2022年上海市浦东新区中考数学二模试卷（Word解析版）

2022年上海市浦东新区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1. 下列实数中，有理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列代数式中，不是单项式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如果将抛物线向上平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取名男生进行引体向上测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表所示，那么这名男生此次测试中引体向上次数的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 已知在中，点、分别是、的中点，设，，那么向量用向量、表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48分）

7. 计算：______．
8. 分解因式：______．
9. 已知，那么______．
10. 方程的解是______．
11. 上海市第七次全国人口普查数据显示，全市常住人口约为人．将这个数用科学记数法表示为______．
12. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为______ ．
13. 反比例函数的图象经过点，则的值为______．
14. 不透明的布袋里有个红球、个黄球、个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里任意摸出一个球恰好是黄球的概率是______．
15. 如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是______．
16. 为了解全校名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图每小组包括最小值，不包括最大值；纵轴表示：那么这所学校体重小于千克且不小于千克的初中毕业生约有______人．

17. 如图，已知在中，，，点在边上，且，那么边的长为______．

18. 如图，已知在中，，将绕着点旋转，点恰好落在边上的点不与点重合处，点落在点处，如果，联结，那么的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 计算：．
20. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
21. 如图，已知中，弦，点是弦上一点，，．
    求的长；
    过点作弦与弦垂直，求证：．

22. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度厘米与燃烧时间小时之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
    求甲蜡烛燃烧时与之间的函数解析式不写定义域；
    现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧分钟，求乙蜡烛的高度．

23. 如图，已知正方形，以为边在正方形外作等边，过点作与边、分别交于点、点，点在线段上，且．
    求证：；
    联结、，分别交、于点、，求证：．

24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
    求抛物线的表达式；
    已知点在轴上，且在点的右侧，联结、，如果：：，求点的坐标；
    在的条件下，如果点在线段上，，求的长度．

25. 如图，在四边形中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点．
    求证：；
    如果，求的余弦值；
    当是等腰三角形时，求线段的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是有理数，故A符合题意；
B、是无理数，故B不符合题意；
C、是无理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D不符合题意；
故选：．
根据整数和分数统称为有理数，即可解答．
本题考查了实数，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：表示与的乘积，是单项式，不选A．
表示与的乘积，是单项式，不选B．
表示与的乘积，是单项式，不选C．
表示与的和，不是单项式，它是单项式与单项式的和，所以是多项式．不是单项式的是．
故选：．
单项式的定义：数或字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义判定即可．
本题考查单项式的定义，会判断出式子是不是数或字母的乘积是关键，同时注意单独的一个数或一个字母也是单项式．
 

3.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是：．
故选：．
利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
这名男生此次测试中引体向上次数的众数是；
共有名男生，中位数是低、个数的平均数，
中位数为；
故选：．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就可能会出错．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
在中，、分别是边、边的中点，
．
故选：．
由，，利用三角形法则求解即可求得，又由在中，、分别是边、边的中点，可得是的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图，

在中，由勾股定理得：，
则，
，，
，
要使与相交，且点在外，必须，
即只有选项B符合题意；
故选：．
连接交于，根据勾股定理求出，求出和，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出的范围即可．
本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数，
，
故答案为：．
将自变量的值代入函数关系式进行计算即可．
本题考查函数值，将自变量的值代入函数关系式是正确计算的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：平方，得
，
解得，
故答案为：．
根据乘方，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
本题考查了无理方程，利用乘法转化成一元一次方程是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
把一个大于的数表示成的形式其中大于或等于且小于，是正整数使用的是科学记数法．用科学记数法表示一个位数，则的指数是一些较大的数可以用科学记数法表示，一些小于的正数也可以用科学记数法表示成的形式．
本题考查科学记数法表示较大的数，其中确定和的值是关键，注意，位数．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式，即可求值．
此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当时，方程有两个相等的实根，当时，方程有两个不相等的实根，当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知，．
故答案为：．
把代入函数解析式即可求的值．
此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
黄球．
故答案为：．
根据抽出黄球出现的结果数所有可能出现的结果数即可．
本题考查了概率公式，掌握黄球的概率抽出黄球出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得：
边数为，
则它的边数是．
故答案为．
一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是度，用度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
本题考查了正多边形的计算，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：

