2021-2022学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列各式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在▱中，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(    )

A. 两组对边分别相等 B. 两组对角分别相等
C. 两条对角线互相平分 D. 每一条对角线平分一组对角

6. 一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7. 如图，若一次函数为常数，且的图象经过点，，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一次数学测试，某小组名同学的成绩统计如下有两个数据被遮盖：

则被遮盖的两个数据依次是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9. “漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 二次根式有意义的条件是______．
12. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，，则______．

13. 甲、乙、丙、丁四人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是______填“甲、乙、丙、丁”中的一位．
14. 如图，两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为______．

15. 如图，分别以数轴的单位长度和为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点，则点表示的数为______．

16. 若点，在一次函数是常数的图象上，则，的大小关系是______填“”“”或“”
17. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，且若是边的中点，，，则的长为______．
18. 如图，菱形的边长为，，点是边上一动点不与，重合，点是边上一动点，，则______，面积的最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共54分）

19. 下面是小明设计的“作矩形”的尺规作图过程：
    已知：在中，．
    求作：矩形．
    作法：如图，
    分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
    作直线，交于点；
    连接并延长至点，使得；
    连接，．
    则四边形是矩形．
    根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
    使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：连接，，，．
    ，，
    是线段的垂直平分线．
    ______．
    又，
    四边形是平行四边形______填推理的依据．
    ，
    四边形是矩形______填推理的依据．

20. 计算：；
    ．
21. 如图，在▱中，、分别平分、求证：．

22. 已知一次函数的图象经过点和．
    求该一次函数的解析式；
    在图中画出该函数的图象，并求该图象与坐标轴围成的三角形的面积．

23. 如图是由边长为的小正方形构成的的网格，点，均在格点上．
    在图中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上画出一个即可；
    在图中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上．
     

24. 为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了名学生的竞赛成绩满分分，分及分以上为合格进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
    七年级名学生的测试成绩为：
    ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    八年级名学生的测试成绩条形统计图如图所示：
    
    七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
上表中______，______，______；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由写出一条理由即可；
该校八年级共名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．

25. 已知一次函数为常数，和．
    当时，若，求的取值范围；
    当时，对于的每一个值，一次函数为常数，的值大于一次函数的值，结合图象，直接写出的取值范围．
     

26. 某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
    方案一：没有底薪，只付销售提成；
    方案二：底薪加销售提成．
    如图中的射线、射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资单位：元和单位：元与其当月鲜花销售量单位：千克的函数关系．
    直接写出方案二中的底薪是多少元；
    求与的函数解析式；
    若该公司某销售人员今年月份的鲜花销售量没有超过千克，但其月份的工资超过元．请你判断这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付的月份工资，并说明你的理由．

27. 如图，在正方形中，是边上的一点不与，重合，点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．
    在图中补全图形， ______填“”“”或“”；
    猜想和的数量关系，并证明；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
     

28. 已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点不重合，则称点为图形关于点的倍点．
    如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
    若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是______；
    点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围；
    点为正方形边上一动点，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选项A中的三条线段不能构成三角形，故选项A不符合题意；
，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理和三角形三边满足的关系，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形或三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项的计算错误；
B、原式，所以选项的计算错误；
C、原式，所以选项的计算正确；
D、原式，所以选项的计算错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：是小数，含有分母，故选项A不是最简二次根式；
符合最简二次根式的定义，故B是最简二次根式；
．，，被开方数里含有能开得尽方的因式数，故选项C、不是最简二次根式．
故选：．
利用最简二次根式的定义，逐个分析得结论．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
由等腰三角形的性质可得，由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由菱形性质可知，每一条对角线平分一组对角；
而平行四边形不具备这样的性质；
其他，，均是菱形和平行四边形共有的性质．
故选：．
菱形的对角线垂直和每一条对角线平分一组对角是菱形的重要性质，而平行四边形不具备这样的性质．
本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质特点是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：．
先根据一次函数中，判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当，时，函数图象经过一、三、四象限．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：不等式的解为：．
故选：．
直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分，
则丙的得分是分；
众数是，
故选：．
根据平均数的计算公式先求出丙的得分即可得出答案．
考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，
随的增大而减小，符合函数图象，
故选：．
根据题意，可知随的增大而减小，符合函数图象，从而可以解答本题．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则

所以
所以“数学风车”的周长是：．
故选：．
由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义的条件是：，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
在▱中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
 

13.【答案】丙 

【解析】解：，，，，
，
射击成绩最稳定的是丙，
故答案为：丙．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

