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2021年山西省太原市高考数学（一模）模拟试卷（文科） （Word解析版）
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这是一份2021年山西省太原市高考数学（一模）模拟试卷（文科） （Word解析版），共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山西省太原市高考一模数学模拟试卷（有解析）
一、选择题（每小题5分）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5}
2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（ ）
A． B．2 C． D．4
4．函数y＝cos（sinx）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（ ）
A． B． C． D．2
7．已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论错误的是（ ）
A．{an+Sn}是等差数列 B．{an•Sn}是等比数列
C．{an2}是等差数列 D．{}是等比数列
8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]
C．[1，2）∪[4，+∞） D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）
9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）
A． B．3π C． D．
11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f（）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．φ＝
B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1
C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]
D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增
二、填空题（每小题5分）.
13．函数f（x）＝（x﹣1）ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为 ．
14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为 ．
15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA＝4bsinC，cosC＝，点D在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝ ，CD＝ ．
16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝an+an+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
（Ⅰ）证明：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn．
条件①：a1＝，4Sn+2an+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，an+2＝an+2×3n（n∈N*）．
18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
（Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．
（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．
（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；
（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．
20．已知函数f（x）＝cosx+xsinx．
（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；
（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．
（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5}
解：全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，
所以∁UB＝{2，4}，
所以A∪（∁UB）＝{2，3，4}．
故选：A．
2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
解：∵复数z满足z•（1﹣i）＝2i，∴z＝＝＝＝﹣1+i，
故选：B．
3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（ ）
A． B．2 C． D．4
解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，
∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，
∴＝＝＝2．
故选：B．
4．函数y＝cos（sinx）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（sinx）＝f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
∵﹣1≤sinx≤1，
∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，
∴y＝cos（sinx）在x＝2kπ时有最大值，且y＞0，
故选：B．
5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为（2，0），半径为1．
要使直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点，
则圆心到直线y＝kx的距离 ≤1，解得：﹣≤k≤．
在区间[﹣1，1]中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点”
发生的概率为：＝．
故选：C．
6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（ ）
A． B． C． D．2
解：，为单位向量，且满足|﹣|＝，
可得＝2，
解得＝0，
所以|2+|＝＝．
故选：C．
7．已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论错误的是（ ）
A．{an+Sn}是等差数列 B．{an•Sn}是等比数列
C．{an2}是等差数列 D．{}是等比数列
解：由{Sn}是等差数列，
可得：2（a1+a2）＝a1+a1+a2+a3，
∴a2＝a3，
∵{an}是各项均为正数的等比数列，
∴a2＝a2q，可得q＝1．
∴an＝a1＞0，
∴an+Sn＝（n+1）a1，∴数列{an+Sn}是等差数列，因此A正确．
＝，∴{an2}是常数列，为等差数列，因此C正确．
＝a1＞0，∴{}是等比数列，因此D正确．
anSn＝n，∴{an•Sn}不是等比数列，因此B不正确．
故选：B．
8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]
C．[1，2）∪[4，+∞） D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，1），由图可知，B（1，0），
z＝＝2+，其几何意义为可行域内的动点与定点（2，﹣1）连线的斜率加2．
由图可知，，，
∴z＝的取值范围是（﹣∞，1]∪[4，+∞）．
故选：D．
9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
解：∵a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，
∴＝，＝，＝，
设f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝，令f′（x）＝0，则x＝e，
当x∈（0，e），f（x）在 （0，e）上递增，当x∈（e，+∞），f（x）在（e，+∞）递减，
∵4＞π＞3＞e，∴f（4）＜f（π）＜f（3），即 ＜＜，
∴a＞c＞b．
故选：A．
10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）
A． B．3π C． D．
解：如图，正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为，
正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，其半径为2R＝，
R＝，cos∠OAB＝，
∵OA＝R＝，AE＝AB＝，
∴＝3，
则截面圆的半径r＝，
∴截面面积的最小值为S＝πr2＝3π．
故选：B．
11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（ ）
