江苏省宿迁市2022年中考数学试卷解析版

这是一份江苏省宿迁市2022年中考数学试卷解析版，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省宿迁市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．-2的绝对值是（　　）
A．2 B．12 C．−12 D．-3
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：-2的绝对值是2.
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行解答.
2．下列运算正确的是（　　）
A．2m−m=1 B．m2·m3=a6 C．(mn)2=m2n2 D．(m3)2=m5
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：2m−m=m， 故A不符合题意；
m2⋅m3=m5， 故B不符合题意；
(mn)2=m2n2， 故C符合题意；
(m3)2=m6， 故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；积的乘方，先对每一个因式分别进行乘方，然后将所得的幂相乘，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
3．如图，AB∥ED，若∠1=70°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：

∵AB∥ED，
∴∠3+∠2=180°，
∵∠3=∠1，∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.
故答案为：D.
【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得∠3+∠2=180°，根据对顶角的性质可得∠3=∠1=70°，据此计算.
4．下列展开图中，是正方体展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体.
故答案为：C.
【分析】根据正方体的展开图的特征，11种情况中，“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，再根据“一线不过四、田凹应弃之”，据此一一判断得出答案.
5．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm.
故答案为：D.
【分析】分腰长为3、腰长为5，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此不难求出周长.
6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A．7x−7=y9(x−1)=y B．7x+7=y9(x−1)=y
C．7x+7=y9x−1=y D．7x−7=y9x−1=y
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：7x+7=y9(x−1)=y，
故答案为：B.
【分析】设该店有客房x间，房客y人， 根据一间客房住7人，那么有7人无房可住可得7x+7=y；根据一间客房住9人，那么就空出一间客房可得9(x-1)=y，联立可得方程组.
7．如果 x A．2x<2y B．−2x<−2y C．x−1>y−1 D．x+1>y+1
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x＜y可得： 2x<2y ，故此选项成立；
B、由x＜y可得： −2x>−2y ，故此选项不成立；
C、由x＜y可得： x−1 D、由x＜y可得： x+1 故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质:在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.
8．如图，点A在反比例函数y=2x(x>0)的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB=90°，AO=AB，则线段OB长的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．22 D．4
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式；不等式的性质
【解析】【解答】解：如图，过A作AM⊥x轴，交y轴于M，过B作BD⊥x轴，垂足为D，交MA于H，
则∠OMA=∠AHB=90°，
∴∠MOA+∠MAO=90°，
∵AO=AB，AO⊥AB，
∴∠MAO+∠BAH=90°，
∴∠MOA=∠BAH，
∴△AOM≌△BAH，
∴OM=AH，AM=BH，
设A(m，2m)， 则AM=m，OM=2m，MH=m+2m，BD=2m−m，
∴B(m+2m，2m−m)，
∴OB=(m+2m)2+(2m−m)2=2m2+8m2，
∵m>0， 而当a＞0，b＞0时，则a+b≥2ab，
∴2m2+8m2≥22m2×8m2=8，
∴2m2+8m2的最小值是8，
∴OB的最小值是8=22.
故答案为：C.
【分析】过A作AM∥x轴，交y轴于M，过B作BD⊥x轴，垂足为D，交MA于H，根据同角的余角相等可得∠MOA=∠BAH，证明△AOM≌△BAH，得到OM=AH，AM=BH，设A（m，2m），则B（m+2m，2m-m），根据两点间距离公式表示出OB，结合不等式的性质可得OB的最小值.
二、填空题
9．分解因式：3a2﹣12=　 　．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
10．2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是　 　.
【答案】1.462×105
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：146200=1.462×105.
故答案为：1.462×105.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
11．已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是　 　.
【答案】5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这组数据中5出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是5.
故答案为：5.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
12．满足11≥k的最大整数k是　 　.
【答案】3
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵9<11<16，
∴3<11<4，
∴ 满足11≥k的最大整数k是3.
故答案为：3.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<11<4，据此可得k的最大整数值.
13．若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是　 　.
【答案】k≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×k≥0， 即4−4k≥0，
解得：k≤1 .
故答案为：k≤1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
14．将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为　 　cm.