14.【答案】 

【解析】解：是公路的中点，
，
，
，
，两点间的距离为．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，
直角三角形的斜边，
则，
如图，点是以原点为圆心为半径作弧与数轴的交点，
点表示的数为．
故答案为：．
根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就求出了的长，结合图中点的位置确定点表示的数．
本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定的长度是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，
又点，在一次函数是常数的图象上，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是边的中点，是的中点，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，，进而利用勾股定理得出的长，利用三角形中位线得出即可．
此题考查平行四边形的性质以及中位线定理，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．
 

18.【答案】  

【解析】解：如图，连接，

菱形边长为，；
与为正三角形，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
是等边三角形，
当时，的面积最小，此时，
边上的高为，
面积的最小值为：．
故答案为：．
先证明是等边三角形，当时面积最小．
本题考查了二次函数的最值，菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】  对角线互相平分的四边形为平行四边形  有一个内角为的平行四边形为矩形 

【解析】解：如图，四边形为所作；

证明：连接，，，，
，，
是线段的垂直平分线，
，
又，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形有一个内角为的平行四边形为矩形．
故答案为：；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为的平行四边形为矩形．
根据几何语言画出对应的几何图形；
先利用作法得到垂直平分，从而得到，由于，根据平行四边形的判定方法得到四边形是平行四边形，然后加上，则可判断四边形是矩形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定．
 

20.【答案】解：原式
；

原式
． 

【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案；
直接利用完全平方公式以及二次根式的乘法运算法则化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形
，，，
，
，，
，
在和中，

≌，
，
． 

【解析】利用全等三角形的性质证明即可．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

22.【答案】解：将点和代入得，
，
解得：，
该一次函数的解析式为：．
图象如图所示：

当时，，与轴交点，
当时，，与轴交点，
该图象与坐标轴围成的三角形的面积，
故该图象与坐标轴围成的三角形的面积为． 

【解析】根据函数解析式将已知点代入可得出方程组，解出该方程组即可得到，值及函数解析式．
利用两点法确定函数图象，再求出图象与、轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、两点法确定函数图像；关键在于解出、值以及正确运用三角形面积公式求解．
 

23.【答案】解：如图中，四边形即为所求；
如图中，正方形即为所求．
 

【解析】根据平行四边形的定义画出图形即可；
根据正方形的定义画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】     

【解析】解：分，
七年级名学生成绩中出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是分，即，
将八年级名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为分，因此中位数是分，即，
故答案为：，，；
八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是分，众数是分，都比七年级高；
名，
答：该校八年级共名学生中成绩合格的大约有名．
根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
从中位数、众数的比较得出结论；
求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可．
本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
 

25.【答案】解：时，，
根据题意得，
解得；
当时，，
把代入得，
解得，
由图象可知当时，；
故的范围为． 

【解析】解不等式即可；
计算出对应的的函数值，然后根据时，一次函数为常数，的图象在直线的上方确定的范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

26.【答案】解：由图象可得，方案二中的底薪是元；
设，
根据题意，得，
解得，
与的函数解析式为；
设，
根据题意得，
解得，
；
当时，
；
；
这个公司采用了方案一给这名销售人员付月份的工资． 

【解析】由图象直接得出结论；
由待定系数法就可以求出解析式；
先求出与的解析式，再利用中求出的函数的解析式，把代入求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：补全图形如图，

由对称得，，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
故答案为：；

．
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
，
由知，
，
，
；

，
证明：过点作，交的延长线于，

由知，
为等腰直角三角形，
，，，
，
，
≌，
，即，
．
根据题意补全图形，由对称得，，等边对等角可得，根据同角的余角相等可得，等量代换即可得出结论；
根据正方形的性质得，则，等边对等角可得，根据三角形的外角性质及角的和差可得，由知，则，由得；
过点作，交的延长线于，由知，则为等腰直角三角形，可得，证明≌，根据全等三角形的性质可得，即，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

28.【答案】、 

【解析】解：设是正方形上一点，则有，
，解得：，
在正方形上，
是正方形关于点的倍点；
同理可得：不满足条件，满足条件，
正方形关于点的倍点为，，
故答案为：，；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，
则，解得：，
点在直线上，则，
，
，即，
解得：；
设，线段上任意一点为，正方形上的点为，
段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，
，
解得：，，
得：，
，
，
，
，
，
．
根据“倍点”的定义，逐一判断即可；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，再根据“倍点”的定义得出，最后根据，得出结果；
设，线段上任意一点为，正方形上的点为，再根据“倍点”的定义得出，，两式相减得出，最后根据，得出结论．
本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及“倍点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．