人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期末测试卷（困难）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期末测试卷

考试范围：选择性必修一全册；考试时间：120分钟；总分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 在空间直角坐标系中，已知点，向量，则线段的中点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线

A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线

6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知是椭圆上的动点，则点到直线：的距离的最小值为(    )

A.   B.  C.  D.

8. 如图，平面，四边形为矩形，其中，是的中点，是上一点，当时，：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 空间直角坐标系中，下列说法正确的是(    )

A. 点关于坐标平面的对称点的坐标为
B. 点在平面面上
C. 表示一个与坐标平面平行的平面
D. 表示一条直线

10. 过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则(    )

A. 点恒在以线段为直径的圆上 B. 四边形面积的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为

11. 已知圆和圆相交于，两点，且点在轴上方，则(    )

A.
B. 过作圆的切线，切线长为
C. 过点且与圆相切的直线方程为
D. 圆的弦交圆于点，为的中点，则的斜率为

12. 已知曲线，则(    )

A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是圆，其半径为
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于          ．

14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且所在的平面互相垂直活动弹子，分别从，出发沿对角线，匀速移动，已知弹子的速度是弹子的速度的倍，且当弹子移动到处时试验中止则活动弹子，间的最短距离是          ．
                                                       

15. 已知两点，，则线段的垂直平分线方程为           ．
16. 直线经过，且与、距离相等，则直线的方程为          

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知椭圆：过点，且．
    Ⅰ求椭圆的方程；
    Ⅱ过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，求的值．
18. 如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为的正方形，，，与交于点，点在线段上．
    求证：平面
    若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值．
     

19. 如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．
    当是线段中点时，求到平面的距离
    若二面角的余弦值为，求的值．
     

20. 已知点，，．

若，，三点共线，求实数的值

若，求实数的值．

21. 已知直线：．
    证明：直线过定点；
    若直线不经过第四象限，求的取值范围；
    若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点也为抛物线：的焦点．

若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；

若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

根据空间向量的坐标表示，求出点的坐标，再求出线段的中点坐标．
本题考查了空间向量的坐标表示与线段中点坐标公式，是基础题．

【解答】

解：空间直角坐标系中，点，所以，
又向量，且，
所以，即点；
所以线段的中点坐标为，即．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的线性运算与数量积运算，属于中档题．
以为基底表示，然后利用向量数量积运算求解线段的长度．

【解答】

解：由题意可知，，
且，，，，
则
，
，
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的标准方程，与圆有关的最值问题，体现了转化及数形结合的数学思想，属于一般题．
先根据两圆的方程求出圆心和半径，把求的最大值转化为求，即可得解．

【解答】

解：设圆的圆心为，则 ，圆的圆心为，则 ，这两个圆的半径都是．
要使最大，需最大，且最小，
最大值为，的最小值为，
故最大值是

，
故的最大值为．
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题重点考查直线与圆的位置关系，对称问题，两点间的距离公式，圆切线长的计算，属中档题．

【解答】

解：因为点关于轴的对称点为，，
所以光线从点到点所经过的路程的长度为．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的性质和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于中档题．
根据抛物线定义即可求解．

【解答】

解：由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离得：，
所以三角形为是以为顶点的等腰三角形，
故线段的垂直平分线过三角形顶点．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，属于中档题．
设，，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，，再由椭圆的定义可得，再由勾股定理，可得，的方程．

【解答】

解：如图，

设，，
若是以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，，
由椭圆的定义可得的周长为，
即有，即，
则，
在直角三角形中，
，
即，
，
则，
．
故答案选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与椭圆的位置关系、两平行直线间的距离等知识点，属于中档题．
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程是，与椭圆方程联立并消元，由可得的值，求出两条平行线的距离，即可求得椭圆上的动点到直线距离的最小值．

【解答】

解：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程是，
与椭圆方程联立
消元可得，
则，可得，
故与直线平行且与椭圆相切的直线方程是，
与之间的距离为，
与之间的距离为，
椭圆上的动点到直线距离的最小值是．
故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的坐标运算、向量线性运算的坐标表示、线面垂直的判定与性质，属于基础题．
由题意结合线面垂直的判定与性质定理证明，在平面中，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算求出的值．

【解答】

解：如图所示，

因为平面，平面，所以，
又，，、平面，所以平面，
又平面，所以．
在平面中，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨设，则，，，
设，则，
所以，，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以：：．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为相反数，由此判断；由纵坐标为判断；由空间直角坐标系的知识判断．
本题考查空间直角坐标系及点的坐标，是基础题．

【解答】

解：对于，点关于坐标平面的对称点的坐标为，故A错误；
对于，点在平面面上，故B正确；
对于，表示一个平面，其与平面平行且距离为，故C正确；
对于，，说明竖坐标为任意数，表示一个平面，故D错误．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，以及相交弦的有关应用．

对于：由动点及圆的性质即可判断；

对于：连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求解即可；

对于：由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可得解；

对于：先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本不等式即可求解．

【解答】

解：对于：在四边形中，不一定是直角，故A错误；

对于：连接，由题易知，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，正确；

对于：设，则以线段为直径的圆的方程是，
与圆的方程相减，得，
即直线的方程为，
又点在直线上，所以，则，
代入直线的方程，得，即，
令，则，得，，
所以直线过定点，所以，
数形结合可知的最小值为，正确；

对于在中，分别令，得到点，，
所以，
因为点在直线上，所以且，，
则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，正确．