【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得圆锥底面周长=120°×π×6180°=4πcm，
∴这个圆锥底面圆的半径=4π2π=2cm.
故答案为：2.
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长结合弧长公式可得底面圆的周长，然后结合圆的周长公式可得半径.
15．按规律排列的单项式：x，−x3，x5，−x7，x9，…，则第20个单项式是　 　.
【答案】−x39
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：x，−x3，x5，−x7，x9，…，
由偶数个单项式的系数为：−1， 所以第20个单项式的系数为−1，
第1个指数为：2×1−1，
第2个指数为：2×2−1，
第3个指数为：2×3−1，
······
指数为2×20−1=39，
所以第20个单项式是：−x39.
故答案为：−x39.
【分析】观察发现：偶数个单项式的系数为-1，指数为(2n-1)，据此不难得到第20个单项式.
16．甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是　 　.
【答案】y=-2x+2（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；
可设函数为：y=−2x+b，
又满足乙：“函数图象经过点(0，2)”，
则函数关系式为y=-2x+2，
故答案为：y=-2x+2（答案不唯一）
【分析】根据一次函数的性质结合题意可设y=-2x+b，将（0，2）代入求出b的值，进而可得对应的函数关系式.
17．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是　 　.
【答案】47
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得：S四边形ABCO=S四边形DEFO，
由正六边形是中心对称图形可得：S△AOM=S△DOH，S△MOF=S△CHO，OM=OH，
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得：△AOF为等边三角形，∠AFO=60°， 而AB=6，
∴AB=AF=OF=OA=6，AP=FP=3，
∴OP=62−32=33，
∵AM=2， 则MP=1，
∴OM=12+(33)2=27，
∴MH=2OM=47.
故答案为：47.
【分析】连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形得S四边形ABCO=S四边形DEFO，S△AOM=S△DOH，S△MOF=S△CHO，OM=OH，推出直线MH平分正六边形的面积，易得△AOF为等边三角形，∠AFO=60°，AB=AF=OF=OA=6，AP=FP=3，利用勾股定理求出OP、OM，然后根据MH=2OM进行计算.
18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是　 　.
【答案】52π
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵点M、N分别是边AD、BC的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=12AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴ΔAQM∼ΔFQN，
∴NFEM=NQMQ=12
∴NQ=13MN=2
当点E与点A重合时，则NF=12AM=2，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴ΔABF是等腰直角三角形，
∴∠AFB=45°，
∵BH⊥AF，
∴∠HBF=45°
由题意得，点H在以BQ为直径的HN⌢上运动，运动路径长为HN⌢长，取BQ中点O，连接HO，NO，
∴∠HON=90°，
又∠BNQ=90°，
∴BQ=BN2+NQ2=42+22=25，
∴ON=OH=OQ=12BQ=5，
∴HN⌢的长为90π×5180=52π
故答案为：52π.
【分析】连接MN，则四边形ABNM是矩形，MN=AB=6，AM=BN=4，根据矩形的性质可得AD//BC，证明△AQM∽△FQN，根据相似三角形的性质可得NQ，当点E与点A重合时，则NF=2，BF=BN+NF=6，推出△ABF是等腰直角三角形，得到∠AFB=∠HBF=45°，由题意得：点H在以BQ为直径的HN⌢上运动，运动路径长为HN⌢长，取BQ中点O，连接HO，NO，利用勾股定理求出BQ，有ON=OH=OQ可得ON的值，然后根据弧长公式进行计算.
三、解答题
19．计算：(12)−1+12−4sin60°.
【答案】解：(12)−1+12−4sin60°
=2+23−4×32
=2+23−23
=2
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式即可.
20．解方程： 2xx−2=1+1x−2 ．
【答案】解： 2xx−2 =1+ 1x−2 ，
2x=x﹣2+1，
x=﹣1，
经检验x=﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x=﹣1
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF=CE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC；
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE∥CF，AE=CF= 12 AD，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF=CE（平行四边形的对边相等）．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
22．为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图.根据图表信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，n=　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数.
【答案】（1）200；30
（2）解：活动3天的人数为：200×15%=30（人），
补全图形如下：
（3）解：该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数为：
2000×60+50+50200=1600（人）.