A． B． C． D．
解：由焦点的坐标可得＝，所以p＝1，
所以抛物线的方程为：y2＝2x，
设直线AB的方程为：x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），设A在x轴上方，设m＞0，
联立整理可得：y2﹣2my﹣1＝0，
y1+y2＝2m①，y1y2＝﹣1②，
由题意＝＝2，
可得y1＝﹣2y2，代入①②可得：8m2＝1，解得：m＝，
将m的值代入①可得y1+y2＝，
x1+x2＝m（y1+y2）+1＝，
由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+p＝+1＝，
故选：A．
12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f（）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．φ＝
B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1
C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]
D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增
解：由于函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，
∴ω×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，①．
∵f（）＝0，
∴ω×+φ＝kπ，k∈Z，②．
将代入①②，无解，故A错，
将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx﹣+φ）的图象，
则g（x）的图象关于y轴对称，故g（x）为偶函数，故B错；
∵由题意，﹣（﹣）＝（）T，k1＝0，1，2，…，
∴ω＝1+2k1，则ω≥1，C选项错，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．试题中包含两空的，答对第一空的给3分，全部答对的给5分．
13．函数f（x）＝（x﹣1）ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为 y＝﹣1 ．
解：由题意可得f'（x）＝xex，则f'（0）＝0．
因为f（0）＝﹣1，所以所求切线方程为y+1＝0，即y＝﹣1．
故答案为：y＝﹣1．
14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为 90 ．
解：根据题意知，抽取的样本中初级、中级和高级职称的人数也组成一个公比为q的等比数列，
且a3＝10，S3＝130，
所以，
消去a1，解得q＝，或q＝﹣（不合题意，舍去），
当q＝时，a1＝90，
即被抽取的初级职工的人数为90．
故答案为：90．
15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA＝4bsinC，cosC＝，点D在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝ 4 ，CD＝ ．
解：由正弦定理及3csinA＝4bsinC得3ac＝4bc，
故a＝，
由余弦定理得cosC＝＝＝，
整理得b＝c，
因为cosC＝，
所以sinC＝，
因为△ABC的面积S＝＝＝2，
所以b＝3，c＝3，a＝4，
因为BD＝2DA，
所以，即，
整理得，
＝＝4+＝，
故CD＝．
故答案为：4，．
16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是 ．
解：设右焦点为F'，由题意可得直线l的方程为：y＝，设M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），
连接MF'，NF'，因为∠MFN＝，
所以四边形FMF'N为平行四边形，则∠FMF'＝，
而S△MFF'＝b2tan＝b2＝•cy0，（焦三角形面积公式S＝b2tan，θ为焦顶角），
所以可得y0＝，代入直线l的方程可得：x0＝，
将M的坐标代入椭圆的方程可得：+＝1，
整理可得：4a4﹣14a2c2+c4＝0，即e4﹣14e2+4＝0，
解得：e2＝7±3，由椭圆的离心率e∈（0，1），
所以e＝＝，
故答案为：．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝an+an+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
（Ⅰ）证明：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn．
条件①：a1＝，4Sn+2an+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，an+2＝an+2×3n（n∈N*）．
解：选条件①：a1＝，4Sn+2an+1＝3n+1（n∈N*）；
（Ⅰ）证明：当n＝1时，4S1+2a2＝32，
因为S1＝a1＝，所以a2＝，所以b1＝a1+a2＝3，
当n≥1时，4Sn+2an+1＝3n+1，①
4Sn+1+2an+2＝3n+2，②
②﹣①可得an+2+an+1＝3n+1，
即bn＝an+an+1＝3n（n∈N*），
则{bn}是首项、公比均为3的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn＝3n（n∈N*），
所以Tn＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
3Tn＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，
两式相减可得﹣2Tn＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1
＝﹣n•3n+1，
化简可得Tn＝[（2n﹣1）•3n+1]．
选条件②：a1＝a2＝，an+2＝an+2×3n（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：由an+2＝an+2×3n（n∈N*），
可得an+2+an+1＝an+an+1+2×3n，
因为bn＝an+an+1，所以bn+1＝bn+2×3n，
则bn+1﹣3n+1＝bn﹣3n，
所以bn﹣3n＝b1﹣3＝a1+a2﹣3＝0，所以bn＝3n（n∈N*），
则{bn}是首项、公比均为3的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn＝3n（n∈N*），
所以Tn＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
3Tn＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，
两式相减可得﹣2Tn＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1
＝﹣n•3n+1，
化简可得Tn＝[（2n﹣1）•3n+1]．
18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
（Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．
（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
解：（Ⅰ）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：
P1＝＝，P2＝，P3＝，
∵P1＞P2＞P3，
∴老年人更倾向于选择报团游．
（Ⅱ）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a，
中年人有2人，记为b，c，青年人有2人，记为d，e，
从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），
其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），
∴这2人中有老年人的概率为P＝＝．
（Ⅲ）根据表中的数据，得到：
报团游的满意率为P4＝＝，
自助游的满意率为P5＝＝，
∵P4＞P5，∴建议他选择报团游．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．
（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；
（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．
解：（Ⅰ）证明：连结BG，由题意可得BG与GD共线，且BG＝2GD，
∵E是BC的中点，BF＝3FC，∴F是CE的中点，
∴，∴GE∥DF，GE⊂平面PGE；DF⊄平面PGE；
∴DF∥平面PGE，
∵H是PC的中点，∴FH∥PE，PE⊂平面PGE，FH⊄平面PGE；
∴FH∥平面PGE，
∵DF∩FH＝F，DF⊂平面DEF，FH⊂平面DEF，
∴平面DFH∥平面PGE；
（Ⅱ）∵AB＝AC＝2，BC＝，∴AB2+AC2＝8＝BC2，∴AB⊥AC，
∵PB⊥AC，AB∩PB＝B，∴AC⊥平面PAB，
∵△PAB是正三角形，∴S△PAB＝＝，
∴VP﹣DEG＝VE﹣PDG＝＝＝＝＝.