故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆与圆的位置关系，圆的切线方程，切线长，以及直线与圆相交等问题，属于拔高题．

【解答】

解：圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为
两圆相减得，即为相交弦所在直线方程，，选项正确．
过作圆的切线，切线长，选项错误．
点在轴上方，故A点坐标，，切线斜率即为，切线方程，整理得，选项正确．
设点，故C，
依题意：，解得．
，选项正确．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的焦点、双曲线的渐近线、由标准方程确定圆心和半径，属于中档题．
根据椭圆的焦点、双曲线的渐近线、由标准方程确定圆心和半径，依次判断各个选项即可得到答案．

【解答】

解：对于，若，则，即，
因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于，若，则，即，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，
由，得，故C正确；
对于，若，，则，即，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二面角，及向量数量积，属于中档题．
由二面角可知，又，两边平方计算即可求出的长．

【解答】

解：由二面角的平面角的定义知，
，
由，，得，，，

，
所以，即．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求空间中两点间距离公式，属于一般题．

【解答】

解：平面平面，平面平面，
平面
又
故建立如图所示空间直角坐标系
设，则，
则，，，
，

，．
，
当时，最小，最小值为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
求出线段的中点和斜率，可得中垂线的斜率，再利用点斜式求出线段的垂直平分线方程．

【解答】

解：经过两点，的直线的斜率为，中点为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
故线段的垂直平分线方程为，即，
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的求解，属于基础题．
由题意，所求直线经过点和的中点或与点和所在直线平行，分别求解即可．

【解答】

解：直线经过，且与、距离相等，
则直线经过点和的中点，或与点和所在直线平行．
若直线经过点和的中点，则直线的斜率为，
故直线方程为，即；
若直线与点和所在直线平行，则直线斜率为，
故直线方程为，即，
故答案为．

17.【答案】解：Ⅰ椭圆：过点，且，
则，解得，，
椭圆方程为．
Ⅱ由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为，
由，消去整理可得，
，解得，
设，，
，，
则直线的方程为，直线的方程为，
分别令，
可得，
，


将和代入上式整理可得，
，
故． 

【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系的综合应用，考查了运算求解能力，属于较难题．
Ⅰ由题意可得，解得，，即可求出椭圆方程；
Ⅱ由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为，设，，与椭圆方程联立，根据韦达定理得出和，再求得直线的方程为，直线的方程为，分别令，求出和，代入化简整理即可得出结论．
 

18.【答案】解：因为平面平面且交线为，
又平面且，所以平面，
又平面，所以．
因为是边长为正方形，所以，又，，
所以，即．
又因为，，平面，
所以平面．
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为为的中点，所以为的中点，
以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则有，，，，，，
易得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，又，，
则
取，则，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 

【解析】本题考查了平面与平面所成角的向量求法、线面垂直的证明，涉及面面垂直的性质、线面垂直的性质、线面平行的性质等知识，属中档题．
 

19.【答案】解：法一：因为平面，，所以，，两两互相垂直．
以为一组基底建立如图所示空间直角坐标系．
所以，，，，
则，，．
设平面的法向量，
所以，即

令，得平面的一个法向量．
设到平面的距离为，
则．
法二：由条件可求得，，
故可求得，
因为，所以，
所以，
解得
法一：设，，则，．
设平面的法向量，
所以即
令，得平面的一个法向量，
由平面的一个法向量，
得，
解得，则，所以．
法二：过点作，垂足为，连结．
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，，，平面，
所以平面．
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角．
所以，
解得．
因为平面，平面，所以，
设，在直角三角形中，，
所以，解得，
所以． 

【解析】本题主要考查了利用几何法和空间向量法分别解决立体几何中的点到平面的距离和二面角问题，考查查空间想象能力、推理论证能力，以及运算求解能力，属于一般题．
 

20.【答案】解：因为，，三点共线，且、的横坐标不相等，

所以，即，

解得或或．

由已知，得，且．

当，即时，直线的斜率不存在，此时，于是

当，即时，，

由，得，解得．

综上，可得实数的值为或．

【解析】本题考查直线的斜率，两条直线平行、垂直与斜率的关系．
由，，三点共线，则有，根据列出关于的方程，解出即可．
分两种情况：或者讨论，当时，的斜率不存在，，满足，
当时，根据，即斜率之积，由此列出关于的方程，解出即可．
 

21.【答案】解：直线的方程可化为，
故无论取何值，直线总过定点．
直线的方程可化为，则直线在轴上的截距为，
要使直线不经过第四象限，则，
解得．
依题意，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
，，
又且，，
故，
当且仅当，即时，取等号，
故的最小值为，此时直线的方程为． 

【解析】本题考查直线过定点问题、直线在坐标系中的位置以及基本不等式的应用，属于难题．
直线的方程可化为，则得到结果；
由题意可知直线的斜率和直线在轴上的截距都是非负数，解出的取值范围；
先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．
 

22.【答案】解：因为抛物线的焦点为，所以，故．

所以椭圆．

    设，则

两式相减得，

又的中点为，所以．

所以．

显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为．

    椭圆右焦点．

当直线的斜率不存在或者为时，．

当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，

设，联立方程得

消去并化简得，

因为，

所以，．

所以，

同理可得．

所以，
综上，为定值．

【解析】本题考查直线与椭圆相交的中点弦问题，椭圆中的定值问题，属于中档题．
先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；
分类讨论，当直线的斜率不存在或者为时，进行求解；当直线的斜率存在且不为时，设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，的表达式，进而即可证得结论．