2021-2022学年安徽省安庆市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年安徽省安庆市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 如果是二次根式，那么应满足(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 关于的一元二次方程的根的情况(    )

A. 有两个不相等的同号实数根 B. 有两个不相等的异号实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

4. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员次射击的平均成绩都是环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，由此可知(    )

A. 甲比乙的成绩稳定 B. 乙比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定谁的成绩更稳定

5. 下列哪一个角度可以作为一个多边形的内角和(    )

A.  B.  C.  D.

6. 平行四边形中一边长为，那么它的两条对角线长度可以是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7. 在菱形中，，，求平行线与之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，若四边形是菱形，且，则边的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在菱形中，，、分别是、的中点，、相交于点，连接、给出以下结论，其中正确的有(    )
    ；；≌；．

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 在，，中，与是同类二次根式的是______．
12. 若方程有两个等根，则方程的两根分别为______．
13. 在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接、，则周长的最小值为______．
14. 如图，将一个长为，宽为的矩形纸片先从下向上，再从左向右对折两次后，沿过所得矩形较长一边中点的直线剪掉一部分，再将剩下的打开，得到一个正方形，则这个正方形的面积是______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15. 化简：．
16. 用配方法解方程：．
17. 如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值．
18. 如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，求的长和四边形的面积．

19. 一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件．
    每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元．
    商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．
20. 如图，已知是等边三角形，点、分别在线段、上，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，求证：．

21. 在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为，正方形的顶点称为格点．
    
    在图中，以格点为顶点画，使三边长分别为、、；
    如图，各顶点均在格点上，求的面积和点到的距离；
    在图中，以格点为顶点画直角边长为无理数的等腰直角三角形，并说明理由．
22. 某公司员工某月工资表如下：

该公司三位职员对收入情况作出如下评价：
甲：我的月工资是元，在公司中算中等收入；
乙：我们好几个人的月工资都是元；
丙：我们公司员工收入很高，月工资为元．
请你用所学知识回答下列问题：
甲所说的数据元，我们称之为该组数据的______；填平均数、众数或中位数
乙所说的数据元，我们称之为该组数据的______；填平均数、众数或中位数
丙是用什么方法得出元的？
丙的说法能否反映该公司职员收入的一般水平，为什么？

23. 问题：如图，在中，，为边上一点不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为______；
    探索：如图，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
    应用：如图，在四边形中，若，，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根是有意义的条件：被开方数是非负数即可求得．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为，这几个非负数都为．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项正确；
D、，此选项错误．
故选C．
根据二次根式之间的加减乘除的法则进行计算，找出正确的即可．
考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
又两根之积等于，
方程有两个异号实数根，
所以原方程有两个不相等的异号实数根．
故选B．
先计算出，则，根据的意义得到方程有两个不相等的实数根；又根据根与系数的关系得到两根之积等于，则方程有两个异号实数根．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】 

【解析】解：多边形内角和公式为，
多边形内角和一定是的倍数．
，
故选：．
利用多边形的内角和公式逐个选项进行分析即可作出判断．
本题主要考查了多边形内角和公式，在解题时要记住多边形内角和公式，并加以应用即可解决问题，难度适中．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据平行四边形的对角线互相平分，所选择作为对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，必须满足三角形的两边之和大于第三边，由此逐一排除；
A、取对角线的一半与已知边长，得，，，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得，，，不能构成三角形，舍去；
C、取对角线的一半与已知边长，得，，，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得，，，能构成三角形．
故选D．
平行四边形的对角线互相平分，再根据三角形的三边关系，两条对角线的一半要与能组成三角形，和的一半分别是和，与能组成三角形，其他都不行．
考查了平行四边形的性质和三角形三边关系，本题还可以通过作辅助线，把平行四边形的两条对角线转化在同一三角形中，利用三角形三边关系求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图：作于交于．

四边形是菱形，
，，，
，
，
，同法可得，
，
故选：．
如图：作于交于利用勾股定理求出菱形的边长，再利用面积法求出高，根据即可解决问题；
本题考查菱形的性质、平行线之间的距离等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，，，故A不正确；
B、，，故B不正确；
C、，，故C正确；
D、，，故D不正确．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
即，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，，
，
在直角中，设，，
则，
解得：
，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质和菱形的性质得，，因为四边形是菱形，所以，可求出进而可求出的长．
本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，且，
为等边三角形，
又、分别是、的中点，
，，
，
，
正确；
四边形为菱形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
正确；
在中，为斜边，在中，为斜边，
且，在中，显然，即，
和不可能全等，
不正确；
为等边三角形，
，
，
不正确；
综上可知正确的只有两个，
故选B．
由条件可判定为等边三角形，可得出、，可求得，可判断；由条件可证得≌，可判断；在和中可得出，可判断；由等边三角形的面积可知可判断可得出答案．
本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握菱形的四边相等、对边平行及等边三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，它与的被开方数相同，与是同类二次根式．
，它与的被开方数不相同，与不是同类二次根式．
，它与的被开方数不相同，与不是同类二次根式．
故答案是：．
根据最简二次根式与同类二次根式的定义求解．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

