2023年高考数学一轮复习课时规范练28数列的概念含解析北师大版文

课时规范练28　数列的概念

基础巩固组

1.已知数列,…,,则0.96是该数列的(　　)

A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项

答案:C

解析:令=0.96,解得n=24.

2.(2021北京房山检测)设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=n2+1,则a5=(　　)

A.26 B.19 C.11 D.9

答案:D

解析:(方法1)依题意Sn=n2+1,

当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+1=n2-2n+2,an=Sn-Sn-1=2n-1,

当n=1时,a1=S1=2,不适合上式.

所以an=所以a5=2×5-1=9.

(方法2)a5=S5-S4=9.

3.若数列{an}满足a1=1,a2=3,an+1=(2n-λ)an(n=1,2,…),则a3=(　　)

A.5 B.9 C.10 D.15

答案:D

解析:令n=1,则3=2-λ,即λ=-1,由an+1=(2n+1)an,得a3=5a2=5×3=15.故选D.

4.(2021江西新余一中高三月考)在数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是(　　)

A.102 B C D.108

答案:D

解析:将an=-2n2+29n+3看作一个二次函数,其对称轴为直线n=,开口向下,

因为n∈N+,所以当n=7时,an取得最大值a7=108.

5.(2021北京人大附中高三月考)如表定义函数f(x),对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,…,则a2 021=(　　)

A.1 B.2 C.5 D.4

答案:D

解析:由题意,得a2=f(a1)=f(4)=1,

a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1,

则数列{an}为4,1,5,2,4,1,…,是周期为4的周期数列,

所以a2021=a4×505+1=a1=4.

6.已知函数f(x)=数列{an}(n∈N+)满足an=f(n),且{an}是递增数列,则a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.,+∞

C.(1,3) D.(3,+∞)

答案:D

解析:由题意,a1=f(1)=2a-1+4=2a+3,当n≥2时,an=f(n)=an,因为{an}是递增数列,所以解得a>3,

则a的取值范围是(3,+∞).

7.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n+3,则an=　　　　. 

答案:

解析:因为Sn=2n+3,那么当n=1时,a1=S1=21+3=5;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3)=2n-1.

由于a1=5不满足上式,

所以an=

8.在数列{an}中,an=n2+kn+4,且对于任意n∈N+,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是　　　　. 

答案:(-3,+∞)

解析:由an+1>an知该数列是递增数列,

∵通项公式an=n2+kn+4,∴(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,

即k>-1-2n,又n∈N+,∴-1-2n≤-3,∴k>-3.

9.若数列{an}满足a1=,an+1=则a2 021=　　　. 

答案:

解析:由已知可得,a2=2-1=,a3=2,

a4=2,a5=2-1==a1,…,∴{an}为周期数列且T=4,

∴a2021=a505×4+1=a1=

综合提升组

10.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an=(　　)

A B

C D

答案:B

解析:∵数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,∴S1+1×a1=1+1=2.∵{Sn+nan}为常数列,

∴Sn+nan=2.当n≥2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,∴(n+1)an=(n-1)an-1,从而……,∴an=(n≥2),当n=1时上式成立,∴an=故选B.

11.(2021云南大理模拟)数列{an}满足a1=2,an=,其前n项积为Tn,则T10=(　　)

A B.- C.6 D.-6

答案:D

解析:由an=,得an(an+1+1)=an+1-1,即an+1(an-1)=-(an+1),

所以an+1=

又a1=2,则a2==-3,a3==-,a4=,

a5==2=a1,…,所以{an}是以4为周期的周期数列,

所以a5a6a7a8=a1a2a3a4=1,a9a10=a1a2=2×(-3)=-6.

所以T10=a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10=-6.

12.(2021河南洛阳模拟)自然奇数列:1,3,5,…按如下方式排成三角数阵,第n行最后一个数为an,则的最小值为(　　)

A.4+1 B C.91 D

答案:D

解析:由题意知,a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,an-an-1=2n(n≥2),

累加得an-a1==n2+n-2(n≥2),则an=n2+n-1(n≥2).

又a1=1符合上式,所以an=n2+n-1.

所以=n++1,

函数y=x+(x>0)在(0,)上是递减的,在(,+∞)上是递增的,且44<<45.

当n=44时,=45+

当n=45时,=46+,

比较可得,当n=45时,取最小值为

13.已知数列{an}满足an≠0,2an(1-an+1)-2an+1(1-an)=an-an+1+anan+1,且a1=,则数列{an}的通项公式an=　　　　. 

答案:

解析:∵an≠0,2an(1-an+1)-2an+1(1-an)=an-an+1+anan+1,∴两边同除以anan+1,得+1,整理得=1,即是以=3为首项,1为公差的等差数列,

=3+(n-1)×1=n+2,即an=

创新应用组

14.(2021山西太原高三期末)意大利数学家斐波那契提出的“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…在现代生物及化学等领域有着广泛的应用,它可以表述为数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N+).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{bn},则{bn}的前2 021项和为(　　)

A.2 014 B.2 022 C.2 265 D.2 274

答案:D

解析:∵数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,

被3除后的余数构成一个新数列{bn},

∴数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,

观察可得数列{bn}是以8为周期的周期数列,

∵2021=252×8+5,且b1+b2+…+b8=9,

∴{bn}的前2021项和为252×9+1+1+2+0+2=2274.

15.(2021江苏苏州高三质检)已知数列{bn}满足bn=2λ-n-1-n2,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是(　　)

A.-1, B.- C.(-1,1) D.-,1

答案:A

解析:∵数列{bn}是递减数列,∴bn+1<bn在n∈N+恒成立,

即2λ-n-(n+1)2<2λ·-n-1-n2恒成立,即6λ-n<2n+1.

当n为奇数时,则6λ>-(2n+1)·2n恒成立,

∵函数y=-(2n+1)·2n是递减的,

∴当n=1时,-(2n+1)·2n取得最大值为-6,

∴6λ>-6,解得λ>-1;

当n为偶数时,则6λ<(2n+1)·2n恒成立,∵函数y=(2n+1)·2n是递增的,

∴当n=2时,(2n+1)·2n取得最小值为20,∴6λ<20,解得λ<

综上,-1<λ<