2023年高考数学一轮复习课时规范练23余弦定理正弦定理及应用举例含解析北师大版文

课时规范练23　余弦定理、正弦定理及应用举例

基础巩固组

1.(2021四川成都二诊)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3b,sin A=,则sin B的值为(　　)

A B C D

答案:A

解析:由正弦定理可知,

即,所以sinB=

2.(2021江西宜春模拟)在△ABC中,BC=,AC=3,cos A=,则△ABC的面积为(　　)

A.4 B.2 C.4 D

答案:A

解析:因为BC=,AC=3,cosA=,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,所以AB2-2AB-8=0,所以AB=4.又因为cosA=,A∈(0,π),所以sinA=,

所以S△ABC=AB·AC·sinA=4×3=4

3.(2021四川眉山三诊)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若△ABC的面积S△ABC=,则C=(　　)

A B C D

答案:C

解析:由S△ABC=absinC,得absinC,

整理得c2=a2+b2+2absinC,

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,所以sinC=-cosC,即tanC=-1.

又C∈(0,π),所以C=

4.(2021河南郑州模拟)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=30°,a=,若这个三角形有两解,则b的取值范围是(　　)

A<b≤2 B<b<2

C.b<2 D.b≤2

答案:B

解析:当△ABC有两解时,bsinA<a<b,

即bsin30°<<b,解得<b<2

5.(2021云南红河三模)如图所示,网格中小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则△ABC外接圆的面积为(　　)

A B C D

答案:C

解析:由图可知a=3,b=,c=,由余弦定理,得cosC=,所以sinC=设R为△ABC外接圆的半径,根据正弦定理知2R=,所以R=,所以S=πR2=

6.(2021山西临汾适应性考试)说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、西北局革命旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得∠CAD=15°,从A处沿山坡往上前进66 m到达B处,在山坡B处测得∠CBD=30°,则宝塔CD的高为(　　)

A.44 m B.42 m C.48 m D.46 m

答案:A

解析:由题可知∠CAD=15°,∠CBD=30°,则∠ACB=15°,

所以BC=AB=66.

设坡角为θ,则由题可得tanθ=,则可求得cosθ=

在△BCD中,∠BDC=θ+90°,

由正弦定理,得,即,解得CD=44,

故宝塔CD的高为44m.

7.(2021江苏徐州考前模拟)在平面四边形ABCD中,AB=8,AC=14,cos ∠BAC=,内角B与D互补,若AC平分∠BAD,则CD的长为　　　　. 

答案:10

解析:在△ABC中,由余弦定理,得BC=

=10.

由cos∠BAC=可得sin∠BAC=

由正弦定理,得sinB=sin∠BAC=,

又内角B与D互补,所以sinD=sinB=

因为AC平分∠BAD,所以sin∠DAC=sin∠BAC=,

所以由正弦定理,得CD=sin∠DAC==10.

8.(2021浙江杭州二模)设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,若a=1,c=,则C=　　　　　,△ABC的面积S=　　　　　. 

答案:

解析:因为,

整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cosC=,因为C为三角形内角,所以C=

由a2+b2-c2=ab且a=1,c=得b2-b-6=0,解得b=3或b=-2(舍去),

所以△ABC的面积S=absinC=1×3

9.(2021山东潍坊二模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A).

(1)求角C;

(2)若c=2,D为BC中点,cos B=,求AD的长度.

解:(1)∵2b2=(b2+c2-a2)(1-tanA),∴2b2=2bccosA·(1-tanA).

∴b=c(cosA-sinA),

由正弦定理,得sinB=sinC(cosA-sinA),

∴sin(A+C)=sinCcosA-sinCsinA,

∴sinAcosC=-sinCsinA,

∵sinA≠0,∴tanC=-1,又C∈(0,π),解得C=

(2)∵cosB=,∴sinB=

∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,

由正弦定理,得a==2,

∴BD=,

在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcosB,解得AD=

10.(2021山东德州二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cos2+A+cos A=5.

(1)求A;

(2)若a=2,求b2+c2的取值范围.

解:(1)由题意得6sin2A+cosA=5,整理得6cos2A-cosA-1=0,解得cosA=或cosA=-

又A∈0,,所以cosA=,即A=

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+c2-bc,

即b2+c2=4+bc.

由正弦定理,得,

即b=sinB,c=sinC,而C=-B,

bc=sinBsinC=sinBsin-B=sinBcosB+sin2B=sin2B-cos2B+sin2B-+

又解得<B<,

所以<2B-,所以sin2B-∈,1,

即bc∈,4,所以b2+c2=4+bc∈,8.

