2023年高考数学一轮复习单元质检卷七不等式推理与证明含解析北师大版文

这是一份2023年高考数学一轮复习单元质检卷七不等式推理与证明含解析北师大版文，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检卷七　不等式、推理与证明(时间:100分钟　满分:120分)一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)A.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:π是无理数,结论:π是无限不循环小数B.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:π是无限不循环小数,结论:π是无理数C.大前提:π是无限不循环小数,小前提:无限不循环小数是无理数,结论:π是无理数D.大前提:π是无限不循环小数,小前提:π是无理数,结论:无限不循环小数是无理数答案:B解析:A中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故A错误;C,D都不是由一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论,所以C,D都不正确;只有B符合演绎推理三段论形式且推理正确.2.(2021广西柳州一模)已知x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值为(　　)A.2 B.4 C.6 D.10答案:A解析:不等式组表示的可行域如图所示,由z=2x+y得y=-2x+z,作出直线y=-2x,平移直线y=-2x,当直线过点C时,直线在y轴上的截距最小,此时z取最小值,由即C(0,2),所以z=2x+y的最小值为2×0+2=2.3.(2021宁夏中卫模拟)若x,y∈R,2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　)A.(-∞,-2] B.(0,1)C.(-∞,0] D.(1,+∞)答案:A解析:因为1=2x+2y≥2=2,所以2x+y≤,即x+y≤-2,当且仅当2x=2y=,即x=y=-1时取等号,所以x+y的取值范围是(-∞,-2].4.(2021内蒙古赤峰适应性考试)中国有句名言“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹,古代用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位数用横式表示,依此类推.例如:7239用算筹表示就是,则6728用算筹可表示为(　　)答案:D解析:由题意各位数码的筹式需要纵横相间,6728用算筹可表示为.5.(2021广西防城港模拟)观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,…,则52 021的末四位数字为(　　)A.0 625 B.3 125 C.5 625 D.8 125答案:B解析:由题意可得5n(n≥5,n∈N+)的末四位数字的周期为4,所以52021=5504×4+5,所以52021的末四位数字为3125.6.(2021贵州毕节诊断测试)宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”,其中“落一形”就是以下所描述的三角锥垛,三角锥垛从上到下最上面是1个球,第二层是3个球,第三层是6个球,第四层是10个球……则这个三角锥垛的第十五层球的个数为(　　)A.91 B.105 C.120 D.210答案:C解析:∵“三角形数”可写为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,…,∴“三角形数”的通项公式为an=1+2+3+…+n=,∴这个三角锥垛的第十五层球的个数为a15==120.7.(2021湖南湘潭质检)由于冬季气候干燥,冷空气频繁袭来,为提高公民的取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比,每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,这两项费用分别为5千元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区(　　)A.5千米 B.6千米C.7千米 D.8千米答案:A解析:设供热站应建在离社区x千米处,则自然消费y1=,供热费y2=k2x,由题意得,当x=20时,y1=0.5,y2=8,所以k1=xy1=10,k2=,所以y1=,y2=x,所以两项费用之和y1+y2=≥2=4,当且仅当,即x=5时,等号成立,所以要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区5千米处.8.(2021四川成都玉林中学高三月考)已知x>0,y>0,且=1,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m的最小值是(　　)A.2 B.-4 C.4 D.-2答案:B解析:∵x>0,y>0,且=1,∴x+2y=(x+2y)=4+≥4+2=8,当且仅当,即x=4,y=2时取等号,∵x+2y≥m2+2m恒成立,∴(x+2y)min≥m2+2m,即8≥m2+2m,解不等式可得-4≤m≤2,故实数m的最小值为-4.9.(2021山东聊城一中高三月考)某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示:则下面判断中不正确的是(　　)A.甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B.乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前D.甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,丙同学更靠前答案:D解析:对于A,甲同学的逻辑思维成绩排名比较靠前,但是总排名比较靠后,说明甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前,故A正确.对于B,乙同学的总排名比较靠前,但是他的逻辑思维成绩排名比较靠后,说明他的阅读表达成绩排名比逻辑思维成绩排名更靠前,故B正确.对于C,甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名顺序是甲、丙、乙,故甲同学最靠前,故C正确.对于D,丙同学的阅读表达成绩排名居中,但是甲、乙同学的阅读表达成绩排名不能具体确定,所以D错误.10.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据市场预测.甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%,可能最大亏损率分别为50%和20%.该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目,在总投资风险不超过30%的情况下,该投资人可能获得的最大盈利为(　　)A.40万元 B.50万元 C.60万元 D.70万元答案:D解析:设投资甲、乙项目分别x,y万元,由题意有且最大盈利为30%x+20%y,∴该投资人可能获得的最大盈利,即为以上不等式为约束条件下,求目标式z=30%x+20%y=0.3x+0.2y的最大值.∴由上图知,当直线z=0.3x+0.2y过直线x+y=300与0.5x+0.2y=90的交点(100,200)时有最大值,∴zmax=0.3×100+0.2×200=70(万元).二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.11.根据事实1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;….写出一个含有量词的全称命题:　. 答案:任意n∈N+,1+3+5+…+(2n-1)=n2解析:∵1=12,1+(2×2-1)=22,1+3+(2×3-1)=32,1+3+5+(2×4-1)=42,由此可归纳得出:任意n∈N+,1+3+5+…+(2n-1)=n2.12.(2021云南曲靖质量检测)若实数x,y满足约束条件则z=ax+by(a>b>0)取最大值4时,的最小值为　　　　　. 答案:解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示:当z=ax+by(a>b>0)最大时,直线y=-x+在y轴截距最大,∵a>b>0,∴-<-1,则由图形可知,当直线y=-x+过点A时,在y轴截距最大,由即A(1,1),∴zmax=a+b=4,∴(a+b)=5+≥5+2=当且仅当,即a=2b=时取等号,∴的最小值为.13.(2021浙江杭州高三期末)若a>0,b>0,且a+b=1,则a2+b2的最小值等于　　　　,的最大值等于　　　　. 答案:解析:∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤,当且仅当a=b=时取等号,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-,当且仅当a=b=时取等号,a2+b2的最小值为,=a+b+2=1+2≤1+a+b=2,当且仅当a=b=时取等号,的最大值为.14.(2021贵州贵阳一中高三月考)在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何中的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥P-ABC中的三个侧面PAB,PBC,PAC两两相互垂直,则　.” 答案:三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(12分)(2021广西河池模拟)(1)用分析法证明:当n≥0时,;(2)已知x∈R,a=x2-1,b=2x+2,用反证法证明:a,b中至少有一个不小于0.证明(1)要证,即证<2,即证()2<(2)2,即证2n+2+2<4n+4,即证<n+1,只要证n2+2n<n2+2n+1,而上式显然成立.所以成立.(2)假设a<0且b<0,则由a=x2-1<0得-1<x<1,由b=2x+2<0得x<-1,这与-1<x<1矛盾,所以假设错误.所以a,b中至少有一个不小于0.16.(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图1,2,3,4为刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值;(2)归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;(3)求+…+(n≥2,n∈N+)的值.解:(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,…,由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.所以f(n+1)=f(n)+4n,f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=1+=2n2-2n+1.(3)当n≥2时,,所以+…+=1+1-+…+=1+1-=.17.(12分)给出下列各式:①cos,②coscos,③coscoscos,④coscoscoscos,…根据以上信息,猜想一般规律,并加以证明.解:根据题意,分析所给的等式可得:cos,可化为cos,coscos,可化为coscos,coscoscos,可化为coscoscos.猜想一般规律为cos·coscos…cos(n∈N+).证明:我们熟知正弦的二倍角公式为sin2α=2sinαcosα,cosα=,据此可得coscos·cos…cos·…·,当n为偶数时,则有原式=,又=…==π,所以coscoscos…cos.同理可得当n为奇数时猜想也成立.18.(14分)(2021河南郑州模拟)开普勒说:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密.”波利亚也曾说过:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在以前的学习中,我们知道,平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体等.如图,如果四面体D-EFP中棱DE,DF,DP两两垂直,那么称四面体D-EFP为直角四面体.请类比直角三角形ABC(h表示斜边上的高)中的性质给出直角四面体D-EFP中的两个性质,并给出证明.类别直角三角形ABC直角四面体D-EFP条件CA⊥CBDE⊥DF,DE⊥DP,DF⊥DP结论1a2+b2=c2 结论2 解:记△DEF,△DEP,△DFP,△EFP的面积依次为S1,S2,S3,S,记DE=m,DF=n,DP=p.结论1:S2=.证明:过D作DH⊥EF,垂足为H,连接PH,∵DH⊥EF,EF⊥PD,DH∩PD=D,∴EF⊥平面PDH,又PH⫋平面PDH,∴PH⊥EF.(m2n2+m2p2+n2p2),在Rt△DEF中,DH=,PH=,则S2=EF·PH2=2=(m2n2+n2p2+m2p2),∴S2=.结论2:.证明:过D作DH⊥EF,垂足为H,连接PH,则PH⊥EF,过D作DG⊥PH,垂足为G,设DG=h,∵EF⊥平面PDH,GD⫋平面PDH,∴EF⊥GD,又DG⊥PH,EF∩PH=H,∴GD⊥平面PEF,即GD=h为点D到平面PEF的距离,由等体积法可得VP-DEF=VD-PEF,即mnp=×h,∴h=,∴.