高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第四节 离心现象及其应用导学案及答案

第三节 生活中的圆周运动 第四节 离心现象及其应用

学习目标：1.[科学思维]会分析汽车通过公路弯道和火车通过铁路弯道的受力情况。　2.[科学思维]会分析汽车通过拱形和凹形路面时的受力情况。　3.[科学态度与责任]理解离心现象，知道离心现象的应用和防止。

一、公路弯道

1．汽车在水平公路上转弯时，向心力由车轮与路面间的静摩擦力来提供。

2．汽车在内低外高的倾斜路面上转弯时，重力和支持力的合力恰好可以提供汽车转弯所需的向心力。

二、铁路弯道

1．火车车轮的特点：

火车车轮有突出的轮缘，它在铁轨上可以起到限定方向的作用。

2．火车在水平轨道上转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，车轮受外轨的横向力作用，使火车获得转弯时所需的向心力。

3．火车在外轨略高于内轨的弯道上转弯时，借助火车受到的支持力和重力的合力提供部分向心力，减轻轮缘对轨道的挤压。

三、拱形与凹形路面

四、离心现象及其应用

1．离心现象的概念

做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需要的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，这种现象称为离心现象。

2．离心现象的应用

利用离心现象工作的机械叫做离心机械。离心分离器、洗衣机脱水筒都是这样的机械。

3．离心运动的危害

(1)由于离心现象，车辆转弯时易出现交通事故，因此在弯道处，都要对车辆进行限速。

(2)高速旋转的砂轮或材料破裂，会因碎片飞出造成事故，所以砂轮的外侧都需要加防护罩。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)做离心运动的物体一定受到离心力的作用。 (×)

(2)离心运动的轨迹可能是直线也可能是曲线。 (√)

(3)汽车驶过拱形桥最高点，速度很大时，对桥的压力可能等于零。 (√)

(4)汽车过拱形桥或凹形桥时，向心加速度的方向都是向上的。 (×)

2．下列哪个现象利用了物体的离心运动(　　)

A．车转弯时要限制速度

B．转速很高的砂轮半径不能做得太大

C．在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨

D．离心水泵工作时

D　[车辆转弯时限速、修筑铁路时弯道处内轨低于外轨都是为了防止因为离心运动而发生侧翻事故，转速很高的砂轮半径不能做得太大也是为了防止因离心运动而将砂轮转坏。离心水泵工作是运用了水的离心运动规律，选项D正确。]

3．俗话说，养兵千日，用兵一时。近年来我国军队进行了多种形式的军事演习。如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是(　　)

A．A点，B点　　　　  B．B点，C点

C．B点，A点  D．D点，C点

C　[战车在B点时由FN－mg＝m知FN＝mg＋m，则FN>mg，故对路面的压力最大，在C和A点时由mg－FN＝m知FN＝mg－m，则FN<mg且RC>RA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C。]

1．铁路的弯道

甲　　　　　　　乙

(1)如果铁路弯道的内外轨一样高，外侧车轨的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，如图甲所示，但是火车的质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。

(2)如果在弯道处使外轨略高于内轨，如图乙所示，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是指向斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了部分向心力，减轻了轮缘与外轨的挤压。

2．火车转弯时的规定速度

(1)相关物理量：若火车转弯时的向心力完全由重力mg和支持力FN的合力提供，设内、外轨间的距离为L，两轨高度差为h，火车转弯半径为R，火车的质量为m。

(2)理论分析：根据几何关系知sin θ＝；由图示火车的受力情况可得，tan θ＝，当θ很小时，近似认为sin θ＝tan θ，即＝，所以F合＝mg。由向心力公式知，F合＝m，所以mg＝m，得v0＝。由于铁轨建成后，h、L、R各量是确定的，故火车转弯时恰对轨道无侧压力时的车速应是一个定值，即规定速度。

