2022年广西桂林中考数学复习训练：解答题对应练(14)及答案

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(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．如果存在，直接写出P点的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【解析】(1)∵抛物线y＝－ eq \f(1,2) x2＋mx＋n经过点C(0，2)，∴n＝2，
把A(－1，0)代入y＝－ eq \f(1,2) x2＋mx＋2，可得m＝ eq \f(3,2) ，
∴抛物线表达式为y＝－ eq \f(1,2) x2＋ eq \f(3,2) x＋2.
(2)在抛物线的对称轴上存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．
P点的坐标为P1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4)) ，P2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,2))) ，
P3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(5,2))) .
(3)当y＝0时，－ eq \f(1,2) x2＋ eq \f(3,2) x＋2＝0，
解得x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0).
设直线BC的表达式为y＝kx＋b，把B，C两点坐标代入
y＝kx＋b，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋b＝0，,b＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝2，))
∴直线BC的表达式是y＝－ eq \f(1,2) x＋2.
过点C作CM⊥EF于点M，设E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(1,2)a＋2)) ，
则F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(1,2)a2＋\f(3,2)a＋2)) .
∴EF＝－ eq \f(1,2) a2＋ eq \f(3,2) a＋2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a＋2))
＝－ eq \f(1,2) a2＋2a(0≤a≤4).
∴S四边形CDBF＝S△BCD＋S△CEF＋S△BEF
＝ eq \f(1,2) × eq \f(5,2) ×2＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a2＋2a)) [a＋(4－a)]
＝－a2＋4a＋ eq \f(5,2) ＝－(a－2)2＋ eq \f(13,2) (0≤a≤4).
∴当a＝2时，S四边形CDBF的最大值为 eq \f(13,2) ，此时E(2，1).
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，若y＝x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c，点D为AB上一动点．过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当DE＝4时，求四边形OAEB的面积；
(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似，若存在，求出点D坐标，若不存在，说明理由．
【解析】(1)∵y＝x＋4，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝－4，
∴A(－4，0)，B(0，4).
∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝4，,－16－4b＋c＝0，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－3，,c＝4，))
∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4.
(2)如图①：设点D(x，x＋4)，E(x，－x2－3x＋4)，
则DE＝CE－CD＝－x2－3x＋4－(x＋4)＝4，
解得：x1＝x2＝－2.
当x＝－2时，y＝－x2－3x＋4＝6，
即E(－2，6)，
∴S四边形OAEB＝S△ACE＋S梯形CEBO
＝ eq \f(1,2) ×6×2＋ eq \f(1,2) ×(4＋6)×2＝16.
(3)存在，理由如下：
设点E(x，－x2－3x＋4)，
①当BE∥x轴时(如图②)，△D1BE∽△D1AC.
∵EC⊥x轴，∴EC＝BO，
则－x2－3x＋4＝4，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝－3.
当x＝－3时，y＝x＋4＝1，
∴D1(－3，1).
②当BE⊥AB时(如图③)，△D2BE∽△D2CA.
过点B作BF⊥D2E交D2E于点F，
则F(x，4)，D2(x，x＋4)，
由(1)知∠OAB＝45°，
∴△BED2是等腰直角三角形，
∴EF＝FD2，∴－x2－3x＋4－4＝4－(x＋4).
化简得x2＋2x＝0，
解得x1＝0(舍去)，x2＝－2，
当x＝－2时，y＝x＋4＝2，∴D2(－2，2).
综上所述，使△DBE和△DAC相似的点为
D1(－3，1)，D2(－2，2)，共2个．
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