空间几何体的结构-2023届高考数学一轮复习空间向量与立体几何能力进阶加时练3 (含答案)

【配套新教材】空间向量基本定理

——2023届高考数学一轮复习

空间向量与立体几何能力进阶加时练

1.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且，设向量，，，则(   )

A.  B.

C.  D.

2.设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有(   )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.已知空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且，则实数x的值为(   )

A. B. C. D.

4.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为(   )

A.  B.
C.  D.

5.如图，在平行六面体中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.给出下列结论：

①；

②；

③平面；

④平面.

其中正确结论的个数为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

6.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则(   )

A. B. C. D.

7.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是(   )
A. B.

C. D.

8. (多选)给出下列命题，其中正确的有(   )

A.空间任意三个向量都可以作为一个基底

B.已知向量，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.A，B，M，N是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面

D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

9. (多选)在三棱锥中，三条侧棱PA，PB， PC两两垂直，且，G是的重心， E，F分别为BC，PB上的点，且，则下列说法正确的是(   )

A.  B.  C.  D.

10. (多选)下列命题错误的是(   )
A.是向量不共线的充要条件

B.在空间四边形ABCD中，

C.在棱长为1的正四面体中，

D.设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，则P，A，B，C四点共面

11.在直三棱柱中，若，，，则__________.（用a，b，c表示）

12.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则____________.

13.已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为___________.

14.棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是__________，线段EF的长度为____________.

15.如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为___________.

答案以及解析

1.答案：C

解析：，故选C.

2.答案：C

解析：结合长方体，如图，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，也不共面，故选C.

3.答案：A

解析：因为空间中的四点A，B，C，D共面，但任意三点不共线，且对于该平面外任意一点P，都有，所以，解得.故选A.

4.答案：C

解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.

5.答案：C

解析：，，，从而，平面，平面，平面，同理平面，故①③④正确.又与不平行，与不平行，故②不正确.故选C.

6.答案：A

解析：记，，，因为，，所以，.又因为，，所以，.易得，所以，所以.故选A.

7.答案：C

解析：要使空间中的四点M，A，B，C共面，只需满足，且即可.
A中，，故此时M，A，B，C四点不共面；
B中，，故此时M，A，B，C四点不共面；
C中，，即，
即，，故此时M，A，B，C四点共面；
D中，，则，，故此时M，A，B，C四点不共面.故选C.

8.答案：BCD

解析：选项A中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故A错误.选项B中，根据基底的概念，知B正确.选项C中，由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面.又，，均过点B，所以A，B，M，N四点共面，故C正确.

选项D中，已知是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量构成空间的另一个基底，故D正确.故选BCD.

9.答案：ABD

解析：如图，设，，，则是空间的一个正交基底，

则，取AB的中点H，则，

，，

，，

，A正确；，B正确；，C不正确；，D正确.故选ABD.

10.答案：ACD

解析：当时，向量可能共线，例如共线向量的模分别是2，3，此时也成立，故A中命题错误;
在空间四边形ABCD中， ，故B中命题正确;
在棱长为1的正四面体中，， 故C中命题错误;
由共面向量定理可知，若P，A，B，C四点共面，则需满足，且，因为，所以P，A，B，C四点不共面，故D中命题错误.故选ACD.

11.答案：

解析：如图，.

12.答案：

解析：因为点P与A，B，C三点共面，所以，解得.

13.答案：，-1，

解析：由题意得，a、b、c为三个不共面的向量，由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使..又，

14.答案：；

解析：设，，，则是空间的一个基底，，.，

，，

，异面直线EF与AB所成的角为.

15.答案：2

解析：设，，，则是空间的一个基底，

①，

②，

③，

①-③得④，将②代入④得，

化简得，又（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），即的最小值为2.