(3)速度关系：

①当火车转弯时的速度v＝v0时，轮缘对内、外轨均无侧向压力。

②当火车转弯速度v＞v0时，外轨对轮缘有向里的侧压力。

③当火车转弯速度v＜v0时，内轨对轮缘有向外的侧压力。

【例1】　铁路转弯处的圆弧半径是300 m，轨距是1.435 m，规定火车通过这里的速度是72 km/h，内外轨的高度差应该是多大，才能使铁轨不受轮缘的挤压？保持内外轨的这个高度差，如果火车的速度大于或小于72 km/h，会分别发生什么现象？说明理由。

思路点拨：(1)火车安全通过弯道的条件是：重力和支持力的合力提供向心力。

(2)向心力的方向指向水平轨迹的圆心。

[解析]　火车转弯所需的向心力在满足设计要求时，由火车所受的重力和轨道对火车的支持力的合力提供。如图所示，图中h为内外轨高度差，L为轨距。

F＝mgtan θ＝m，tan θ＝

由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，可以近似地认为

tan θ≈sin θ＝

代入上式得：＝

所以内外轨的高度差为h＝＝m≈0.195 m。

当火车行驶速度v＞72 km/h时，重力和支持力的合力提供向心力不足，此时外侧轨道对轮缘有向里的侧向压力；当火车行驶速度v＜72 km/h时，重力和支持力的合力提供向心力过大，此时内侧轨道对轮缘有向外的侧向压力。

[答案]　见解析

[注意事项]　火车转弯问题中容易出错的地方是圆心位置的确定，一些同学认为圆心在沿斜面向下方向的某个位置，从而将向心力求错。

1．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道外的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则(　　)

A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压

B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压

C．这时铁轨对火车的支持力等于

D．这时铁轨对火车的支持力大于

C　[由牛顿第二定律F合＝m＝mgtan θ，得v＝，此时火车受重力和铁轨的支持力作用，如图所示，FNcos θ＝mg，则FN＝，内、外轨道对火车均无侧压力。]

1．离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力。

2．离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力的大小关系决定。

【例2】　某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为100 m，一赛车与车手的总质量为100 kg，轮胎与地面间的最大静摩擦力为600 N。(g取10 m/s2)

(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧滑？

(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，赛车的速度为多大时，车手感觉不到自己有相对车的侧向的运动趋势？

思路点拨：(1)判断所需的向心力与最大静摩擦力的关系。

(2)重力与支持力的合力提供向心力。

[解析]　(1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。

赛车做圆周运动所需的向心力为F＝m＝400 N<600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑。

(2)由题意得车手不受座椅侧向的摩擦力，于是车手只受支持力和重力，由牛顿第二定律知mgtan θ＝m，解得v＝≈24 m/s。

[答案]　(1)不会发生侧滑　(2)24 m/s

离心运动问题的分析思路

1．对物体进行受力分析，确定提供给物体向心力的合力F合。

2．根据物体的运动，计算物体做圆周运动所需的向心力F＝mω2r＝m。

3．比较F合与F的关系，确定物体运动的情况。

2.如图所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)

A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用

B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力

C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去

D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去

B　[摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正常转弯时可看成匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C、D项错误。]

1．轻绳模型

如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧的小球做圆周运动。

(1)临界状态

小球在最高点时，绳子拉力(或压力)为零，小球只受重力。重力充当向心力，

由mg＝m，得v＝。

(2)三种情况

①v＝时，mg＝m，即重力恰好等于向心力，小球所受的拉力(或压力)为零。

②v＜时，mg＞m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。

③v＞时，mg＜m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)，重力和拉力(或压力)的合力充当向心力mg＋F＝m。

2．轻杆模型

如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内的小球做圆周运动。

(1)临界状态。

小球在最高点时，轻杆弹力或轨道压力为零，小球只受重力。重力充当向心力，由mg＝m，得v＝。

(2)三种情况。

①v＝时，mg＝m，即重力恰好等于向心力，轻杆(或圆管)与小球间无作用力。

②v＜时，mg＞m，即重力大于小球所需要的向心力，小球对轻杆(或圆管)有向下的压力，小球受到向上的支持力，mg－F＝m。

③v＞时，mg＜m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力mg＋F＝m。

【例3】　长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向。(g取10 m/s2)

