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2021年安徽省安庆市高考数学一模试卷（文科） （Word解析版）
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这是一份2021年安徽省安庆市高考数学一模试卷（文科） （Word解析版），共18页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年安徽省安庆市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1}
2．复数z＝，则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“0≤p≤4”是“函数f（x）＝x+在（2，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如图扇形统计图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入略有增加
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入不变
D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
5．向量＝（2，1），＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），若（+2）⊥，则实数m等于（ ）
A．1 B． C． D．2
6．已知3sin（θ+）+sin（θ+π）＝0，θ∈（﹣π，0），则sinθ＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
7．已知抛物线y＝x2上的动点P到直线l：y＝﹣3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d的最小值等于（ ）
A．4 B．2+ C．2 D．3+
8．已知等差数列{an}满足a1＝1，a10＝10，则数列{}的最大项为（ ）
A． B． C． D．
9．将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为2π
B．g（x）的图象关于直线x＝对称
C．g（x）的最大值为+1
D．g（x）在（）上为单调减函数
10．双曲线C：＝1（a，b＞0），圆M：（x+2）2+y2＝3与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
11．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BCD＝，且AB⊥面BCD，则四面体A﹣BCD的外接球表面积为（ ）
A．36π B．9π C． D．
12．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2﹣2x有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，e﹣2） B．（0，e﹣2） C．（﹣∞，e﹣1） D．（0，e﹣1）
二、填空题（共4小题）.
13．函数f（x）＝x2ex在点（1，f（1））处的切线方程为 ．
14．已知实数x，y满足，则z＝2x+y﹣1的最大值为 ．
15．已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0，点P是直线x﹣y+1＝0的一动点，AB是圆C的一条直径，则•的最小值等于 ．
16．在△ABC中，∠C＝120°，△ABC的面积为4，D为BC边的中点，当中线AD的长度最短时，边AB长等于 ．
三、解答题（共70分）
17．已知数列{an}对任意的n∈N*都满足+…+＝n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
18．某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
a
60
m
注射疫苗
b
30
n
总计
110
90
200
从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？
（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率．
附：K2＝．
P（K2≥k）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB∥CD且AB⊥AD，PA＝CD＝2AB＝2，AD＝PD＝．E为PB中点．
（1）求证：PA⊥面CDE；
（2）求点E到面PCD的距离．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线l：x﹣4y+＝0过椭圆的左焦点F，与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为，A、B分别为椭圆的上、下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线PA的斜率为kPA，直线QB的斜率为kQB，若2kPA+kQB＝0，问直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．
21．已知函数f（x）＝（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤ex﹣1+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，﹣2），求|PM|2+|PN|2的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1}
