2023年高考数学一轮复习单元质检卷十算法初步统计与统计案例含解析北师大版文

单元质检卷十　算法初步、统计与统计案例

(时间:60分钟　满分:80分)

一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.(2021安徽合肥六中模拟)质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况,从编号为1~120的该商品中利用系统抽样的方法抽8件进行质检,若所抽样本中含有编号67的商品,则下列编号一定被抽到的是(　　)

A.112 B.53 C.38 D.9

答案:A

解析:由题意得组距为=15,设第一组抽取编号为k,则第n组抽取的编号为15(n-1)+k,样本中含有编号67的商品,即15×(5-1)+k=67,可得k=7,因为15×7+7=112,即第8组中抽取商品的编号为112.故选A.

2.已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,则(　　)

A.=4,s2<2 B.=4,s2>2

C.>4,s2<2 D.>4,s2>2

答案:A

解析:∵某7个数的平均数为4,∴这7个数的和为4×7=28.

∵加入一个新数据4,∴=4.

又这7个数的方差为2,且加入一个新数据4,

∴这8个数的方差s2=<2.故选A.

3.(2021江西南昌模拟)公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个算法框图,则输出n的值为(　　)

(参考数据:≈1.732,sin 15°≈0.258 8,sin 7.5°≈0.130 5)

A.12 B.24

C.36 D.48

答案:B

解析:执行算法框图,可得n=6,S=3×sin60°=;不满足条件S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3;不满足条件S≥3.10,n=24,S=12×sin15°≈12×0.2588=3.1056;满足条件S≥3.10,退出循环.故输出n的值为24.故选B.

4.(2021黑龙江齐齐哈尔一模)某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时,获得该产品的售价x(单位:元)和销售量y(单位:百个)之间的四组数据如表:

用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程y=-1.4x+17.5,那么表中实数a的值为(　　)

A.4 B.4.7

C.4.6 D.4.5

答案:D

解析:由表中数据可知,×(4+a+5.5+6)=×(12+11+10+9)=10.5,

∵线性回归方程y=-1.4x+17.5恒过样本中心点(),

∴10.5=-1.4×+17.5,解得a=4.5.故选D.

5.(2021陕西宝鸡一模)为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作,全面提升学生的体质健康水平,某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生,测试了立定跳远项目,依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远200 cm以上成绩为及格,255 cm以上成绩为优秀,根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的优秀率和图中的a分别是(　　)

A.3%,0.010 B.3%,0.012

C.6%,0.010 D.6%,0.012

答案:C

解析:由频率分布直方图得立定跳远255cm以上的频率为0.003×20=0.06,即优秀率为0.06×100%=6%.由于(0.003+0.014+0.02+a+0.003)×20=1,解得a=0.010,故选C.

6.节能降耗是企业的生存之本,树立一种“点点滴滴降成本,分分秒秒增效益”的节能意识,以最好的管理,来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造,下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润:

预测第8年该国企的生产利润约为(　　)

参考公式及数据:b=;a=-b(xi-)(yi-)=1.7,-n=10

A.1.88千万元 

B.2.21千万元

C.1.85千万元 

D.2.34千万元

答案:C

解析:由题可得,=3,=1,b==0.17,所以a=-b=1-0.17×3=0.49,所以生产利润与年号的回归方程为y=0.17x+0.49,当x=8时,y=0.17×8+0.49=1.85,故选C.

二、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

7.某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1~20号,第二组21~40号……第五组81~100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为　　　　　.

答案:64

解析:设在第一组中抽取的号码为a1,则在各组中抽取的号码构成首项为a1,公差为20的等差数列,即an=a1+(n-1)×20,又在第二组中抽取的号码为24,即a1+20=24,所以a1=4,所以在第四组中抽取的号码为4+(4-1)×20=64.

8.(2019全国Ⅱ,文14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　. 

答案:0.98

解析:由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,总车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.

