初中数学苏科版七年级上册第2章 有理数综合与测试单元测试精练

苏科版初中数学七年级上册第二单元《有理数》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列各组量中，具有相反意义的量是(    )

A. 向东行千米与向南行千米 B. 队伍前进与队伍后退
C. 身高 与身高  D. 增长与减少

2. 在，  ，，中正数有           (    )

A.  个 B.  个 C.  个 D.  个

3. 在，，，，，，，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，则的值为  (    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法中：
   是最小的整数；有理数不是正数就是负数；
   正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；非负数就是正数；
   不仅是有理数，而且是分数；是无限不循环小数，所以不是有理数；
   无限小数不都是有理数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
   其中错误的说法的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 如图，数轴上五个点分别表示连续的五个整数，且，则下列说法：
   点表示的数字是；；；。
   正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

6. 小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

7. 已知且则的值是

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 若，则的值(    )

A. 是正数 B. 是负数 C. 是非正数 D. 是非负数

9. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”如：，，和均为“和谐数”那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 对于一个自然数，如果能找到正整数，，使得，就称为“好数”，例如：，则是一个“好数”，在，，，这四个数中，“好数”的个数为．(    )

A.  B.  C.  D.

12. 某公园划船项目收费标准如下：
     

某班名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为小时，则租船的总费用最低为元．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 我国古代用筹码记数，表示数的筹码有纵、横两种方式，如图．

个位用纵式表示，十位用横式表示，百位用纵式表示，．

如：用算筹表示出来是“”若要表示负数，则可以在个位数上画一条斜线如：用算筹表示出来是“”，则“”表示的数是          ．

14. 现有一列整数，第一个数为，第二个数为为正整数以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到如第三个数是由与差的绝对值得到，即为，第四个数是由与差的绝对值得到，即为，依此类推要使这列数的前个数中恰好有个，则 ______ ．
15. 某同学把错写为，写错后算得答案为，若正确答案为，则          ．
16. 将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为，，，，我们称“”是第组第个数字，“”是第组第个数字，若是第组第个数字，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为单位：：
    ，，，，，，．
    问：请说明小虫最后的具体位置？
    小虫离开出发点最远是多少厘米？
    在爬行过程中，如果每爬行奖励三粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
18. 把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合就是一个好的集合．
    集合______好的集合，集合______好的集合两空均填“是”或“不是”；
    若一个好的集合中最大的一个元素为，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
    若一个好的集合所有元素之和为整数，且，则该集合共有几个元素？说明你的理由．
19. 阅读下面材料，回答问题：

已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．

当，两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图，．

当，两点都不在原点时，

如图，点，都在原点的右边，；

如图，点，都在原点的左边，；

如图，点，在原点的两边，．

综上，数轴上，两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是．

利用上述结论，回答以下三个问题：

若表示数和的两点之间的距离是，那么______；

若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_______；

若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围；

若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值．

20. 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，甲在点，乙在点，甲的速度是每秒个单位长度，乙的速度是每秒个单位长度．
    在数轴上的中点表示的数是______；
    若甲、乙两人同时同向向右而行，几秒后甲追上乙？
    若甲从点出发前往点，乙从点出发前往点，同时相向而行，则甲、乙两人运动的时间为多少时，两人相距个单位长度．
     

21. 我们都知道任何一个非零数都有倒数，现定义：是不为的有理数，我们把称为有理数的差倒数请根据上述定义，解决以下问题：

求有理数的差倒数

求有理数的差倒数

已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，求的值．

22. 如图，已知点在数轴上，从点出发，沿数轴向右移动个单位长度到达点，点所表示的有理数是的相反数，按要求完成下列各小题．
    请在数轴上标出点和点；
    求点所表示的有理数与点所表示的有理数的乘积；
    若将该数轴进行折叠，使得点和点重合，则点和数______所表示的点重合．

23. 已知数轴上的点，对应的有理数分别为，，且，点是数轴上的一个动点．

求出，两点之间的距离．

若点到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数．

数轴上一点距点个单位长度，其对应的数满足当点满足时，求点对应的数．

24. 已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且，是数轴上的一个动点．
    在数轴上标出、的位置，并求出、之间的距离．
    已知线段上有点且，当数轴上有点满足时，求点对应的数．
    动点从原点开始第一次向左移动个单位长度，第二次向右移动个单位长度，第三次向左移动个单位长度，第四次向右移动个单位长度，点能移动到与或重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合？
     
25. 小张上周末买进股票股，每股元，下表为本周每日股票的涨跌情况：

到本周三，小张所持股票每股多少元？
本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？
已知小张买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税．如果小张在本周末卖出全部股票，他的收益如何？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是正负数有关知识，利用正负数的意义对各个选项逐一判定即可解答．