解：因为A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，1，2}，
故选：C．
2．复数z＝，则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：，
故复数z在复平面上所对应的点为，在第四象限．
故选：D．
3．“0≤p≤4”是“函数f（x）＝x+在（2，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当p≤0时，f(x)在(2,+∞)为增函数，
当p＞0时，f(x)在[,+∞)为增函数，若f(x)在(2,+∞)上为增函数，
则≤2，得0＜p≤4，综上f(x)在(2,+∞)上为增函数的充要条件为p≤4，
∵0≤p≤4是p≤4的真子集，为充分不必要条件，
故选：A．
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如图扇形统计图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入略有增加
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入不变
D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，
对于A，建设后种植收入为37%×2a＝74%a＞60%a，略有增加，故A正确；
对于B，建设后其他收入为5%×2a＝10%a＞4%，增加了一倍以上，故B正确；
对于C，建设后养殖收入为30%×2a＝60%a，而建设前，养殖收入为30%a，明显增加，故C错；
对于D，建设后，种植收入占比为37%＜60%，明显下降，故D正确，
故选：C．
5．向量＝（2，1），＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），若（+2）⊥，则实数m等于（ ）
A．1 B． C． D．2
解：根据题意，＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），则+2＝（3m﹣7，9﹣2m），
若（+2）⊥，则（+2）•＝2×（3m﹣7）+（9﹣2m）＝4m﹣5＝0，
解可得：m＝，
故选：B．
6．已知3sin（θ+）+sin（θ+π）＝0，θ∈（﹣π，0），则sinθ＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
解：由3sin（θ+）+sin（θ+π）＝0，可得3cosθ＝sinθ，
可得tanθ＝3，
而θ∈（﹣π，0），
可得sinθ＝﹣＝﹣．
故选：A．
7．已知抛物线y＝x2上的动点P到直线l：y＝﹣3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d的最小值等于（ ）
A．4 B．2+ C．2 D．3+
【解答】解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，
d＝|PE|+2＝|PF|+2,
|PF|+|PA|≥|PA|＝,
从而|PA|+d＝|PA|+|PF|+2+2．
所以|PA|+d的最小值等于2+，
故选：B．
8．已知等差数列{an}满足a1＝1，a10＝10，则数列{}的最大项为（ ）
A． B． C． D．
解：∵等差数列{an}满足a1＝1，a10＝10，
∴d＝＝1,∴an＝1+(n﹣1)×1＝n,
∴＝＝＝,
∵n+≥2+9＝4,
由于n∈N*,
,,
∴{}的最大项为第3项，是．
故选：C．
9．将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为2π
B．g（x）的图象关于直线x＝对称
C．g（x）的最大值为+1
D．g（x）在（）上为单调减函数
解：∵将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，
得到y＝g（x）＝2sin（2x+﹣）＝2sin（2x﹣）的图象，
∴g（x）的最小正周期为 ＝π，故A错误；
令x＝，求得g（x）＝0，不是最值，故B错误；
g（x）的最大值为2，故C错误；
当x（），2x﹣∈（，π），g（x）单调递减，故D正确，
故选：D．
10．双曲线C：＝1（a，b＞0），圆M：（x+2）2+y2＝3与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线的一条渐近线bx﹣ay＝0，
条件知圆心(﹣2,0)到渐近线的距离等于＝，
从而，，，
所以．
故选：A．
11．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BCD＝，且AB⊥面BCD，则四面体A﹣BCD的外接球表面积为（ ）
A．36π B．9π C． D．
解：根据题意，构造一个直三棱柱如图所示，
O1，O2分别为上下底面外接圆的圆心，根据球的性质，
球心O必为O1O2的中点，则球的半径为OB，设为R，
设△BCD的外接圆半径为r，
在△BCD中，由余弦定理可得，BD＝，
由正弦定理可得r＝，
∴，球的表面积S＝，
故选：D．
12．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2﹣2x有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，e﹣2） B．（0，e﹣2） C．（﹣∞，e﹣1） D．（0，e﹣1）
解：f′(x)＝lnx﹣ax﹣1，
根据题意可得f′(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点，
即lnx﹣ax﹣1＝0有两个不同的正根，
从而转化为a＝有两个不同的正根，
