2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）解析版

这是一份2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）解析版，共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|﹣2≤x≤2}
2．已知命题p：“∀x∈R，ax2+bx+c＞0”，则￢p为（　　）
A．∀x0∈R，ax02+bx0+c≤0 B．∃x0∈R，ax02+bx0+c≥0
C．∃x0∈R，ax02+bx0+c≤0 D．∀x0∈R，ax02+bx0+c＜0
3．已知等比数列{an}满足a1＝1，4a4﹣a1a7﹣4＝0，则a7＝（　　）
A．4 B． C．8 D．
4．刘徽（约公元225年﹣295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，估计sin4°的值为（　　）

A．0.0524 B．0.0628 C．0.0785 D．0.0698
5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1﹣1，则数列的前10项和为（　　）
A． B．55 C． D．65
6．已知a＝log23，b＝0.23，c＝log34，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
7．已知F为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点P，使直线PF与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．函数f（x）＝lncosx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知函数，给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为π；
②点，是函数f（x）的一个对称中心；
③f（x）在上是增函数；
④把y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度就可以得到f（x）的图象．
则正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
11．已知，若f（x）＝k有四个零点，则k的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
12．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，若四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若向量、、满足＝，||＝||＝1，则（﹣）•＝　 　．
14．已知曲线y＝x3+ax﹣2与x轴相切，则a＝　 　．
15．已知直线l：x＝my+1过抛物线C：y2＝2px的焦点F，交抛物线C于A、B两点，若，则直线l的斜率为　 　．
16．如图，已知梭长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，给出下列结论：
①异面直线AP与DD1所成的角范围为；
②平面PBD1⊥平面A1C1D；
③点P到平面A1C1D的距离为定值；
④存在一点P，使得直线AP与平面BCC1B1所成的角为．
其中正确的结论是　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．设a为实数，函数．
（1）若a＝1，求f（x）的定义域；
（2）若a≠0，且f（x）＝a有两个不同的实数根，求a的取值范围．
18．数列{an}满足a1＝2，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求{bn}的前n项和Tn．
19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a﹣b＝2c•cosB．
（1）求角C；
（2）若a＝2，D在边AB上，且＝2，CD＝，求b．
20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SCD为等边三角形，AB＝BC＝4，CD＝2，．
（1）求证：BC⊥SD；
（2）求二面角B﹣AS﹣D的余弦值．

21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点A（1，），B（0，﹣1）．
（1）求C的方程；
（2）经过D（2，1），且斜率为k的直线l交椭圆C于P，Q两点（均异于点B），证明：直线BP与BQ的斜率之和为定值．
22．已知函数．
（1）若f（x）≤0，求实数a的取值范围；
（2）求证：．


参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|﹣2≤x≤2}
解：∵A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}．
故选：B．
2．已知命题p：“∀x∈R，ax2+bx+c＞0”，则￢p为（　　）
A．∀x0∈R，ax02+bx0+c≤0 B．∃x0∈R，ax02+bx0+c≥0
C．∃x0∈R，ax02+bx0+c≤0 D．∀x0∈R，ax02+bx0+c＜0
解：由全称命题的否定为特称命题，
由命题p：“∀x∈R，ax2+bx+c＞0”，
得￢p为“∃x0∈R，ax02+bx0+c≤0”．
故选：C．
3．已知等比数列{an}满足a1＝1，4a4﹣a1a7﹣4＝0，则a7＝（　　）
A．4 B． C．8 D．
解：因为4a4﹣a1a7﹣4＝0，
所以，所以a4＝2，
再由a1＝1得q3＝2，．
故选：A．
4．刘徽（约公元225年﹣295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，估计sin4°的值为（　　）