20．已知函数f（x）＝cosx+xsinx．
（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；
（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．
解：（Ⅰ）因为f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣xsin（﹣x）＝cosx+xsinx＝f（x），x∈R，
所以f（x）是R上的偶函数，也是[﹣2π，2π]上的偶函数，
当x∈[0，2π]时，f′（x）＝xcosx，
令f′（x）≥0，则0≤x≤或≤x≤2π，令f′（x）＜0，则＜x＜，
所以f（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，
因为f（x）是偶函数，所以f（x）在[﹣2π，﹣]和[﹣，0]上单调递减，在（﹣，﹣）上单调递增．
综上所述，f（x）在[﹣2π，﹣]、[﹣，0]和（，）上单调递减，
在（﹣，﹣）、[0，]和[，2π]上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）2﹣1＝g（x），所以g（x）是R上的偶函数，
（1）当x∈[0，2π]时，g′（x）＝x（cosx﹣），
令g′（x）＞0，则0＜x＜或＜x＜2π，令g′（x）＜0，则＜x＜，
所以g（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，
因为g（）＞g（0）＝0，g（）＝×（﹣）﹣（）2﹣＜0，g（2π）＝﹣π2＜0，
所以g（x）在（0，）上有一个零点，所以g（x）在[0，2π]上有两个零点；
（2）当x∈（2π，+∞）时，g（x）＝cosx+xsinx﹣x2﹣1≤x﹣x2＜0，
所以g（x）在（2π，+∞）上没有零点．
由（1）（2）及g（x）是偶函数可得g（x）在R上有三个零点．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．
解：（Ⅰ）设△PF1F2内切圆的半径为r，
则，
∴r＝＝，
∴当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2内切圆的半径r最大，
显然当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，最大值为＝bc，
∴r的最大值为，即＝，
由，解得：，
∴椭圆C的标准方程为：．
（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
①当y0≠0时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为x＝m1y﹣1，x＝m2y+1，
由得：，
∴，
∵x0＝m1y0﹣1，∴，∴，
同理，由可得，
∴＝﹣﹣＝，
②当y0＝0时，直线PF1，PF2与x轴重合，易得：＝3+＝，
综上所述，+为定值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．
解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得，转换为普通方程为；
曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0，根据，转换为直角坐标方程为；
（Ⅱ）把直线转换为（t为参数），代入，
得到：，
所以，，
所以＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．
（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）当m＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，
∵|x+2|+|x﹣1|≥|（x+2）﹣（x﹣1）|＝3，
故当且仅当（x+2）（x﹣1）≤0，即当﹣2≤x≤1时，f（x）取最小值3；
（Ⅱ）由题意得存在x∈（0，1）使得x++|x﹣m|≤3，
（1）当m≥1时，x++|x﹣m|≤3等价于+m≤3，解得：1≤m≤2；
（2）当0＜m＜1时，令g（x）＝x++|x﹣m|，
0＜x＜m时，g（x）＝+m，m≤x＜1时，g（x）＝2x+﹣m，
故g（x）min＝+m，故+m≤3，故1≤m≤2，与0＜m＜1矛盾，此时m无解，
综上：实数m的取值范围是[1，2]．
2021年山西省太原市高考一模数学模拟试卷（有解析）
一、选择题（每小题5分）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5}
2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（ ）
A． B．2 C． D．4
4．函数y＝cos（sinx）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（ ）
A． B． C． D．2
7．已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论错误的是（ ）
A．{an+Sn}是等差数列 B．{an•Sn}是等比数列
C．{an2}是等差数列 D．{}是等比数列
8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]
C．[1，2）∪[4，+∞） D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）
9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）
A． B．3π C． D．
11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f（）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．φ＝
B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1
C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]
D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增
二、填空题（每小题5分）.