即为y＝a与y＝有两个不同的交点，
函数y＝在(0,e2)为增函数，在(e2,+∞)为减函数，
所以a∈(0,)，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后的横线上）
13．函数f（x）＝x2ex在点（1，f（1））处的切线方程为 y＝3ex﹣2e ．
解：f（x）＝x2ex在的导数为f′(x)＝2xex+x2ex＝(x2+2x)ex,
可得切线的斜率为f′(1)＝3e,且f(1)＝e,
则f(x)在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e＝3e(x﹣1),
化为y＝3ex﹣2e．
故答案为：y＝3ex﹣2e．
14．已知实数x，y满足，则z＝2x+y﹣1的最大值为 3 ．
解：不等式组所表示区域为图中阴影区域，
联立，解得A（1，2），
由z＝2x+y﹣1，得y＝﹣2x+z+1，由图可知，当直线y＝﹣2x+z+1过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．
故答案为：3．
15．已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0，点P是直线x﹣y+1＝0的一动点，AB是圆C的一条直径，则•的最小值等于 ．
解：由x2+y2﹣2x+2y+1＝0，得（x﹣1）2+（y+1）2＝1，
可得圆C的圆心坐标为C（1，﹣1），半径r＝1，
由•＝（+）•（+）
＝+•（）+•＝，
即为d2﹣r2，其中d为圆心到直线上点的距离，r为半径，
因此当d取最小值时，•的取值最小，
可知d的最小值为，
故•的最小值为．
故答案为：．
16．在△ABC中，∠C＝120°，△ABC的面积为4，D为BC边的中点，当中线AD的长度最短时，边AB长等于 2 ．
解：在△ABC中，∠C＝120°，且△ABC的面积为4，
所以，
解得ab＝16．
在△ADC中，利用余弦定理：
＝，
当且仅当b＝时，即a＝4，b＝2时，
此时，
解得AB＝2．
故答案为：2．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知数列{an}对任意的n∈N*都满足+…+＝n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
解：（1）由+…+＝n可得：+…+＝n﹣1(n≥2)，
两式相减得：＝1，即an＝3n，n≥2，
又当n＝1时，有＝1，解得a1＝3也适合，
∴an＝3n；
（2）由（1）可得：bn＝＝＝(﹣)，
∴Tn＝(﹣+﹣+•••+﹣)＝(﹣)＝．
18．某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
a
60
m
注射疫苗
b
30
n
总计
110
90
200
从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？
（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率．
附：K2＝．
P（K2≥k）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）根据条件＝，解得m＝100，
从而a＝40,b＝70,n＝100,
由K2＝≈18.182,
因为18.182＞10.828，所以有99.9%的把握认为注射此疫苗有效．
（2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为2：1，
所以从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记为a、b、c、d；
从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为E、F；
从6只小白鼠中抽取2只共有15种方法，
即有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，
记A＝{至少有1只为注射过疫苗}，则A包含9个基本事件，
从而P（A）＝＝，
所以至少有1只为注射过疫苗的概率是．
19．四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB∥CD且AB⊥AD，PA＝CD＝2AB＝2，AD＝PD＝．E为PB中点．
（1）求证：PA⊥面CDE；
（2）求点E到面PCD的距离．
解：（1）证明：取PA的中点F，连接DF,EF，
因为EF∥AB，而AB∥CD，
所以EF∥CD，从而有E,F,C,D四点共面，
又AD＝DP,且F为AP的中点，所以PA⊥DF,
又面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，
由面面垂直性质定理得CD⊥面PAD,
从而PA⊥CD,CD∩DF＝F，
故PA⊥面CDE．
（2）由（1）知EF∥CD，故E点到面PCD的距离即为F点到面PCD的距离．
过F点作FH⊥PD，因为CD⊥面PAD，
所以FH⊥CD，故FH⊥面PCD,
在Rt△PDF中，PF＝1,PD＝,DF＝，
从而FH＝＝,
故E点到面PCD的距离为．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线l：x﹣4y+＝0过椭圆的左焦点F，与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为，A、B分别为椭圆的上、下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线PA的斜率为kPA，直线QB的斜率为kQB，若2kPA+kQB＝0，问直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．