A．0.0524 B．0.0628 C．0.0785 D．0.0698
解：将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为360°÷90＝4°，
因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，
所以90××1×1×sin4°＝45sin4°≈π，
所以sin4°≈≈0.0698．
故选：D．
5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1﹣1，则数列的前10项和为（　　）
A． B．55 C． D．65
解：设等差数列{an}的公差为d，则，
所以a1＝1，d＝1，Sn＝，
所以，数列的前10项和，
故选：C．
6．已知a＝log23，b＝0.23，c＝log34，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解：由题知0＜b＜1，
∵，，
∴a，1＜c，
∴a＞c＞b，
故选：D．
7．已知F为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点P，使直线PF与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：直线PF与圆x2+y2＝a2相切，则直线PF的斜率，
又点P在双曲线的右支上，所以，即，
所以，所以，即，
故选：B．
8．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
解：∵＝＝＝＝m，
∴tanα＝，
则 t，
故选：C．
9．函数f（x）＝lncosx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
解：根据题意，函数f（x）＝lncosx，必有＞0，解可得﹣2＜x＜2，
即函数的定义域为（﹣2，2），
有，则f（x）为奇函数，可排除BD；
又由f（1）＝ln3cos1＜1，排除C，
故选：A．
10．已知函数，给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为π；
②点，是函数f（x）的一个对称中心；
③f（x）在上是增函数；
④把y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度就可以得到f（x）的图象．
则正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
解：函数，
＝，
对于①，由题知，则周期T＝π，故①正确；
对于②，由于，故②正确；
对于③，当时，，故③正确；
对于④，把y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度就可以得到f（x）的图像，故④错误，
故选：C．
11．已知，若f（x）＝k有四个零点，则k的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
解：，
由f'（x）＝0，得x＝0或x＝1或x＝﹣1，
可知f（x）在x＝0处取极小值，x＝1或x＝﹣1处取极大值，
因f（0）＝0，，，
所以时，f（x）＝k有四个零点，
故选：A．
12．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，若四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：如图，

设矩形ABCD的中心为F，三角形PAD的外心为E，分别过F、E作所在平面的垂线，交于O，
则O为四棱锥P﹣ABCD外接球的球心，
设AD＝a，又AB＝2，可得OF＝，AF＝，
∴OA＝＝．
∵四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为，∴，
解得：a＝．
，
∴该四棱锥的表面积为S＝＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若向量、、满足＝，||＝||＝1，则（﹣）•＝　0　．
解：因为，，
所以．
故答案为：0．
14．已知曲线y＝x3+ax﹣2与x轴相切，则a＝　﹣3　．
解：设曲线上切点坐标为，
因为y'＝3x2+a，所以，解得x0＝﹣1，a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．已知直线l：x＝my+1过抛物线C：y2＝2px的焦点F，交抛物线C于A、B两点，若，则直线l的斜率为　　．
解：由直线x＝my+1过（1，0），所以p＝2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，可得y1＝﹣2y2，
直线x＝my+1与抛物线y2＝4x联立得，y2＝4my+4，
所以y1y2＝﹣4，可得，
所以．
故答案为：．
16．如图，已知梭长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，给出下列结论：
①异面直线AP与DD1所成的角范围为；
②平面PBD1⊥平面A1C1D；
③点P到平面A1C1D的距离为定值；
④存在一点P，使得直线AP与平面BCC1B1所成的角为．
其中正确的结论是　②③　．

解：对于①，当P在C点时，DD1⊥AC，
异面直线AC与DD1所成的角最大为，
当P在B1点时，异面直线AB1与DD1所成的角最小为，
异面直线AP与DD1所成的角的范围为，故①错误；
对于②，因为BD1⊥平面A1C1D，所以平面PBD1⊥平面A1C1D，故②正确；
对于③，B1C∥平面A1C1D，所以点P到平面A1C1D的距离为定值，且等于BD1的，
即，故③正确；
对于④，直线AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB，，
当BP⊥B1C时，BP最小，tan∠APB最大，最大值为，故④不正确，
故答案为：②③．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．设a为实数，函数．
（1）若a＝1，求f（x）的定义域；
（2）若a≠0，且f（x）＝a有两个不同的实数根，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，对任意的x，函数f（x）＝﹣x成立，
所以|x+1|﹣1≥0，即|x+1|≥1，
所以x+1≤﹣1或x+1≥1，
解得x≤﹣2或x≥0，
所以f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．
（2）由f（x）＝a，得＝x+a，
设x+a＝t，t＞0，所以＝t有2个不同的实数根．
整理得a＝t﹣t2，
设f（t）＝t﹣t2，t＞0，则0＜f（t）≤，
由题意知，a的取值范围是（0，）．
18．数列{an}满足a1＝2，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求{bn}的前n项和Tn．
【解答】（1）证明：由，得，
又，所以为首项为1，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）得，，即．
所以Tn＝+++…+，①
＝+…+，②
由①﹣②得，，
，
所以．
19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a﹣b＝2c•cosB．
（1）求角C；
（2）若a＝2，D在边AB上，且＝2，CD＝，求b．
解：（1）根据题意，若2c•cosB＝2a﹣b，
则有：2c×＝2a﹣b，
整理得：a2+b2﹣c2＝ab，
可得：cosC＝＝＝，
又在△ABC中，0°＜C＜180°，
∴C＝60°．
（2）设BD＝x，可得AD＝2x，
因为cos∠BDC＝﹣cos∠ADC，DC＝，a＝2，
由余弦定理可得：＝﹣，解得b2﹣6x2＝1，①
又cos∠ACB＝＝，解得b2﹣9x2＝2b﹣4，②
联立①②，解得b2+4b﹣11＝0，解得b＝﹣2，（负值舍去）．