13．函数f（x）＝（x﹣1）ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为 ．
14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为 ．
15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA＝4bsinC，cosC＝，点D在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝ ，CD＝ ．
16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝an+an+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
（Ⅰ）证明：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn．
条件①：a1＝，4Sn+2an+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，an+2＝an+2×3n（n∈N*）．
18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
（Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．
（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．
（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；
（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．
20．已知函数f（x）＝cosx+xsinx．
（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；
（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．
（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5}
解：全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，
所以∁UB＝{2，4}，
所以A∪（∁UB）＝{2，3，4}．
故选：A．
2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
解：∵复数z满足z•（1﹣i）＝2i，∴z＝＝＝＝﹣1+i，
故选：B．
3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（ ）
A． B．2 C． D．4
解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，
∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，
∴＝＝＝2．
故选：B．
4．函数y＝cos（sinx）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（sinx）＝f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
∵﹣1≤sinx≤1，
∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，
∴y＝cos（sinx）在x＝2kπ时有最大值，且y＞0，
故选：B．
5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为（2，0），半径为1．
要使直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点，
则圆心到直线y＝kx的距离 ≤1，解得：﹣≤k≤．
在区间[﹣1，1]中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点”
发生的概率为：＝．
故选：C．
6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（ ）
A． B． C． D．2
解：，为单位向量，且满足|﹣|＝，
可得＝2，
解得＝0，
所以|2+|＝＝．
故选：C．
7．已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论错误的是（ ）
A．{an+Sn}是等差数列 B．{an•Sn}是等比数列
C．{an2}是等差数列 D．{}是等比数列
解：由{Sn}是等差数列，
可得：2（a1+a2）＝a1+a1+a2+a3，
∴a2＝a3，
∵{an}是各项均为正数的等比数列，
∴a2＝a2q，可得q＝1．
∴an＝a1＞0，
∴an+Sn＝（n+1）a1，∴数列{an+Sn}是等差数列，因此A正确．
＝，∴{an2}是常数列，为等差数列，因此C正确．
＝a1＞0，∴{}是等比数列，因此D正确．
anSn＝n，∴{an•Sn}不是等比数列，因此B不正确．
故选：B．
8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]
C．[1，2）∪[4，+∞） D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，1），由图可知，B（1，0），
z＝＝2+，其几何意义为可行域内的动点与定点（2，﹣1）连线的斜率加2．
由图可知，，，
∴z＝的取值范围是（﹣∞，1]∪[4，+∞）．
故选：D．
9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
解：∵a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，
∴＝，＝，＝，
设f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝，令f′（x）＝0，则x＝e，
当x∈（0，e），f（x）在 （0，e）上递增，当x∈（e，+∞），f（x）在（e，+∞）递减，
∵4＞π＞3＞e，∴f（4）＜f（π）＜f（3），即 ＜＜，
∴a＞c＞b．
故选：A．
10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）
A． B．3π C． D．
解：如图，正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为，
正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，其半径为2R＝，
R＝，cos∠OAB＝，
∵OA＝R＝，AE＝AB＝，
∴＝3，
则截面圆的半径r＝，
∴截面面积的最小值为S＝πr2＝3π．
故选：B．
11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（ ）
A． B． C． D．
解：由焦点的坐标可得＝，所以p＝1，
所以抛物线的方程为：y2＝2x，
设直线AB的方程为：x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），设A在x轴上方，设m＞0，
联立整理可得：y2﹣2my﹣1＝0，
y1+y2＝2m①，y1y2＝﹣1②，
由题意＝＝2，
可得y1＝﹣2y2，代入①②可得：8m2＝1，解得：m＝，
将m的值代入①可得y1+y2＝，
x1+x2＝m（y1+y2）+1＝，
由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+p＝+1＝，
故选：A．
12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f（）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．φ＝
B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1
C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]