解：（1）∵直线l：x﹣4过左焦点F，F（，0），c＝，
又由，得，
从而椭圆经过点（），
由椭圆定义知2a＝，得a＝2．
∴b2＝a2﹣c2＝1．
故椭圆的方程为C：；
（2）直线PQ过定点（0，3）．理由如下：
设直线PA的方程为y＝kx+1，则QB的方程为y＝﹣2kx﹣1，
由，得(4k2+1)x2+8kx＝0，
从而点P坐标为（，）；
由，得(16k2+1)x2+16kx＝0．
从而点Q坐标为（，），
由条件知k≠0，从而直线PQ的斜率存在，，
∴直线PQ的方程为y﹣，
即y＝，过定点（0，3）．
故直线PQ过定点（0，3）．
21．已知函数f（x）＝（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤ex﹣1+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）函数f（x）的定义域为(0,+∞)，，
由f'(x)＞0，即1﹣a﹣lnx＞0，解得0＜x＜e1﹣a，
由f'(x)＜0，即1﹣a﹣lnx＜0，解得x＞e1﹣a，
故f（x）的单调递增区间为(0,e1﹣a)，单调递减区间为(e1﹣a,+∞)；
（2）因为f（x）≤ex﹣1+﹣1恒成立，即对(0,+∞)恒成立，
所以a≤xex﹣1﹣x﹣lnx+1对(0,+∞)恒成立，
令μ（x）＝xex﹣1﹣x﹣lnx+1，
则，
当x∈(0,1)时，μ'(x)＜0，所以μ(x)在（0,1）上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，μ'(x)＞0，所以μ(x)在（1,+∞）上单调递增，
故当x＝1时，μ(x)取最小值μ(1)＝1，
所以a≤1，
即a的取值范围是(﹣∞,1]．
请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，﹣2），求|PM|2+|PN|2的值．
解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．整理得，
根据转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣2＝0．
（2）把直线l的参数方程转换为：，代入（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
得到 （t1和t2为M和N对应的参数），
故 ，t1t2＝9，
故|PA|2+|PB|2＝32．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|，
即，
当x≥1时，f（x）＜1即x﹣3＜1，从而有1≤x＜4；
当﹣1＜x＜1时，f（x）＜1即1﹣3x＜1，从而有0＜x＜1；
当x＜﹣1时，f（x）＜1即3﹣x＜1，此时为∅；
综上所述：x∈（0，4）；
（2）若a＞0，，
由函数性质可知，
所以f（x）min＝f（）＝﹣1﹣，
由题意可得f（x）min＞﹣2，即，从而得a＜2，
又a＞0，故a∈（0，2）．
2021年安徽省安庆市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1}
2．复数z＝，则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“0≤p≤4”是“函数f（x）＝x+在（2，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如图扇形统计图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入略有增加
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入不变
D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
5．向量＝（2，1），＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），若（+2）⊥，则实数m等于（ ）
A．1 B． C． D．2
6．已知3sin（θ+）+sin（θ+π）＝0，θ∈（﹣π，0），则sinθ＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
7．已知抛物线y＝x2上的动点P到直线l：y＝﹣3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d的最小值等于（ ）
A．4 B．2+ C．2 D．3+
8．已知等差数列{an}满足a1＝1，a10＝10，则数列{}的最大项为（ ）
A． B． C． D．
9．将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为2π
B．g（x）的图象关于直线x＝对称
C．g（x）的最大值为+1
D．g（x）在（）上为单调减函数
10．双曲线C：＝1（a，b＞0），圆M：（x+2）2+y2＝3与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
11．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BCD＝，且AB⊥面BCD，则四面体A﹣BCD的外接球表面积为（ ）
A．36π B．9π C． D．
12．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2﹣2x有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，e﹣2） B．（0，e﹣2） C．（﹣∞，e﹣1） D．（0，e﹣1）
二、填空题（共4小题）.