12.【答案】， 

【解析】解：根据题意得，
所以，
所以，，即，
则方程变形为，解得，．
故答案为，．
根据判别式的意义得到，再利用完全平方公式变形得到，然后利用非负数的性质得，，再利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，连接．
点与点关于对称，
的长即为的最小值，
，是的中点，
，
在中，
．
周长的最小值．
故答案为：．
由于点与点关于对称，所以如果连接，交于点，则的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为的最小值，进而可得出结论．
本题考查了轴对称最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，可确定点的位置，进而得出结论．
 

14.【答案】或 

【解析】解：如图，沿着方向剪掉一部分，剩下的部分展开可得正方形，

由题可得，，
这个正方形的面积是；
如图，沿着方向剪掉一部分，剩下的部分展开可得正方形，

由题可得，，
这个正方形的面积是；
故答案为：或．
分两种情况讨论：沿着方向剪掉一部分，剩下的部分展开可得正方形；沿着方向剪掉一部分，剩下的部分展开可得正方形，依据题意可得正方形的面积．
本题考查了剪纸的问题，同时考查了矩形和正方形的判定及性质，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
 

15.【答案】解：



． 

【解析】先算乘除，后算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：移项，得，
二次项系数化为，得，
配方，
，
由此可得，
，． 

【解析】首先把方程的二次项系数变成，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．
配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．
本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即的形式，然后再配方求解．
 

17.【答案】解：有两个实数根，，
，，，
解得．

，
，
，
，
，
解方程，
得，不合题意舍去，
故所求的值为． 

【解析】根据根与系数的关系得到，，结合根的判别式得到的取值范围，所以将其代入所求的代数式得到：，解方程即可．
本题考查了根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

18.【答案】解：过点作，
，，，
，
，
，
，
又，
，，
，，，
，
，
． 

【解析】利用等腰直角三角形的性质得出，进而得出再利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，求出，的长即可得出四边形的面积．
此题主要考查的是勾股定理，根据已知条件构造出直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．
 

19.【答案】解：设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又需要让利于顾客，
．
答：每件服装降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元．
商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
，
此方程无解，
即不可能每天盈利元． 

【解析】设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价元；
商家不能达到平均每天盈利元，设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

20.【答案】证明：是等边三角形，
，
，
，
内错角相等，两直线平行，
，
四边形是平行四边形；

连接
，，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
． 

【解析】由是等边三角形得到，而，由此可以证明，而，然后即可证明四边形是平行四边形；
如图，连接，由，可以推出是等边三角形，然后得到，，而，由此得到，又
是等边三角形，所以得到，，然后即可证明≌，利用全等三角形的性质就证明．
此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题．
 

21.【答案】解：如图中，即为所求；

设点到的距离为．
，，
，
；
如图中，即为所求答案不唯一． 

【解析】利用数形结合的思想画出图形即可；
设点到的距离为路面积法构建方程求解；
根据等腰直角三角形的定义画出图形答案不唯一．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

22.【答案】中位数  众数 

【解析】解：甲所说的数据元，我们称之为该组数据的中位数，
故答案为：中位数；
乙所说的数据元，我们称之为该组数据的众数，
故答案为：众数；
平均数为：，
丙是用求平均数的方法得出元的；
丙的说法不能反映该公司职员收入的一般水平，理由如下：
因为平均数容易受极端数值的影响，个人中只有个人能达到元，大多数职工都不能达到．
所以丙的说法不能反映该公司职员收入的一般水平．
根据中位数、众数、平均数的定义得出答案；
根据众数的定义得出答案；
根据中位数、众数、平均数的定义得出答案；
根据中位数及众数的意义即可得出结论．
本题主要考查了中位数、众数、平均数，理解和掌握相关知识是解题的关键．
 

23.【答案】解：；
，
理由如下：连接，
由得，≌，
，，
，
，
在中，，又，
；
作，使，连接，，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】

【分析】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
证明≌，根据全等三角形的性质解答；
连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
作，使，连接，，证明≌，得到，根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：，
理由如下：，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．