D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增
解：由于函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，
∴ω×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，①．
∵f（）＝0，
∴ω×+φ＝kπ，k∈Z，②．
将代入①②，无解，故A错，
将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx﹣+φ）的图象，
则g（x）的图象关于y轴对称，故g（x）为偶函数，故B错；
∵由题意，﹣（﹣）＝（）T，k1＝0，1，2，…，
∴ω＝1+2k1，则ω≥1，C选项错，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．试题中包含两空的，答对第一空的给3分，全部答对的给5分．
13．函数f（x）＝（x﹣1）ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为 y＝﹣1 ．
解：由题意可得f'（x）＝xex，则f'（0）＝0．
因为f（0）＝﹣1，所以所求切线方程为y+1＝0，即y＝﹣1．
故答案为：y＝﹣1．
14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为 90 ．
解：根据题意知，抽取的样本中初级、中级和高级职称的人数也组成一个公比为q的等比数列，
且a3＝10，S3＝130，
所以，
消去a1，解得q＝，或q＝﹣（不合题意，舍去），
当q＝时，a1＝90，
即被抽取的初级职工的人数为90．
故答案为：90．
15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA＝4bsinC，cosC＝，点D在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝ 4 ，CD＝ ．
解：由正弦定理及3csinA＝4bsinC得3ac＝4bc，
故a＝，
由余弦定理得cosC＝＝＝，
整理得b＝c，
因为cosC＝，
所以sinC＝，
因为△ABC的面积S＝＝＝2，
所以b＝3，c＝3，a＝4，
因为BD＝2DA，
所以，即，
整理得，
＝＝4+＝，
故CD＝．
故答案为：4，．
16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是 ．
解：设右焦点为F'，由题意可得直线l的方程为：y＝，设M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），
连接MF'，NF'，因为∠MFN＝，
所以四边形FMF'N为平行四边形，则∠FMF'＝，
而S△MFF'＝b2tan＝b2＝•cy0，（焦三角形面积公式S＝b2tan，θ为焦顶角），
所以可得y0＝，代入直线l的方程可得：x0＝，
将M的坐标代入椭圆的方程可得：+＝1，
整理可得：4a4﹣14a2c2+c4＝0，即e4﹣14e2+4＝0，
解得：e2＝7±3，由椭圆的离心率e∈（0，1），
所以e＝＝，
故答案为：．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝an+an+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
（Ⅰ）证明：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn．
条件①：a1＝，4Sn+2an+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，an+2＝an+2×3n（n∈N*）．
解：选条件①：a1＝，4Sn+2an+1＝3n+1（n∈N*）；
（Ⅰ）证明：当n＝1时，4S1+2a2＝32，
因为S1＝a1＝，所以a2＝，所以b1＝a1+a2＝3，
当n≥1时，4Sn+2an+1＝3n+1，①
4Sn+1+2an+2＝3n+2，②
②﹣①可得an+2+an+1＝3n+1，
即bn＝an+an+1＝3n（n∈N*），
则{bn}是首项、公比均为3的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn＝3n（n∈N*），
所以Tn＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
3Tn＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，
两式相减可得﹣2Tn＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1
＝﹣n•3n+1，
化简可得Tn＝[（2n﹣1）•3n+1]．
选条件②：a1＝a2＝，an+2＝an+2×3n（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：由an+2＝an+2×3n（n∈N*），
可得an+2+an+1＝an+an+1+2×3n，
因为bn＝an+an+1，所以bn+1＝bn+2×3n，
则bn+1﹣3n+1＝bn﹣3n，
所以bn﹣3n＝b1﹣3＝a1+a2﹣3＝0，所以bn＝3n（n∈N*），
则{bn}是首项、公比均为3的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn＝3n（n∈N*），
所以Tn＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
3Tn＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，
两式相减可得﹣2Tn＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1
＝﹣n•3n+1，
化简可得Tn＝[（2n﹣1）•3n+1]．
18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
（Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．
（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
解：（Ⅰ）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：
P1＝＝，P2＝，P3＝，
∵P1＞P2＞P3，
∴老年人更倾向于选择报团游．
（Ⅱ）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a，
中年人有2人，记为b，c，青年人有2人，记为d，e，
从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），
其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），
∴这2人中有老年人的概率为P＝＝．
（Ⅲ）根据表中的数据，得到：
报团游的满意率为P4＝＝，
自助游的满意率为P5＝＝，
∵P4＞P5，∴建议他选择报团游．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．
（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；
（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．
解：（Ⅰ）证明：连结BG，由题意可得BG与GD共线，且BG＝2GD，
∵E是BC的中点，BF＝3FC，∴F是CE的中点，
∴，∴GE∥DF，GE⊂平面PGE；DF⊄平面PGE；
∴DF∥平面PGE，
∵H是PC的中点，∴FH∥PE，PE⊂平面PGE，FH⊄平面PGE；
∴FH∥平面PGE，
∵DF∩FH＝F，DF⊂平面DEF，FH⊂平面DEF，
∴平面DFH∥平面PGE；
（Ⅱ）∵AB＝AC＝2，BC＝，∴AB2+AC2＝8＝BC2，∴AB⊥AC，
∵PB⊥AC，AB∩PB＝B，∴AC⊥平面PAB，
∵△PAB是正三角形，∴S△PAB＝＝，
∴VP﹣DEG＝VE﹣PDG＝＝＝＝＝.
