2017-2018学年1月广东省普通高中数学学业水平考试真题(一) Word版含解析

2017年1月广东省普通高中学业水平考试真题卷

(时间：90分钟　满分：100分)

一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)

1．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{1，2，3}，P＝{0，3}，则(M∪N)∩P等于(　　)

A．{0，1，2，3，4}  B．{0，3}  C．{0，4}  D．{0}

解析：M∪N＝{0，1，2，3，4}，(M∪N)∩P＝{0，3}，故选B.

答案：B

2．函数y＝lg(x＋1)的定义域是(　　)

A．(－∞，＋∞)   B．(0，＋∞) 

C．(－1，＋∞)   D．－1，＋∞)

解析：对数函数要求真数大于0，所以x＋1＞0，解得x＞－1，故选C.

答案：C

3．设i为虚数单位，则复数等于(　　)

A．1＋i  B．1－i  C．－1＋i  D．－1－i

解析：＝＝＝＝

－1－i，故选D.

答案：D

4．已知甲：球的半径为1 cm；乙：球的体积为 cm3，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：充分性：若r＝1 cm，由V＝πr3可得体积为π cm3，同样利用此公式可证必要性也成立．

答案：C

5．已知直线l过点A(1，2)，且与直线y＝x＋1垂直，则直线l的方程是(　　)

A．y＝2x  B．y＝－2x＋4  C．y＝x＋  D．y＝x＋

解析：因为两直线垂直时，斜率互为倒数的相反数(k1k2＝－1)，所以直线l的斜率k＝－2，由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可得，y－2＝－2(x－1)，整理得y＝－2x＋4，故选B.

答案：B

6．顶点在坐标原点，准线为x＝－2的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝8x  B．y2＝－8x  C．x2＝8y  D．x2＝－8y

解析：因为准线方程为x＝－2，所以焦点在x轴上，且－＝－2，所以p＝4，由y2＝2px得y2＝8x.

答案：A

7．已知三点A(－3，3), B(0, 1)，C(1，0)，则|＋|等于(　　)

A．5  B．4  C.＋  D.－

解析：因为＝(3，－2)，＝(1，－1)，所以＋＝(4，－3)，

所以|＋|＝＝5，故选A.

答案：A

8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点P(，－2)，则下列等式不正确的是(　　)

A．sin α＝－  B．sin(α＋π)＝  C．cos α＝  D．tan α＝－

解析：依题意得，r＝＝＝3，sin α＝，cos α＝，tan α＝，

所以sin α＝，cos α＝，tan α＝＝－，所以A，B，C正确，D错误．

答案：D

9．下列等式恒成立的是(　　)

A.＝x－(x≠0)      B．(3x)2＝3x2

C．log3(x2＋1)＋log32＝log3(x2＋3)  D．log3＝－x

解析：＝x－(x≠0)，故A错；(3x)2＝32x，故B错；

log3(x2＋1)＋log32＝log32(x2＋1)，故C错．

答案：D

10．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2，则{an}的前n项和Sn等于(　　)

A．n2＋1  B．n2  C．2n－1  D．2n－1

解析：数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，由Sn＝na1＋d＝n＋·2＝n2，故选B.

答案：B

11．已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最大值为(　　)

A．3  B．5  C．9  D．10

解析：如图，画出可行域，当y＝－2x＋z移动到A点时，直线与y轴的截距z取得最大值，因为A(3，3)，所以z＝2x＋y的最大值为9.

答案：C

12．已知点A(－1，8)和B(5, 2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是(　　)

A．(x＋2)2＋(y＋5)2＝3  B．(x＋2)2＋(y＋5)2＝18

C．(x－2)2＋(y－5)2＝3  D．(x－2)2＋(y－5)2＝18

解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C＝(2，5)，半径r＝＝3，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－5)2＝18.

答案：D

13．下列不等式一定成立的是(　　)

A．x＋≥2(x≠0)  B．x2＋≥1(x∈R)

C．x2＋1≤2x(x∈R)  D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)

解析：A选项中，当x＜0时，显然不成立；C选项中，当x＝－1时，显然不成立；D选项中，当x∈(－3，－2)时，x2＋5x＋6＜0，所以不成立；B选项中，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1(x∈R)，当且仅当x＝0时取“＝”．

答案：B

14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x2－sin x，则当x∈0，＋∞)时，f(x)＝(　　)

A．x2＋sin x  B．－x2－sin x  C．x2－sin x  D．－x2＋sin x

解析：设x∈0，＋∞)，则－x∈(－∞，0]，所以f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin x，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋sin x，故选A.

答案：A

15．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4, 方差为3，则x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数和方差分别为(　　)

A．4和3  B．4和9  C．10和3  D．10和9

解析：由平均数的定义可知x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数＝＋6＝10，方差不变．

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)

16．已知x＞0，且，x，15成等比数列，则x＝____________．

解析：因为， x，15成等比数列，所以x2＝×15＝25，又x＞0，所以x＝5.

答案：5

17．函数f(x)＝sin xcos(x＋1)＋sin(x＋1)cos x的最小正周期是____________．

解析：f(x)＝sin xcos(x＋1)＋sin(x＋1)cos x＝sinx＋(x＋1)]＝sin(2x＋1)，

所以最小正周期T＝＝π.

答案：π

18．从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是____________．

解析：从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数一共有如下12个基本事件：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43；其中该两位数小于20的共有12，13，14三个，所以该两位数小于20的概率为＝.

答案：

19．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为，两个焦点F1和F2在x轴上，P为该椭圆上的任意一点，若|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆的标准方程是________．

解析：根据焦点在x轴上可以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

因为长轴长2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，离心率e＝＝，

所以a＝2，c＝1，b＝＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

答案：＋＝1

三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.

(1)证明：△ABC为等腰三角形；

(2)若a＝2，c＝3，求sin C的值．

(1)证明：因为＝，

所以acos B＝bcos A，

由正弦定理知sin Acos B＝sin Bcos A，

所以tan A＝tan B，

又A，B∈(0，π)，

所以A＝B，

所以△ABC为等腰三角形．

(2)解：由(1)可知A＝B，所以a＝b＝2，

根据余弦定理有：c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以9＝4＋4－8cos C，解得cos C＝－，

因为C∈(0，π)，

所以sin C＞0，

所以sin C＝＝.

21．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥AB，PA⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E为PC的中点．

(1) 证明：AP⊥CD；

(2) 求三棱锥PABC的体积；

(3) 证明：AE⊥平面PCD.

(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD＝A，

所以PA⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，

所以AP⊥CD.

(2)解：由(1)可知AP⊥平面ABC，所以VP－ABC＝S△ABC·AP，

又S△ABC＝AB·BC·sin ∠ABC＝×2×2×sin 60°＝，

所以VP－ABC＝××2＝.

(3)证明：因为CD⊥AP，CD⊥AC，AP⊂平面APC，AC⊂平面APC，AP∩AC＝A，

所以CD⊥平面APC，

又AE⊂平面APC，

所以CD⊥AE，

由AB＝BC＝2且∠ABC＝60°得△ABC为等边三角形，且AC＝2，

又因为AP＝2，且E为PC的中点，

所以AE⊥PC，

又AE⊥CD，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PC∩CD＝C，

所以AE⊥平面PCD.