13．函数f（x）＝x2ex在点（1，f（1））处的切线方程为 ．
14．已知实数x，y满足，则z＝2x+y﹣1的最大值为 ．
15．已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0，点P是直线x﹣y+1＝0的一动点，AB是圆C的一条直径，则•的最小值等于 ．
16．在△ABC中，∠C＝120°，△ABC的面积为4，D为BC边的中点，当中线AD的长度最短时，边AB长等于 ．
三、解答题（共70分）
17．已知数列{an}对任意的n∈N*都满足+…+＝n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
18．某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
a
60
m
注射疫苗
b
30
n
总计
110
90
200
从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？
（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率．
附：K2＝．
P（K2≥k）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB∥CD且AB⊥AD，PA＝CD＝2AB＝2，AD＝PD＝．E为PB中点．
（1）求证：PA⊥面CDE；
（2）求点E到面PCD的距离．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线l：x﹣4y+＝0过椭圆的左焦点F，与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为，A、B分别为椭圆的上、下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线PA的斜率为kPA，直线QB的斜率为kQB，若2kPA+kQB＝0，问直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．
21．已知函数f（x）＝（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤ex﹣1+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，﹣2），求|PM|2+|PN|2的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1}
解：因为A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，1，2}，
故选：C．
2．复数z＝，则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：，
故复数z在复平面上所对应的点为，在第四象限．
故选：D．
3．“0≤p≤4”是“函数f（x）＝x+在（2，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当p≤0时，f(x)在(2,+∞)为增函数，
当p＞0时，f(x)在[,+∞)为增函数，若f(x)在(2,+∞)上为增函数，
则≤2，得0＜p≤4，综上f(x)在(2,+∞)上为增函数的充要条件为p≤4，
∵0≤p≤4是p≤4的真子集，为充分不必要条件，
故选：A．
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如图扇形统计图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入略有增加
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入不变
D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，
对于A，建设后种植收入为37%×2a＝74%a＞60%a，略有增加，故A正确；
对于B，建设后其他收入为5%×2a＝10%a＞4%，增加了一倍以上，故B正确；
对于C，建设后养殖收入为30%×2a＝60%a，而建设前，养殖收入为30%a，明显增加，故C错；
对于D，建设后，种植收入占比为37%＜60%，明显下降，故D正确，
故选：C．
5．向量＝（2，1），＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），若（+2）⊥，则实数m等于（ ）
A．1 B． C． D．2
解：根据题意，＝（﹣3，4），＝（3m﹣1，1﹣2m），则+2＝（3m﹣7，9﹣2m），
若（+2）⊥，则（+2）•＝2×（3m﹣7）+（9﹣2m）＝4m﹣5＝0，
解可得：m＝，
故选：B．
6．已知3sin（θ+）+sin（θ+π）＝0，θ∈（﹣π，0），则sinθ＝（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
解：由3sin（θ+）+sin（θ+π）＝0，可得3cosθ＝sinθ，
可得tanθ＝3，
而θ∈（﹣π，0），
可得sinθ＝﹣＝﹣．
故选：A．
7．已知抛物线y＝x2上的动点P到直线l：y＝﹣3距离为d，A点坐标为（2，0），则|PA|+d的最小值等于（ ）
A．4 B．2+ C．2 D．3+
【解答】解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，
d＝|PE|+2＝|PF|+2,
|PF|+|PA|≥|PA|＝,
从而|PA|+d＝|PA|+|PF|+2+2．
所以|PA|+d的最小值等于2+，
故选：B．
8．已知等差数列{an}满足a1＝1，a10＝10，则数列{}的最大项为（ ）