20．已知函数f（x）＝cosx+xsinx．
（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；
（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．
解：（Ⅰ）因为f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣xsin（﹣x）＝cosx+xsinx＝f（x），x∈R，
所以f（x）是R上的偶函数，也是[﹣2π，2π]上的偶函数，
当x∈[0，2π]时，f′（x）＝xcosx，
令f′（x）≥0，则0≤x≤或≤x≤2π，令f′（x）＜0，则＜x＜，
所以f（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，
因为f（x）是偶函数，所以f（x）在[﹣2π，﹣]和[﹣，0]上单调递减，在（﹣，﹣）上单调递增．
综上所述，f（x）在[﹣2π，﹣]、[﹣，0]和（，）上单调递减，
在（﹣，﹣）、[0，]和[，2π]上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）2﹣1＝g（x），所以g（x）是R上的偶函数，
（1）当x∈[0，2π]时，g′（x）＝x（cosx﹣），
令g′（x）＞0，则0＜x＜或＜x＜2π，令g′（x）＜0，则＜x＜，
所以g（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，
因为g（）＞g（0）＝0，g（）＝×（﹣）﹣（）2﹣＜0，g（2π）＝﹣π2＜0，
所以g（x）在（0，）上有一个零点，所以g（x）在[0，2π]上有两个零点；
（2）当x∈（2π，+∞）时，g（x）＝cosx+xsinx﹣x2﹣1≤x﹣x2＜0，
所以g（x）在（2π，+∞）上没有零点．
由（1）（2）及g（x）是偶函数可得g（x）在R上有三个零点．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．
解：（Ⅰ）设△PF1F2内切圆的半径为r，
则，
∴r＝＝，
∴当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2内切圆的半径r最大，
显然当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，最大值为＝bc，
∴r的最大值为，即＝，
由，解得：，
∴椭圆C的标准方程为：．
（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
①当y0≠0时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为x＝m1y﹣1，x＝m2y+1，
由得：，
∴，
∵x0＝m1y0﹣1，∴，∴，
同理，由可得，
∴＝﹣﹣＝，
②当y0＝0时，直线PF1，PF2与x轴重合，易得：＝3+＝，
综上所述，+为定值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．
解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得，转换为普通方程为；
曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0，根据，转换为直角坐标方程为；
（Ⅱ）把直线转换为（t为参数），代入，
得到：，
所以，，
所以＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．
（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）当m＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，
∵|x+2|+|x﹣1|≥|（x+2）﹣（x﹣1）|＝3，
故当且仅当（x+2）（x﹣1）≤0，即当﹣2≤x≤1时，f（x）取最小值3；
（Ⅱ）由题意得存在x∈（0，1）使得x++|x﹣m|≤3，
（1）当m≥1时，x++|x﹣m|≤3等价于+m≤3，解得：1≤m≤2；
（2）当0＜m＜1时，令g（x）＝x++|x﹣m|，
0＜x＜m时，g（x）＝+m，m≤x＜1时，g（x）＝2x+﹣m，
故g（x）min＝+m，故+m≤3，故1≤m≤2，与0＜m＜1矛盾，此时m无解，
综上：实数m的取值范围是[1，2]．
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