20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SCD为等边三角形，AB＝BC＝4，CD＝2，．
（1）求证：BC⊥SD；
（2）求二面角B﹣AS﹣D的余弦值．

【解答】（1）证明：由已知BC＝4，SC＝2，得，SB2＝BC2+SC2，
所以∠BCS＝90°，所以BC⊥SC，
又BC⊥CD，CD⊂平面SCD，SC⊂平面SCD，
所以BC⊥平面SCD，
又SD⊂平面SCD，所以BC⊥SD．
（2）解：以D为坐标原点，取AB中点E，，的方向分别为x轴，y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，

则B（4，2，0），A（4，﹣2，0），．
所以，，，．
平面DAS的法向量为，
则，即，
即x＝1，则y＝2，，
所以．
平面BAS的法向量为，
则，即，得b＝0，
取，则c＝4，所以，
从而．
因二面角B﹣AS﹣D为锐角，故二面角B﹣AS﹣D的余弦值为．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点A（1，），B（0，﹣1）．
（1）求C的方程；
（2）经过D（2，1），且斜率为k的直线l交椭圆C于P，Q两点（均异于点B），证明：直线BP与BQ的斜率之和为定值．
解：（1）因为椭圆C过点A（1，），B（0，﹣1），
所以b＝1，+＝1，解得a2＝3，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（2）证明：根据题意设直线l的方程为y＝k（x﹣2）+1，即y＝kx﹣2k+1，
联立，得（1+3k2）x2+（﹣12k2+6k）x+12k2﹣12k＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
所以x1+x2＝，x1x2＝，
y1y2＝（kx1﹣2k+1）（kx2﹣2k+1）＝k2x1x2+（﹣2k+1）k（x1+x2）+（﹣2k+1）2
＝k2•+（﹣2k+1）•k•（）+（﹣2k+1）2，
kBP+kBQ＝+＝+＝＝
＝2k+（2﹣2k）•＝2k+（2﹣2k）•＝1．
22．已知函数．
（1）若f（x）≤0，求实数a的取值范围；
（2）求证：．
【解答】解法1：（1）因为，x＞0，
当a＝0时，，符合题意，
当a＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
而，不合题意，
当a＞0时，令f'（x）＞0，得0＜x＜4a2，
令f'（x）＜0，得x＞4a2，
即f（x）在（0，4a2）上单调递增，在（4a2，+∞）上单调递减，
所以，解得．
综上，实数a的取值范围为．
解法2：由已知若f（x）≤0，即对∀x＞0恒成立，
当x＝0时，0≤1，不等式显然成立；
当x＞1时，由得，
设，则，
由g'（x）＞0得x＞e2，由g'（x）＜0，得0＜x＜e2，
即g（x）在（0，e2）单调递减，在（e2，+∞）单调递增，
所以，所以．
当0＜x＜1时，由，得，
由，因为0＜x＜1，所以g'（x）＜0，
即g（x）在（0，1）上单调递减，且当x→0时，g（x）→0，
所以，g（x）＜0，所以a≥0．
综上，．
证明：（2）由（1）知，当a＝1时，，即，
所以，
所以，
所以，即证．