A． B． C． D．
解：∵等差数列{an}满足a1＝1，a10＝10，
∴d＝＝1,∴an＝1+(n﹣1)×1＝n,
∴＝＝＝,
∵n+≥2+9＝4,
由于n∈N*,
,,
∴{}的最大项为第3项，是．
故选：C．
9．将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为2π
B．g（x）的图象关于直线x＝对称
C．g（x）的最大值为+1
D．g（x）在（）上为单调减函数
解：∵将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，
得到y＝g（x）＝2sin（2x+﹣）＝2sin（2x﹣）的图象，
∴g（x）的最小正周期为 ＝π，故A错误；
令x＝，求得g（x）＝0，不是最值，故B错误；
g（x）的最大值为2，故C错误；
当x（），2x﹣∈（，π），g（x）单调递减，故D正确，
故选：D．
10．双曲线C：＝1（a，b＞0），圆M：（x+2）2+y2＝3与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线的一条渐近线bx﹣ay＝0，
条件知圆心(﹣2,0)到渐近线的距离等于＝，
从而，，，
所以．
故选：A．
11．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BCD＝，且AB⊥面BCD，则四面体A﹣BCD的外接球表面积为（ ）
A．36π B．9π C． D．
解：根据题意，构造一个直三棱柱如图所示，
O1，O2分别为上下底面外接圆的圆心，根据球的性质，
球心O必为O1O2的中点，则球的半径为OB，设为R，
设△BCD的外接圆半径为r，
在△BCD中，由余弦定理可得，BD＝，
由正弦定理可得r＝，
∴，球的表面积S＝，
故选：D．
12．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2﹣2x有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，e﹣2） B．（0，e﹣2） C．（﹣∞，e﹣1） D．（0，e﹣1）
解：f′(x)＝lnx﹣ax﹣1，
根据题意可得f′(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点，
即lnx﹣ax﹣1＝0有两个不同的正根，
从而转化为a＝有两个不同的正根，
即为y＝a与y＝有两个不同的交点，
函数y＝在(0,e2)为增函数，在(e2,+∞)为减函数，
所以a∈(0,)，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后的横线上）
13．函数f（x）＝x2ex在点（1，f（1））处的切线方程为 y＝3ex﹣2e ．
解：f（x）＝x2ex在的导数为f′(x)＝2xex+x2ex＝(x2+2x)ex,
可得切线的斜率为f′(1)＝3e,且f(1)＝e,
则f(x)在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e＝3e(x﹣1),
化为y＝3ex﹣2e．
故答案为：y＝3ex﹣2e．
14．已知实数x，y满足，则z＝2x+y﹣1的最大值为 3 ．
解：不等式组所表示区域为图中阴影区域，
联立，解得A（1，2），
由z＝2x+y﹣1，得y＝﹣2x+z+1，由图可知，当直线y＝﹣2x+z+1过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．
故答案为：3．
15．已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0，点P是直线x﹣y+1＝0的一动点，AB是圆C的一条直径，则•的最小值等于 ．
解：由x2+y2﹣2x+2y+1＝0，得（x﹣1）2+（y+1）2＝1，
可得圆C的圆心坐标为C（1，﹣1），半径r＝1，
由•＝（+）•（+）
＝+•（）+•＝，
即为d2﹣r2，其中d为圆心到直线上点的距离，r为半径，
因此当d取最小值时，•的取值最小，
可知d的最小值为，
故•的最小值为．
故答案为：．
16．在△ABC中，∠C＝120°，△ABC的面积为4，D为BC边的中点，当中线AD的长度最短时，边AB长等于 2 ．
解：在△ABC中，∠C＝120°，且△ABC的面积为4，
所以，
解得ab＝16．
在△ADC中，利用余弦定理：
＝，
当且仅当b＝时，即a＝4，b＝2时，
此时，
解得AB＝2．
故答案为：2．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知数列{an}对任意的n∈N*都满足+…+＝n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
解：（1）由+…+＝n可得：+…+＝n﹣1(n≥2)，
两式相减得：＝1，即an＝3n，n≥2，
又当n＝1时，有＝1，解得a1＝3也适合，
∴an＝3n；
（2）由（1）可得：bn＝＝＝(﹣)，
∴Tn＝(﹣+﹣+•••+﹣)＝(﹣)＝．
18．某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
a
60
m
注射疫苗
b
30
n
总计
110
90
200
从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？
（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率．
附：K2＝．
P（K2≥k）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）根据条件＝，解得m＝100，
