2023年高考数学一轮复习课时规范练35综合法分析法反证法含解析北师大版文

课时规范练35　综合法、分析法、反证法

1.已知a>5,求证:.

证明:要证,

只需证,

只需证()2<()2,

只需证2a-5+2<2a-5+2,

只需证,

只需证a2-5a<a2-5a+6,

只需证0<6,显然成立,

所以成立.

2.用合适的方法证明:

(1)已知a,b都是正数,求证:a5+b5≥a2b3+a3b2.

(2)已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.

证明:(1)综合法:

(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),

因为a,b都是正数,所以上式非负,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)≥0,所以a5+b5≥a2b3+a3b2.

(2)反证法:

假设a不是偶数,即a是奇数,

不妨设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1.

因为4(n2+n)是偶数,所以4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾,

由上述矛盾可知,a一定是偶数.

3.已知α∈(0,π),试用分析法和综合法分别推证下列命题:2sin 2α≤.

证明:(方法1　分析法)

要证2sin2α≤成立,只需证4sinαcosα≤,

∵α∈(0,π),∴sinα>0,∴只需证4cosα≤.

∵1-cosα>0,∴只需证4cosα(1-cosα)≤1,

即4cos2α-4cosα+1≥0,只需证(2cosα-1)2≥0,显然成立.

命题得证.

(方法2　综合法)

-2sin2α=sinα-4cosα=,

∵α∈(0,π),∴-1<cosα<1,0<sinα<1,

∴≥0,即-2sin2α≥0,

∴2sin2α≤.

4.(2021上海松江实验高级中学月考)(1)证明:|x-3|-|x-5|≥-2,对所有实数x均成立,并求等号成立时x的取值范围.

(2)求证:是无理数.

证明:(1)对于不等式|x-3|-|x-5|≥-2,

当x≤3时,左边=3-x+(x-5)=-2,不等式成立.

当3<x<5时,左边=x-3+(x-5)=2x-8>-2,不等式成立.

当x≥5时,左边=x-3-(x-5)=2>-2.

所以|x-3|-|x-5|≥-2,对所有实数x均成立,等号成立时x∈(-∞,3].

(2)假设是有理数,则,其中m,n是互质的整数,

则m=n,两边平方得m2=6n,所以m为偶数,

设m=2k,k∈Z,则4k2=6n,2k2=3n,所以n为偶数,与“m,n是互质的整数”矛盾,

所以假设不成立.所以是无理数.

5.(2021青海海东模拟)(1)用分析法证明:若x>1,则3x2+>3x+>3.

(2)用反证法证明:若a<e2,则函数f(x)=ax2-4ex(x>0)无零点.

证明:(1)因为x>1,所以要证3x2+>3x+,

只需证3x4+1>3x3+x,即证3x3(x-1)>x-1,所以只需证3x3>1.

因为x>1,所以3x3>3>1,故3x2+>3x+得证.

令t=>1,则3x+>3等价于3t2+>3t+,

又因为已证明3x2+>3x+,所以3t2+>3t+.

故3x2+>3x+>3.

(2)假设函数f(x)=ax2-4ex(x>0)有零点,

则方程f(x)=0在(0,+∞)上有解,即a=在(0,+∞)上有解.

设g(x)=(x>0),g'(x)=(x>0),

当0<x<2时,g'(x)<0;当x>2时,g'(x)>0.

所以g(x)min=g(2)=e2,又因为a<e2,所以a=在(0,+∞)上无解,

显然矛盾,故假设不成立,即原命题得证.

6.(2021安徽黄山模拟)列三角形数表

假设第n行的第二个数为an(n≥2,n∈N+).

(1)归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式;

(2)求证:数列{an}(n≥2,n∈N+)中任意的连续三项不可能构成等差数列.

(1)解:由三角形数表可知a2=2,an+1=an+n(n≥2,n∈N+),

所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+…+2+2=+2=(n≥3).

又a2=2也满足上式,∴an=(n≥2,n∈N+).

(2)证明:(反证法)假设{an}中存在连续三项构成等差数列,可设an-1,an,an+1(n≥3,n∈N+)成等差数列,则2an=an-1+an+1,即2×=n2-n+3,得0=1,显然矛盾,即假设不成立.

故数列{an}(n≥2,n∈N+)中任意的连续三项不可能构成等差数列.