﹣3）2+6，
∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6.
故答案为：A.
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，设AN＝a，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得DE＝43a，然后根据三角形的面积公式以及偶次幂的非负性进行解答.
9．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（　　）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0.
故答案为：B.
【分析】根据方程根的概念可得m2+3m＝2022，待求式可变形为m(m2+3m)-(m2+3m)-2022m+2022，据此计算.
10．如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，由角的和差关系可得∠ABG＝∠EBC，证明△ABG≌△CBE，得到∠BAG＝∠BCE，结合∠BAG+∠APB＝90°可得∠POC＝90°，据此判断①；取AC的中点K，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AK＝CK＝OK，AK＝CK＝BK，推出A、B、O、C四点共圆，根据圆周角定理可得∠BOA＝∠BCA，然后利用相似三角形的判定定理可判断②；易得A、O、C、D四点共圆，根据等弦所对的圆周角相等可得∠AOD＝∠DOC＝45°，据此判断④.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）
11．遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位数是 　 　.
【答案】23
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将22，24，20，23，25按照从小到大排列是：20，22，23，24，25，
∴这五个数的中位数是23.
故答案为：23.
【分析】首先将数据按照由小到大的顺序进行排列，然后找出最中间的数据即为中位数.
12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ (b−1)2+(a−b)2 ＝　 　.
【答案】2
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣ (b−1)2+(a−b)2
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2.
故答案为：2.
【分析】由数轴可得：-1＜a＜0，1＜b＜2，确定出a+1、b-1、a-b的符号，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质以及合并同类项法则化简即可.
13．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上.若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 　 　.
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；多边形内角与外角；正多边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∴∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4.
故答案为：4.
【分析】设AF＝x，则AB＝x，AH＝6-x，根据多边形的内角和公式以及正多边形的性质可得∠BAF＝120°，根据邻补角的性质可得∠HAF＝60°，则∠AFH＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝2AH，代入求出x的值，据此可得正六边形的边长.
14．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 　 　.
【答案】127
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
......
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个）.
故答案为：127.
【分析】分别表示出第一、二、三代勾股树中正方形的个数，观察找出其中的规律，据此不难得到第六代勾股树中正方形的个数.
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 　 　.
【答案】﹣4＜m＜0
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣ b2a ＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝m=a-b+c=a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
∴﹣4＜m＜0.
故答案为：﹣4＜m＜0.
【分析】由图像可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，则a＞0，b＞0，将（0，-2）代入可得c=-2；将（1，0）代入可得a+b+c＝0，则b＝2-a，令x=-1，可得y=m=a-b+c=2a-4，根据b=2-a>0可得a的范围，进而可得2a-4的范围，据此解答.
三、解答题（本大题共10个小题，共90分。）
16．计算：tan30°+|1﹣ 33 |+（π﹣ 33 ）0﹣（ 13 ）﹣1+ 16 .
【答案】解：tan30°+|1﹣ 33 |+（π﹣ 33 ）0﹣（ 13 ）﹣1+ 16
＝ 33 +1﹣ 33 +1﹣3+4
＝3.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值可得原式=33+1-33+1-3+4，然后根据二次根式的减法法则以及有理数的加减法法则进行计算.
17．先化简，再求值：（1﹣ 2a+1 ）2÷ a2−2a+1a+1 ，其中a＝4.
【答案】解：原式＝ (a+1a+1−2a+1)2×a+1(a−1)2
＝ (a−1a+1)2×a+1(a−1)2
＝ 1a+1 .
当a＝4时，
原式＝ 14+1=15
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用完全平方公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来将a的值代入计算即可.
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF.
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由.
【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）.
（2）解：四边形AODF为矩形.
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形.
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得AE＝DE，根据平行线的性质可得∠OAD＝∠ADF，根据对顶角的性质可得∠AEO＝∠DEF，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AO＝DF，推出四边形AODF为平行四边形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后利用矩形的判定定理进行解答.
19．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球.已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元.
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元.那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得： 2a+3b=5103a+5b=810
解得 a=120b=90 ，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元
（2）解：设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴x⩾30120x+90(50−x)⩽5500
解得30≤x≤33 13 ，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元可得2a+3b=510；根据购买3个篮球和5个足球共需费用810元可得3a+5b=810，联立求解即可；
（2）设采购篮球x个，则采购足球(50-x)个，根据篮球不少于30个可得x≥30；根据总费用不超过5500元可得120x+90(50-x)≤5500，联立求出x的范围，结合x为整数可得x的取值，进而可得购买方案.
20．北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣.某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）.
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 　 　名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率.
【答案】（1）100；800
（2）解：∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%＝10（人），
∴爱好自由式滑雪的学生数为100﹣40﹣20﹣10＝30（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：（A，C），（B，C），（D，C）（C，A），（C，B），（C，D），一共6种等可能的结果，
∴P（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C）＝ 612 ＝ 12 .
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是 12 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%＝100（人），
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%＝800（人），
故答案为：100，800；
【分析】（1）利用爱好花样滑冰运动的学生人数除以所占的比例可得总人数，利用爱好花样滑冰运动的学生所占的比例乘以2000即可；
（2）根据总人数乘以爱好单板滑雪的人数所占的比例可得对应的人数，然后求出爱好自由式滑雪的学生数，据此可补全条形统计图；
（3）画出表格，找出总情况数以及抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果数，然后根据概率公式进行计算.
21．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”.例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”.
（1）求双曲线y＝ −9x 上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围.
【答案】（1）解：设双曲线y＝ −9x 上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝ −9m ，
∴m＝±3，
∴双曲线y＝ −9x 上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）
（2）解：∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac9，
∴a＝ 9c ，
∵a＞1，
∴0＜c＜9.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【分析】（1）设双曲线y＝−9x上的“黎点”为（m，-m），代入求解可得m的值，据此解答；
（2）由题意可得方程ax2-7x+c＝-x有且只有一个解，结合△=b2-4ac=0可得ac=9，则a＝9c，由题意可得a＞1，据此不难得到c的范围.