(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；

(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。

思路点拨：注意两个问题：

(1)小球对杆的作用力和杆对小球的作用力的区别。

(2)杆对小球的弹力是支持力还是拉力。

[解析]　小球在最高点的受力如图所示：

(1)杆的转速为2.0 r/s时，

ω＝2πn＝4π rad/s。

由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，

故小球所受杆的作用力

F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N＝138 N，

即杆对小球提供了138 N的拉力。

由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。

(2)杆的转速为0.5 r/s时，

ω′＝2πn′＝π rad/s。

同理可得小球所受杆的作用力

F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N＝－10 N。

力F′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下。

[答案]　(1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上

(2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下

竖直平面内圆周运动的分析方法

(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。

(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。

(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。

3．用长L＝0.6 m的绳系着装有m＝0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。g取10 m/s2。

求：

(1)最高点水不流出的最小速度为多少？

(2)若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？

[解析]　(1)水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。当重力恰好提供向心力时，对应的是水不流出的最小速度v0。

以水为研究对象，mg＝m，

解得v0＝＝m/s≈2.45 m/s。

(2)因为v＝3 m/s＞v0，所以重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。

设桶底对水的压力为F，则由牛顿第二定律有

mg＋F＝m，

解得F＝m－mg＝0.5×N＝2.5 N，

根据牛顿第三定律F′＝－F，

所以水对桶底的压力F′＝2.5 N，方向竖直向上。

[答案]　(1)2.45 m/s　(2)2.5 N

1.如图所示，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)

A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动

B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动

C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动

D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心

A　[F突然消失时，小球将沿该时刻线速度方向，即沿轨迹Pa做离心运动，选项A正确；F突然变小时，小球将会沿轨迹Pb做离心运动，选项B、D均错误；F突然变大时，小球将沿轨迹Pc做近心运动，选项C错误。]

2．某高速公路弯道处设计为内侧低外侧高的圆弧弯道，使路面与水平面有一倾角α，弯道半径为R。当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯的速度v为(　　)

A．v＝

B．v＝

C．v＝

D．安全速度与汽车的质量有关

A　[当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtan α＝m，则汽车的转弯速度为v＝，选项A正确。]

3.如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(　　)

A．　　　 B．2

C．   D．

C　[小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确。]

4.一辆运输西瓜的小汽车(可视为质点)，以大小为v的速度经过一座半径为R的拱形桥。在桥的最高点，其中一个质量为m的西瓜A(位置如图所示)受到周围的西瓜对它的作用力的大小为(　　)

A．mg   B．

C．mg－ D．mg＋

C　[西瓜和汽车一起做圆周运动，竖直方向上的合力提供向心力，对西瓜A分析得：mg－F＝m，得到F＝mg－m，F是周围西瓜对A西瓜的合力，故西瓜受到周围的西瓜对它的作用力的大小为mg－m。]

5．如图所示，一辆厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半径R＝8 m，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的0.8。货车内顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数F＝4 N。重力加速度g取10 m/s2。

(1)该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，货车的最大速度vmax是多大？

(2)该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为F′＝5 N，此时细线与竖直方向的夹角θ是多大？货车的速度v′有多大？

[解析]　(1)货车的总质量为M，转弯时不发生侧滑，有

μMg≥

解得vmax≤＝8 m/s。

(2)货车沿平直路面匀速运动时F＝mg＝4 N，

m＝0.4 kg

此次转弯时小球受细线的拉力F′＝5 N，分析有cos θ＝＝0.8，则θ＝37°，

小球受到的合力为F合，tan θ＝

则有mgtan θ＝

解得v′＝＝2 m/s。

[答案]　(1)8 m/s　(2)37°　2 m/s