2021-2022学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32分）

1. 下列英文大写正体字母中，是中心对称图形的选项是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如果，那么下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工个零件，甲加工个这种零件所用的时间和乙加工个这种零件所用的时间相等．如果设乙每小时加工这种零件个，那么可列方程为(    )

1.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共40分）

9. 若，则分式的值为______．
10. 已知一个边形的内角和是外角和的倍，则的值为______．
11. 关于的不等式的解集为，则的值为______．
12. 如图，在▱的对角线，交于点，点是的中点，的周长为，则的周长为______．

13. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则的度数为______．

14. 若，则代数式的值为______．
15. 若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是______．
16. 定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数，我们称这样的三角形为“半角三角形”若等腰为“半角三角形”，则的顶角度数为______．
17. 如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为______．

18. 如图，在边长为的等边三角形中，点是与平分线的交点，过点的直线分别与边，交于点，点关于的对称点为点，连接，，分别与交于点，，连接，，的度数为______，若，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 解不等式组；
    解方程：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别为，，．
    把向左平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的；
    画出绕原点按顺时针方向旋转后的图形，并直接写出对应点连线段的长度______．

22. 如图，在▱中，对角线，交于点，，，垂足分别为，，连接，．
    求证：四边形为平行四边形；
    若，，，求四边形的面积．

23. 已知，与都是等腰直角三角形，，，连接，．
    如图，求证；
    如图，点在内，，，三点在同一直线上，过点作的高，证明：；
    如图，点在内，平分，的延长线与交于点，点恰好为中点，若，求线段的长．
     

24. 小明和同学一起去书店买书，他们先用元买了一种科普书，又用元买了一种文学书．科普书的价格是文学书价格的倍，他们所买的科普书比所买的文学书少本．
    这种科普书和这种文学书的价格分别为多少元？
    学校图书室计划选购这两种图书共本，且购买这两种图书的总经费不超过元，那么图书室至少购买多少本文学书？
25. 平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为直线：经过点，两点，与轴交于点．
    求直线的函数表达式；
    如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标；
    如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数．
     

26. 如图，在▱中，过点分别向，作垂线，垂足分别为，，的平分线分别交，，于点，，．
    求证：为等腰三角形；
    若，求线段的长；
    若，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
，
解得：．
故选：．
直接利用分式的值为零，则分子为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件值是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、等号左右两边式子不相等，故本选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

5.【答案】 

【解析】解：点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点的坐标是，
即．
故选：．
根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标．
此题主要考查了点的平移规律，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
当时，一次函数的图象在的图象的上方，
关于的不等式的解集是，
故选：．
根据函数图象，可以发现当时，一次函数的图象在的图象的上方，从而可以得到不等式的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长等于，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据甲加工个这种零件所用的时间和乙加工个这种零件所用的时间相等，可以列出相应的分式方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
则．
故答案为：．
由，可得，把代入分式中进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设这个正多边形的边数为，由题意得：
，
解得．
故答案为：．
设这个正多边形的边数为，则内角和为，再根据外角和等于列方程解答即可．
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为．
 

11.【答案】 

【解析】解：解不等式，
得，
又此不等式的解集是，
，
．
故答案为：．
首先整理不等式，用表示出不等式的解集，然后与比较，就可以得出的值．
此题主要考查了一元一次不等式的解法，利用表示出不等式的解集是解题关键，需要掌握解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
是中点，
又是中点，
是的中位线，
，
即的周长的周长，
的周长的周长．
的周长．
故答案是：．
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，，，点是的中点，可得是的中位线，可得从而得到结果．
本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用，判断出的周长的周长是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，≌，，
，，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质和等边对等角以及三角形内角和定理，可以求得的度数，本题得以解决．
本题考查了旋转的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
根据平方差公式因式分解，再整体代换即可求出答案．
本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
 

15.【答案】且 

【解析】解：，
，
解得：，
关于的分式方程的解小于，且，
，且，
解得：且．
故答案为：且．
首先根据，用含的式子表示出；然后根据关于的分式方程的解小于，求出的取值范围即可．
此题主要考查了解一元一次不等式的方法，以及分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解．
 

16.【答案】或 

【解析】解：顶角度数是底角度数，
顶角：；
底角度数是顶角度数，
顶角：．
故的顶角度数为或．
故答案为：或．
分两种情况讨论：顶角度数是底角度数；底角度数是顶角度数；进行计算即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，新定义，注意分类思想的应用．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，

是等腰直角三角形，
，，
将直线：向上平移个单位长度得到直线，
，，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，
点，点，
，
折线的长的最小值为，
故答案为：．
先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：如图，连接，，，

是等边三角形，
，
点是与平分线的交点，
，
由折叠得：，，
，
过点作于，作于，作于，作于，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
设，，
过点作于，连接，
，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，，，
≌，
，
同理得：，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
如图，连接，，，由折叠得：，过点作于，作于，作于，作于，根据角平分线的性质和逆定理可得：≌，则，由三角形的内角和定理可得，设，，作辅助线，构建的直角三角形，计算，证明≌，由列方程可解答．
本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识，有难度，正确作辅助线，灵活运用这些性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．线段的长度．
故答案为：．

利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证≌，得，再由，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，，则，然后求出，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：与都是等腰直角三角形，，
，，，
≌，
；
证明：如图，，，，
，
，
，
由知：，
点在内，，，三点在同一直线上，
；
解：如图，连接，

平分，，
，
，
，
，
设，则，，，
由知≌，
，
，，
，
，
是的中点，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
同理知：，先根据等腰三角形三线合一的性质得，再由直角三角形斜边中线的性质得，最后由线段的和可得结论；
如图，连接，设，则，，，由知≌，得，证明≌，得，计算，根据，列方程可解答．
本题是三角形的综合问题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：这种科普书的价格为元，文学书的价格为元．
设购买本文学书，则购买本科普书，
依题意得：，
解得：．
答：图书室至少购买本文学书． 

【解析】设文学书的价格为元，则科普书的价格为元，利用数量总价单价，结合用元购买科普书的数量比用元购买文学书的数量少本，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出文学书的价格，再将其代入中即可求出科普书的价格；
设购买本文学书，则购买本科普书，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：直线：分别与轴，轴交于点，，
，，
点在直线上，且点的横坐标为．
，
直线：经过点，两点，
则，
解得，
直线的解析式为；

直线的解析式为，
，
，，
，
设，
，
，解得，
点的坐标为；

如图，过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，

，，
，
，
，
，
≌，
，，
设，
，
，，
  ，
 ， ，
，，
，
，
，
 ，  ， ，
，，
，
，，
，
． 

【解析】利用，两点坐标代入，解方程组即可解决问题；
设，根据，解方程即可；
过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，证明≌，可得，，设，可得  ，求出，，由得，则 ， 可得，，根据勾股定理的逆定理得，则，即可得．
本题是一次函数综合题，考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
为等腰三角形；
解：过点作于，

，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
平分，，，
，
设，，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：线段，，之间的数量关系为，
理由如下：在射线上截取，连接，

，，
，
，，
，
，
≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质及角平分线的定义证出，则可得出结论；
过点作于，由平行四边形的面积求出的长，由勾股定理求出的长，设，，证明≌，由全等三角形的性质求出，由勾股定理可求出答案；
在射线上截取，连接，证明≌，由全等三角形的性质证出，，由平行四边形的性质及角平分线的定义证出，则可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．