答：估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的有1600人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：m=10÷5%=200（人），
n=100−25−25−5−15=30，
故答案为：200，30；
【分析】（1）利用参加 “综合与实践” 2天的人数除以所占的比例可得m的值，进而根据各组人数之和等于总人数可得n的值；
（2）利用总人数乘以参加 “综合与实践”3天所占的比例可得对应的人数，据此可补全条形统计图；
（3）利用样本中参加 “综合与实践”4、5、6天的人数总和除以总人数，然后乘以2000即可.
23．从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率.
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是　 　；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率.（用树状图或列表的方法求解）.
【答案】（1）13
（2）解：列表如下：


甲
乙
丙
丁
甲
　
甲、乙
甲、丙
甲、丁
乙
乙、甲
　
乙、丙
乙、丁
丙
丙、甲
丙、乙
　
丙、丁
丁
丁、甲
丁、乙
丁、丙
　
所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：612=12.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是13.
故答案为： 13 ；
【分析】（1）由于甲一定参加比赛，剩下的三名选手中任意选取一名，有三种等可能的结果，其中选中丙的可能性只有一种，进而根据概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，找出总情况数以及一定有乙的情况数，然后根据概率公式进行计算.
24．如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）.
【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，
由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝20m，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，
∵tan∠DAE＝DEAE，
∴AE=DEtan∠DAE=20tan30°=203m，
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=AE=203 m，
∴CD＝CE＋DE＝（203＋20）m，
∴信号塔的高度为（203＋20）m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m， 根据∠DAE的正切三角函数的概念可得AE，易得△ACE是等腰直角三角形，则CE=AE，然后根据CD＝CE＋DE进行计算.
25．如图，在△ABC中，∠ABC =45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D.
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=4，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：∵ ∠ABC =45°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°， 即BA⊥AC，
∵A在⊙O上，
∴AC为⊙O的切线.
（2）解：如图，记BC与⊙O的交点为M，连接OM，
∵∠ABC=45° ，
∴∠AOM=2∠ABC=90°，∠BOM=90°，
∵AB=4，
∴OA=2，
∴S△ABC=12AB·AC=12×4×4=8，S△BOM=12×2×2=2，
S扇形AOM=90π×22360=π，
∴S阴影=8−2−π=6−π.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=45°，则∠BAC=90°，据此判断；
（2）连接OD，根据圆周角定理可得∠AOD=90°，根据AB=4可得OA=2，然后根据S阴影=S△ABC-SBOD-S扇形AOD，结合三角形、扇形的面积公式进行计算.
26．某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖.
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为　 　元；乙超市的购物金额为　 　元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【答案】（1）300；240
（2）解：设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得x=40，
当0 显然此时选择乙超市更优惠，
当x>40时，y甲=400+0.6×10(x−40)=6x+100，
y乙=10x×0.8=8x，
当y甲=y乙时，则8x=6x+100， 解得：x=50，
∴当x=50时，两家超市的优惠一样，
当y甲>y乙时，则6x+100>8x， 解得：x<50，
∴当40 当y甲50，
∴当x>50时，选择甲超市更优惠.
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【解答】解：（1）∵ 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为30×10=300（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在乙超市的购物金额为30×10×0.8=240（元）.
故答案为：300，240；
【分析】（1）利用购买的件数×每件的标价可得在甲超市的购物金额，利用购买的件数×每件的标价×0.8可得在乙超市的购物金额；
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，当040时，利用40件的价格+超过40件的件数×每件的标价×0.6可得y甲，根据购买的件数×每件的标价×0.8可得y乙，然后分别令y甲=y乙、y甲>y乙、y甲 27．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点.
（1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中，　 　，
所以tan∠BAC=tan∠DCE.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP+∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD.
（2）【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：
（3）【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P.使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明.
【答案】（1）tan∠DCE=12
（2）解：如图中，点P即为所求，

作法：取个点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；
证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，
∴PM=AM.
（3）解：如图中，点P即为所求，

作法：取各店J、K，连接JK交AB于点P，点P即为所求。
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中，tan∠DCE=12，
所以tan∠BAC=tan∠DCE.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD.