从而a＝40,b＝70,n＝100,
由K2＝≈18.182,
因为18.182＞10.828，所以有99.9%的把握认为注射此疫苗有效．
（2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为2：1，
所以从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记为a、b、c、d；
从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为E、F；
从6只小白鼠中抽取2只共有15种方法，
即有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，
记A＝{至少有1只为注射过疫苗}，则A包含9个基本事件，
从而P（A）＝＝，
所以至少有1只为注射过疫苗的概率是．
19．四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB∥CD且AB⊥AD，PA＝CD＝2AB＝2，AD＝PD＝．E为PB中点．
（1）求证：PA⊥面CDE；
（2）求点E到面PCD的距离．
解：（1）证明：取PA的中点F，连接DF,EF，
因为EF∥AB，而AB∥CD，
所以EF∥CD，从而有E,F,C,D四点共面，
又AD＝DP,且F为AP的中点，所以PA⊥DF,
又面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，
由面面垂直性质定理得CD⊥面PAD,
从而PA⊥CD,CD∩DF＝F，
故PA⊥面CDE．
（2）由（1）知EF∥CD，故E点到面PCD的距离即为F点到面PCD的距离．
过F点作FH⊥PD，因为CD⊥面PAD，
所以FH⊥CD，故FH⊥面PCD,
在Rt△PDF中，PF＝1,PD＝,DF＝，
从而FH＝＝,
故E点到面PCD的距离为．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线l：x﹣4y+＝0过椭圆的左焦点F，与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为，A、B分别为椭圆的上、下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线PA的斜率为kPA，直线QB的斜率为kQB，若2kPA+kQB＝0，问直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．
解：（1）∵直线l：x﹣4过左焦点F，F（，0），c＝，
又由，得，
从而椭圆经过点（），
由椭圆定义知2a＝，得a＝2．
∴b2＝a2﹣c2＝1．
故椭圆的方程为C：；
（2）直线PQ过定点（0，3）．理由如下：
设直线PA的方程为y＝kx+1，则QB的方程为y＝﹣2kx﹣1，
由，得(4k2+1)x2+8kx＝0，
从而点P坐标为（，）；
由，得(16k2+1)x2+16kx＝0．
从而点Q坐标为（，），
由条件知k≠0，从而直线PQ的斜率存在，，
∴直线PQ的方程为y﹣，
即y＝，过定点（0，3）．
故直线PQ过定点（0，3）．
21．已知函数f（x）＝（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤ex﹣1+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）函数f（x）的定义域为(0,+∞)，，
由f'(x)＞0，即1﹣a﹣lnx＞0，解得0＜x＜e1﹣a，
由f'(x)＜0，即1﹣a﹣lnx＜0，解得x＞e1﹣a，
故f（x）的单调递增区间为(0,e1﹣a)，单调递减区间为(e1﹣a,+∞)；
（2）因为f（x）≤ex﹣1+﹣1恒成立，即对(0,+∞)恒成立，
所以a≤xex﹣1﹣x﹣lnx+1对(0,+∞)恒成立，
令μ（x）＝xex﹣1﹣x﹣lnx+1，
则，
当x∈(0,1)时，μ'(x)＜0，所以μ(x)在（0,1）上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，μ'(x)＞0，所以μ(x)在（1,+∞）上单调递增，
故当x＝1时，μ(x)取最小值μ(1)＝1，
所以a≤1，
即a的取值范围是(﹣∞,1]．
请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）直线l与曲线C交于M、N两点，设点P的坐标为（0，﹣2），求|PM|2+|PN|2的值．
解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．整理得，
根据转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣2＝0．
（2）把直线l的参数方程转换为：，代入（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
得到 （t1和t2为M和N对应的参数），
故 ，t1t2＝9，
故|PA|2+|PB|2＝32．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|，
即，
当x≥1时，f（x）＜1即x﹣3＜1，从而有1≤x＜4；
当﹣1＜x＜1时，f（x）＜1即1﹣3x＜1，从而有0＜x＜1；
当x＜﹣1时，f（x）＜1即3﹣x＜1，此时为∅；
综上所述：x∈（0，4）；
（2）若a＞0，，
由函数性质可知，
所以f（x）min＝f（）＝﹣1﹣，
由题意可得f（x）min＞﹣2，即，从而得a＜2，
又a＞0，故a∈（0，2）．
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