22．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米.
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
【答案】解：解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，
∴FB＝PH，FH＝PB，
由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（5x）2+（12x）2＝26，
∴x＝2或﹣2（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
设EF＝a，BF＝b，
∵tan∠EBF＝ EFBF ，
∴ab ＝2，
∴a＝2b①，
∵tan∠EAH＝ EHAH=EF+HAP+PH=EF+BPAP+BF
∴a+1024+b ＝1.2②，
由①②得a＝47，b＝23.5，
答：塔顶到地面的高度EF约为47米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，FB=PH，FH=PB，根据AB的坡度可设BP=5x，AP=12x，结合勾股定理可得x的值，据此可得PB=FH=10，AP=24，设EF＝a，BF＝b，根据∠EBF的正切函数可得a=2b，根据∠EAH的正切函数可得a+1024+b=1.2，联立求解可得a、b的值，据此解答.
23．已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝ 6x 交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2.
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积.
【答案】（1）解：∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝ 6x 的图象上，
∴y2＝ 6−2 ＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y1＝ax﹣1的图象上，
∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1，
解得a＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0；
∴图象过点（0，﹣1），（1，0），
函数图象如右图所示；
（2）解：， y=x−1y=6x
解得 x=3y=2 或 x=−2y=−3
∵一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y2＝ 6x 交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3
（3）解：∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴S△ACD＝S△ADE+S△DEC＝ (3−1)×(2−1)2+(3−1)×(3−2)2 ＝2，
即△ACD的面积是2.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；关于原点对称的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）令y2=-2，可得x=-3，则B（-2，-3），代入y1＝ax-1中求出a的值，据此可得一次函数的解析式，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得一次函数与坐标轴的交点坐标，然后根据描点、连线即可画出函数的图象；
（2）联立反比例函数与一次函数的解析式，求出x、y的值，可得点B、C的坐标，然后根据图像，找出一次函数在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称可得D（2，3），作DE⊥x轴交AC于点E，将x=2代入y=x-1中得y＝1，然后根据S△ACD＝S△ADE+S△DEC进行计算.
24．如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离.
【答案】（1）证明：如图1，连接OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴BD ＝ CD ，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线.
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD.
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP
（3）解：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝ 62+82 ＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5 2 ，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴ABDC=BDCP ， 即 652=52CP
∴CP＝ 253 ，
∴AP＝AC+CP＝8+ 253 ＝ 493 ，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴ABAD=ADAP
即 6AD=AD493
∴AD2＝6× 493 ＝98，
∴AD＝7 2 ，
∵OE⊥AD，
∴DE＝ 12 AD＝ 722 ，
∴OE＝ OD2−DE2=52−(722)2 ＝ 22 ，
即点O到AD的距离是 22 .
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠CAD，则BD＝CD，∠BOD＝∠COD＝90°，根据平行线的性质可得∠ODP＝∠BOD＝90°，则OD⊥PD，据此证明；
（2）根据平行线的性质可得∠PDC＝∠BCD，根据圆周角定理可得∠BCD＝∠BAD，则∠BAD＝∠PDC，根据圆内接四边形的性质可得∠ABD+∠ACD＝180°，由邻补角的性质可得∠ACD+∠PCD＝180°，则∠ABD＝∠PCD，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（3）过点O作OE⊥AD于E，连接OD，根据圆周角定理可得∠BAC＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出BC，由（2）知：△ABD∽△DCP，根据相似三角形的性质可得CP，由AP＝AC+CP可得AP，易证△BAD∽△DAP，根据相似三角形的性质可得AD，由垂径定理可得AE=DE=12AD，接下来利用勾股定理就可求出OE.
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）.
∴1−b+c=0c=−3
∴b=−2c=−3 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）解：如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2.
由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D12共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴的长，
∴D1（0，2），
∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12 ＝ 26 ，
∴△DEF的周长的最小值为 26 .
（3）解：∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM.
∴S△ABM＝2d，
又∵S△AMN＝2d，
∴S△ABM＝S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BN的解析式为y＝kx+m，
则有 m=−33k+m=0
∴k=1m=−3
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由 y=x+1y=x2−2x−3 ，解得 x=1y=0 或 x=4y=5
∴M（4，5），
∵点N在射线BC上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q.
∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5 2 ，AN＝ (t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5 2 ＝ (t+1)2+(t−3)2 ，
解得t＝1± 21 ，
当AM＝MN时，5 2 ＝ (t−4)2+(t−8)2 ，
解得t＝6± 21 ，
当AN＝MN时， (t+1)2+(t−3)2 ＝ (t−4)2+(t−8)2 ，
解得t＝ 72 ，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为 72 ，1+ 21 ，6+ 21 ，
∴点N的坐标为（ 72 ， 12 ）或（1+ 21 ，﹣2+ 21 ）或（6+ 21 ，3+ 21 ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（-1，0），C（0，-3）代入y＝x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2，由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，推出当D1、E、F、D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，求出x的值，可得B（3，0），则OB＝OC＝3，推出△BOC是等腰直角三角形，易得D2（1，-3），D1（0，2），然后利用两点间距离公式进行计算即可；
（3）连接BM，则S△ABM＝S△AMN=2d，AM∥BN，求出直线BC、AM的解析式，联立直线AM的解析式与抛物线解析式求出x、y，可得点M的坐标，设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，根据两点间距离公式表示出AM、AN、MN，然后分AM＝AN、AM＝MN、AN＝MN，求出t的值，结合点N在第一象限可得t>3，据此解答.