故答案为：tan∠DCE=12；
【分析】（1）在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE，利用三角函数的概念求出tan∠BAC、tan∠DCE的值，得到∠BAC=∠DCE，结合∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°可得∠ACP +∠BAC=90°，利用内角和定理可得∠APC =90°，据此解答；
（2）取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求，由作图可知：OM⊥AP，OM是半径，则PM=AM；
（3）取各店J、K，连接JK交AB于点P，由圆周角定理可得∠APM=∠ABM，又∠MAP=∠MAB，则△MAP∽△MAB，则AM2=AP·AB.
28．如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O (0，0)，A (4，0)两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合.
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求DBBA的最小值；
（3）当S△OCD=8S△A′BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O (0，0)，A (4，0)两点，
∴代入O (0，0)，A (4，0)得，c=08+4b+c=0，
解得：b=−2c=0，
∴二次函数的表达式为y=12x2−2x；
（2）解：①证明：∵y=12x2−2x＝12(x−2)2−2，
∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线y=12x2−2x的对称轴为直线x＝2，
∵二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O(0，0)，A(4，0)两点，
∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，
∴ △ABC≌△A′BC，
∴∠CAB＝∠A′，AB＝A′B，
∴∠COD＝∠A′，
∵∠ODC＝∠BDA′，
∴△OCD∽△A′BD；
②∵△OCD∽△A′BD，
∴DBBA=DBBA′=DCCO，
设点D的坐标为（d，0），
由两点间距离公式得DC＝(d−2)2+(0+2)2=(d−2)2+4，
∵点D与O、A点不重合，
∴0＜d＜4，
对于DC2 ＝(d−2)2+4来说，
∵ a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，DC2的最小值是4，
∴当d＝2时，DC有最小值为4=2，
由两点间距离公式得OC＝(2−0)2+(−2−0)2=22，
∴DCCO有最小值为222=22，
∴DBBA的最小值为22；
（3）解：∵S△OCD=8S△A′BD，
∴S△OCDS△A′BD=8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴OCA′B=8=22，
∵OC＝22，
∴A′B＝AB＝1，
∴点B的坐标是（3，0），
设直线BC的解析式为y＝k1x＋b1，
把点B（3，0），C（2，﹣2）代入得3k1+b1=02k1+b1=−2，
解得k1=2b1=−6，
∴直线BC的解析式为y＝2x－6，
设点A′的坐标是（p，q），
∴线段A′A的中点为（p+42，q2），
由折叠的性质知点（p+42，q2）在直线BC上，
∴q2＝2×p+42－6，
解得q＝2p－4，
由两点间距离公式得A′B＝(p−3)2+(q−0)2=(p−3)2+(2p−4)2=1，
整理得(p−3)2+(2p−4)2＝1，
解得p＝2或p＝125，
当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点A′（2，0），很显然不符合题意，
当p＝125时，q＝2p－4＝45，此时点A′（125，45），符合题意，
设直线A′B的解析式为y＝k2x＋b2，
把点B（3，0），A′（125，45）代入得，3k2+b2=0125k2+b2=45，
解得k2=−43b2=4，
∴直线A′B的解析式为y＝−43x＋4，
联立直线A′B和抛物线y=12x2−2x得到，y=−43x+4y=12x2−2x，
解得x1=2+2193y1=28−8199，x2=2−2193y2=28+8199，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标为2+2193或2−2193.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将O（0，0）、A（4，0）代入y=12x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）①根据二次函数的表达式可得顶点C的坐标为（2，-2），对称轴为直线x=2，根据抛物线的对称性可得OC=AC，由等腰三角形的性质可得∠CAB=∠COD，根据折叠的性质可得△ABC≌△A′BC，则∠CAB＝∠A′，AB＝A′B，推出∠COD＝∠A′，根据对顶角的性质可得∠ODC＝∠BDA′，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
②设D（d，0），根据两点间距离公式表示出DC，根据点D与O、A不重合可得0＜d＜4， 利用二次函数的性质可得CD的最小值，利用两点间距离公式求出OC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得A′B，据此可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设A′（p，q），表示出A′A的中点坐标，代入直线BC的解析式中可得q=2p-4，利用两点间距离公式可得A′B，据此求出p的值，进而可得点A′的坐标，利用待定系数法求出直线A′B的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得交点的横坐标.