9.(2021福建宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人,他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题,问题如下:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?用代数方法表述为:设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x,y,z,则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组的解.其解题过程可用算法框图表示,如图所示,则算法框图中正整数m的值为　　　　. 

答案:4

解析:由得y=25-x,故x必为4的倍数,当x=4t时,y=25-7t,

由y=25-7t>0得,t的最大值为3,故判断框应填入的是“t<4?”,即m=4.

三、解答题:共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

10.(11分)为推动更多人阅读,联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”.设立目的是希望居住在世界各地的人,无论你是年老还是年轻,无论你是贫穷还是富裕,都能享受阅读的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们,都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式,某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民,经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1,将这200人按年龄分组,其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄(同一组中数据用该组区间中点值作代表);

(2)把年龄在[15,45)的居民称为青少年组,年龄在第[45,65]组的居民称为中老年组,若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人,请完成上面2×2列联表,问是否有95%的把握认为阅读方式与年龄有关?

附:χ2=,

解:(1)由频率分布直方图可得,10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1,解得a=0.035,故通过电子阅读的居民的平均年龄为20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5.

(2)由题意200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1,可得纸质阅读的人数为200×=50,其中中老年有30人,则纸质阅读的青少年有20人.电子阅读的总人数为150,其中青少年人数为150×(0.1+0.15+0.35)=90,则中老年有60人.得2×2列联表,

经计算χ2=≈6.061>3.841,

所以有95%的把握认为阅读方式与年龄有关.

11.(12分)(2021河南高三模拟)某生物研究小组准备探究某种蜻蜓的翼长分布规律,随机捕捉20只该种蜻蜓,测量它们的翼长(翼长为整数,单位:mm)并绘制成如下的茎叶图和一部分频率分布直方图,其中茎叶图中有一处数字看不清(用a表示),但已知茎叶图中每一行的数据都按照从小到大的顺序排列且无相同数据,频率分布直方图每个分组含左端点不含右端点.

(1)求a的值;

(2)根据茎叶图将频率分布直方图补充完整;

(3)分别根据茎叶图和频率分布直方图计算蜻蜓翼长的中位数,并分析哪个中位数可以更准确地反映蜻蜓翼长的总体情况.

解:(1)[40,45)区间对应的个体个数为0.03×5×20=3,对应的三个数据分别为41,42,43,因此a必须要大于4且小于6,从而a=5.

(2)区间[35,40),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65)对应的纵坐标分别为=0.03,=0.04,=0.05,=0.03,=0.02.

所以频率分布直方图如下:

(3)根据茎叶图,中位数为=49.5.

在频率分布直方图中,区间[35,50)的频率为(0.03+0.03+0.04)×5=0.5,因此中位数为50.

利用茎叶图计算的中位数更加准确,因为频率分布直方图损失了样本的部分信息,数据的分组对数字特征的估计结果也有影响;茎叶图是原始数据,记录了样本的全部信息,所以能更准确地反映蜻蜓翼长的总体情况.

12.(12分)(2021吉林三模)某村承包了一块土地,已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示:

并调查了该村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如表所示:

(1)作出散点图,判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关,并根据相关系数r说明相关关系的强弱(若|r|≥0.75,认为两个变量有很强的线性相关性,r值精确到0.001);

(2)完成以下2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.

参考公式:r=.

参考数据:=16,(yi-)2=206,≈22.7.

附:χ2=,

解:(1)散点图如图:

由散点图可知,管理时间y与土地使用面积x线性相关,

依题意,=3,又=16,

∴(xi-)(yi-)=(-2)×(-8)+(-1)×(-5)+0×(-2)+1×8+2×7=43,

(xi-)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,

(yi-)2=206,

则r=≈0.947,

∵0.947>0.75,∴管理时间y与土地使用面积x线性相关性很强.

(2)2×2列联表如下:

∴χ2==25>6.635,

∴有99%的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.