综合提升组

11.(2021东北三省四市联考)圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省,是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂,为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准,被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度,在该教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为(15-15)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则小明估算该教堂的高度为(　　)

A.20 m B.30 m C.20 m D.30 m

答案:D

解析:由题意得∠CAM=45°,∠AMC=105°,所以∠ACM=30°.

在Rt△ABM中,AM=,

在△ACM中,由正弦定理,得,所以CM=,

在Rt△DCM中,CD=CM·sin60°==30

12.(2021河南郑州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD=　　　　　. 

答案:

解析:因为∠ABC的平分线交AC于点D,

所以∠ABD=∠CBD=45°,

所以S△ABC=acsin90°=c·BD·sin45°+a·BD·sin45°,

可得2ac=c·BD+a·BD,可得=1,所以a+4c=BD,

所以a+4c=BD+5+BD5+2=BD=9,

当且仅当a=2c=3时,等号成立,所以BD=

13.(2021四川成都石室中学高三月考)拿破仑定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个正三角形,则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置,合理组织人流、物流,使城市土地的利用率、建筑的使用效率达到最佳,因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图,设△ABC代表旧城区,新的城市发展中心O1,O2,O3分别为正三角形ACD,正三角形BCF,正三角形ABE的中心.现已知AB=2,∠ACB=30°,三角形O1O2O3的面积为,则三角形ABC的面积为　　　　　　. 

答案:

解析:如图所示,

连接CO1,CO2,由题意得CO1=AC,CO2=BC,∠O2CB=30°,∠O1CA=30°.

因为∠ACB=30°,所以∠O1CO2=90°,O1,解得O1O2=2.

由勾股定理,得C+C=O1,即AC2+BC2=O1,

即AC2+BC2=12.

由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos30°,解得AC·BC=,

所以三角形ABC的面积为AC·BCsin30°=

14.(2021福建三明模拟)在①bsin B+csin C=bsin C+asin A;②cos2C+sin Bsin C=sin2B+cos2A;③2b=2acos C+c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC外接圆的半径R为1,且　　　　.

(1)求角A;

(2)若AC=,AD是△ABC的内角平分线,求AD的长度.

解:(1)方案一:选择①,bsinB+csinC=bsinC+asinA,

由正弦定理,得b2+c2=bsinC+aa,

即b2+c2-a2=absinC,

由余弦定理,得2bccosA=absinC,所以sinCcosA=sinAsinC.

因为C∈(0,π),所以sinC>0,所以tanA=

又因为A∈(0,π),所以A=

方案二:选择②,cos2C+sinBsinC=sin2B+cos2A得1-sin2C+sinBsinC=sin2B+1-sin2A,

即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,

由正弦定理,得b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cosA=,

因为A∈(0,π),所以A=

方案三:选择③,由2b=2acosC+c,结合正弦定理,得2sinB=2sinAcosC+sinC.

因为A+B+C=π,所以sinB=sin(A+C),即2sin(A+C)=2sinAcosC+sinC,

所以2cosAsinC=sinC.

因为C∈(0,π),所以sinC>0,所以cosA=

因为A∈(0,π),所以A=

(2)在△ABC中,由正弦定理,得=2R=2,

所以sinB=,所以B=因为A=,由三角形内角和定理,B不可能为.

在△ABC中,C=π-

因为AD是△ABC的内角平分线,

所以∠CAD=,

所以∠ADC=π-,

所以AD=AC=

创新应用组

15.(2021广东深圳二模)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601—1665)提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当△ABC的三个内角均小于时,则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=的点P即为费马点.已知点P为△ABC的费马点,且AC⊥BC,若|PA|+|PB|=λ|PC|,则实数λ的最小值为　　　　. 

答案:2+2

解析:根据题意,点P为△ABC的费马点,△ABC的三个内角均小于,

所以∠APB=∠BPC=∠CPA=

设∠PCB=α,所以在△BCP和△ACP中,∠CBP=-α,∠ACP=-α,∠CAP=-∠ACP=α-,且均为锐角,

所以α∈.

所以由正弦定理,得,

所以|BP|=|PC|,|PA|=|PC|,

因为|PA|+|PB|=λ|PC|,

所以λ=-1=-1,

因为α∈,所以2α∈,所以2sin2α-(0,2-],

所以-1∈[2+2,+∞),

故实数λ的最小值为2+2.

16.(2021辽宁大连一模)如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).

(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;

注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.

(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.

解:(1)选用测角仪和米尺,如图所示,

①选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;

②在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为β,α,用米尺测量得CD=a,测得测角仪的高为h;

③经计算建筑物AB=+h或者写成+h.

(2)答案:合理即可.①测量工具精度问题;②两次测量时位置的间距差.