人，
即这所学校体重小于千克且不小于千克的初中毕业生约有人．
故答案为：．
用总数乘体重小于千克且不小于千克的频率即可．
本题考查了频数分布图和频率分布直方图的知识，根据频率、频数及样本容量之间的关系进行正确的运算是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，

，

，，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
．
在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，将及已知的值代入，求出的长，再利用勾股定理求出的长，由即可求出的长．
此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握定义及定理是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图：

将绕着点旋转，点恰好落在边上的点，
，，，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
画出图形，根据将绕着点旋转，点恰好落在边上的点，可得，又，即可得是等边三角形，，从而是等边三角形，，即可得．
本题考查直角三角形中的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质，得到，是等边三角形．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】先算分数指数幂，负整数指数幂，次幂及绝对值，再加减．
本题考查实数混合运算，确定运算顺序是求解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
由得：，
由得：，
表示在数轴上如图：

不等式组的解集为：． 

【解析】先解出每个不等式的解集，再把解集表示在数轴，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组解集是每个不等式解集的公共部分．
 

21.【答案】解：过点作于，
则，
，，，
，
；
证明：过点作于，
，
，
，
，
，
平分，
，，
，
． 

【解析】过点作于，根据垂径定理得到，根据，得到的长，根据勾股定理即可得出的长；
根据角平分线的性质先证明，根据弦心距相等即可得到弦相等．
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，根据弦心距相等得到弦相等是解题的关键．
 

22.【答案】解：设甲蜡烛燃烧时与之间的函数关系式为，把，代入得：
，
解得，
甲蜡烛燃烧时与之间的函数关系式为；
乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧厘米，
乙蜡烛每小时燃烧厘米，
乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧分钟，
乙蜡烛燃烧时间为小时，
乙蜡烛的高度是厘米，
答：乙蜡烛的高度为厘米． 

【解析】设甲蜡烛燃烧时与之间的函数关系式为，用待定系数法可得甲蜡烛燃烧时与之间的函数关系式为；
求出乙蜡烛每小时燃烧长度及燃烧时间，即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法，能求出乙蜡烛每小时燃烧长度及燃烧时间．
 

23.【答案】证明：是等边三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
四边形为矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
证明：四边形为平行四边形，，
四边形为菱形，
，
，
又，
，
又，
，
∽，
． 

【解析】由等边三角形的性质及正方形的性质证出，证明≌，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定可证出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论；
证明四边形为菱形，由菱形的性质得出，证明∽，由相似三角形的性质可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：将，代入得：
，
解得，
答：抛物线的表达式为；
在中，令得或，
，，
，
设，
：：，
：：，
解得，
；
过作于，如图：

由，得，
，，
，
，
，
设，则，，
，，
∽，
，即，
解得，
，，
，
，
答：的长度为． 

【解析】用待定系数法可得抛物线的表达式为；
在中，令得，，设，可得：：，可解得；
过作于，由，，得，故，设，则，，根据∽，即得，解得，从而可得．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，锐角三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

25.【答案】证明：过点作，交于点，如图，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：延长、交于点，如图，
点为对角线的中点，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
由知：，
；
解：由知：，，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形，
或，
当时，，
，
在中，，
在中，，
，
解得：；
当时，，，
在中，，
在中，，
，
解得：；
综上所述，当是等腰三角形时，线段的长为或． 

【解析】过点作，交于点，可证得四边形是菱形，进而可得，即可证得结论；
延长、交于点，可证得≌，再由，可得∽，可求得：，，再运用勾股定理求得，根据三角函数定义即可求得答案；
由于，故EF，分两种情况：当时，利用勾股定理建立方程求解即可；当时，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．