【解答】

解：项错，没有规定哪个方向为正，

项错，没有规定哪个方向为正，

项错误，没有比较的标准，

D正确．

故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正数和负数，先化简再判断正数和负数，注意负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．根据相反数、负数的立方根是负数，可化简各数，根据正数大于零，可得答案．
【解答】
解：，，，，
故是正数，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，
所以．
故选A．
除外都是有理数，所以；自然数有和，所以；分数有，，，所以；代入计算就可以了．
本题考查有理数、自然数和分数的概念，掌握数学概念并熟练应用它们是学好数学的关键，也是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数．
有理数的分类：有理数，依此即可作出判断．
【解答】
解：、没有最小的整数，故错误；
、有理数包括正数、和负数，故错误；
、正整数、负整数、、正分数、负分数统称为有理数，故错误；
、非负数就是正数和，故错误；
、是无理数，故错误；
、是无限循环小数，所以是有理数，故错误；
、无限小数不都是有理数是正确的；
、正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的；
故其中错误的说法的个数为个．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：表示连续的五个整数，且，
，
于是正确，而不正确，
故选：。
由表示连续的五个整数，且，由他们在数轴上的位置可知，，然后进行判断即可。
考查数轴表示数的意义，理解相反数、绝对值的意义和性质，是正确解答的前提。
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是．
由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论．
【解答】
解：设小圈上的数为，大圈上的数为，
，
横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，
两个圈的和是，横、竖的和也是，

则，得，
，得，
，，
当时，，则，
当时，，则，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查绝对值，有理数的乘法，熟悉有理数的运算法则是解题的关键绝对值的定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是有理数的加法符号法则：同号的两个数相加，取原来的符号；异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号．规律总结：互为相反数的绝对值相等
【解答】
解：，，
，．
又，
，；或，．
则．
故选C．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是有理数的乘法有关知识，根据有理数乘法法则，由，得出与异号，再根据有理数的除法运算法则，得出结果．

【解答】

解：，

与异号，

的值是负数．

故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了有理数的乘方，弄清题中“和谐数”的定义，找出其中规律是解题的关键所在．
根据“和谐数”的概念找出公式：其中为非负整数，然后再分析计算即可．
【解答】
解：

其中为非负整数，
由得，
，，，，，，即得所有不超过的“和谐数”，
它们的和为．
故选B．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．首先得出尾数变化规律，进而得出的结果的个位数字．
【解答】
解：因为，，，，，，，
所以个位数个数一循环，
所以，
也就是个位数字按，，，循环了次．
因为，
所以的结果的个位数字是：．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了有理数的混合运算解答此题的关键是要明确：如果是合数，则是“好数”根据题意，由，可得，所以，因此如果是合数，则是“好数”，据此判断即可．
【解答】
解：由题可知，
，
是好数；
，
是好数；
，是一个质数，
不是好数；
，
是好数．
综上可得，在，，，这四个数中，“好数”有个：、、．
故选C．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分四类情况，分别计算即可得出结论．
【解答】
解：共有人，
当租两人船时，
艘，
每小时元，
租船费用为元，
当租四人船时，
余人，
要租艘四人船和艘两人船，
四人船每小时元，
租船费用为元，
当租六人船时，
艘，
每小时元，
租船费用为元，
当租八人船时，
余人，
要租艘八人船和艘两人船，
人船每小时元，
租船费用元
当租艘四人船，艘人船，艘人船，元，
租船费用为元，
而，
当租艘四人船，艘人船，艘人船费用最低是元，
故选B．  

13.【答案】 

【解析】解：由已知可得：“”表示的数是位负数，是．
故答案为：．
 

14.【答案】或 

【解析】解：为偶数：
这列数为：，，，，，，，，，，，，，，，，，
观察可得出，每个为一组，每组第个数均为，第个，第个数从开始依次，直至减到，然后开始，，循环，
前个数中恰好有个，
，
则前组不含，即前组的第个、第个数从开始减到，从第组开始后组均为，，，
，则；
为奇数时：
这列数为：，，，，，，，，，，，，，，，，，
观察可得出，每个为一组，每组第个数均为，第个，第个数从开始依次，直至减到，然后开始，，循环，
前个数中恰好有个，
，
则前组不含，即前组的第个、第个数从开始减到，从第组开始后组均为，，，
，则；
综上所述：的值为、．
故答案为：或．
分为偶数和奇数时进行讨论，找到规律即可求的值．
本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是利用分类讨论思想寻找规律．
 

15.【答案】 

【解析】根据题意，得，，
得，．
故答案为．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出、的值．
根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出是多少组第多少个数，从而可以得到、的值，然后即可得到的值．
【解答】
解：将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为，，，，
第组有个连续的偶数，
，
是第个偶数，
，，
是第组第个数，
，，
，
故答案为：．  

17.【答案】解：，
则小虫最后的具体位置为出发点；

根据记录，小虫离开出发点的距离分别为、、、、、、，
所以，小虫离开出发点的最远为．

爬行距离，
则小虫共可得到粒芝麻． 

【解析】把爬行记录相加，然后根据正负数的意义解答；
分别求出各记录时与出发点的距离，然后判断即可；
求出所有爬行记录的绝对值的和，继而可得答案．
此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
 

18.【答案】不是；是；
一个好的集合中最大的一个元素为，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是．
中的值越大，则的值越小，
一个好的集合中最大的一个元素为，则最小的元素为：；
该集合共有个元素．
理由：在好的集合中，如果一个元素为，则另一个元素为，
好的集合中的元素一定是偶数个．
好的集合中的每一对对应元素的和为：，，，，
又一个好的集合所有元素之和为整数，且，
这个好的集合中的元素个数为：个． 

【解析】

解；根据题意可得，，而集合中没有元素，故不是好的集合；
，，
集合是好的集合．
故答案为：不是，是．
见答案；
见答案．
【分析】
根据有理数是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合，从而可以可解答本题；
根据，如果的值越大，则的值越小，从而可以解答本题；
根据题意可知好的集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为，然后通过估算即可解答本题．
本题考查探究性问题，关键是明确什么是好的集合，集合中的各个数都是元素，明确好的集合中的元素个数都是偶数个，在此还要应用到估算的知识．  

19.【答案】解：或；

；

当时，原式，

；

当时，原式，

；

当时，原式，不符合题意，故舍去；

有理数的取值范围是：或；

，

的最小值为，的最小值为，

，，

代数式的最大值是，最小值是．

【解析】

【分析】
本题考查了数轴，非常直观，体现了数形结合的优点．
根据两点之间的距离的求法得，，求出即可；
表示数的点位于与之间，则表示是和之间的距离，即可解答．
分三种情况讨论即可；
判断出的最小值为，的最小值为，即可解答．
【解答】
解：，

所以或，

或，

故答案为或；
表示数的点位于与之间，

，

故答案为；
见答案；
见答案．

20.【答案】解：

设秒时，甲追上乙，由题意得，
，
解得，
所以秒后甲追上乙；

设秒时两人相距个单位长度．
当甲位于乙左侧时，可得：
，
解得；
当甲位于乙右侧时，可得，
，
解得．
答：甲、乙两人运动的时间为秒或秒时，两人相距个单位长度． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了列方程解应用题，涉及数轴上两点距离公式，相遇问题，追及问题，抓住等量关系是解题的关键所在，第小题是一个难点，突破方法是分情况解答．
根据两点间的距离公式即可求解；
设秒时，甲追上乙，、两点表示的数相等，列出方程进行解答；
设秒时两人相距个单位长度，分两种情况：当甲位于乙左侧时，当甲位于乙右侧时，分别列出方程解答即可．
【解答】
解：、两点的距离为；
，，
所以的中点表示的数是，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：有理数的差倒数为．

有理数的差倒数为．

因为，

所以，

同理得，，，

由此可知每个数一个循环，

，

所以．

【解析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图所示：

．
、中点所表示的数为，点与数所表示的点重合．
故答案为：．
将点向右移动个单位长度得到点的位置，依据相反数的定义得到点表示的数；
依据有理数的乘法法则计算即可；
找出的中点，然后可得到与点重合的数．
本题主要考查的是数轴、相反数、有理数的乘法，在数轴上确定出点、、的位置是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可得：，

解得
A、之间的距离是；
，
到点和点的距离相等，
到点和点的距离都是，
此时点所对应的数为；
设点表示数，点表示的数是，
，，
．
点对应的数为，
，
，
解得或
当在的右侧时，点对应的数是，
当在的左侧时，点对应的数是 ． 

【解析】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键．
先根据绝对值和偶次方非负数的性质求出、的值，根据数轴上两点间的距离公式求出、之间的距离即可；
根据到点和点的距离相等，可知点为的中点，即可求解；
设点表示数，点表示的数是，由判断出的符号，根据点距点个单位长度得出的值，再根据求出的值即可．
 

24.【答案】解：，
，，
，，
，
数轴上标出、得：


设点表示的数为，点表示的数为，
且在线段上，
，
，
，
当在点左侧时，此种情况不成立；
当在线段上时，
，
解得：；
当在点右侧时，
，
，
综上所述点对应的数为或．

第一次点表示，第二次点表示，依次，，，
则第次为，
点表示，则第次与重合；
点表示，点与点不重合． 

【解析】先根据非负数的性质求出，的值，在数轴上表示出、的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出、之间的距离即可；
设点对应的数为，当点满足时，分三种情况讨论，根据求出的值即可；
根据第一次点表示，第二次点表示，点表示的数依次为，，，，找出规律即可得出结论．
本题考查的是数轴，非负数的性质以及同一数轴上两点之间的距离公式的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．
 

25.【答案】解：元．
答：到本周三，小张所持股票每股元．

元．
答：本周内，股票最高价出现在星期二，是元．

元，
元，
元，


元．
所以小张亏了元． 

【解析】由图可以算出每天每股的价格；
比较五天涨跌可知，星期一和星期二都是涨，则该股票最高价出现在星期二，进而求出每股的价格；收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费，代入求值即可．
此题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用．所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．