2023年高考数学一轮复习课时规范练43圆的方程含解析北师大版文

课时规范练43　圆的方程

基础巩固组

1.(2021北京海淀二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是(　　)

A.3 B.2 C.-1 D.-3

答案:C

解析:方程化为(x+2)2+(y-3)2=1,圆心(-2,3),半径r=1,则x的最大值是-2+1=-1.故选C.

2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　)

A.- B.- C D.2

答案:A

解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为=1,解得a=-故选A.

3.(2021江苏盐城滨海中学一模)已知a,b都是实数,那么“a>2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案:A

解析:方程x2+y2-2x-a=0可化为(x-1)2+y2=1+a,1+a>0,即a>-1,由a>2能推出a>-1,反之不成立,故“a>2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的充分不必要条件.故选A.

4.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为(　　)

A B.1 C.2 D.4

答案:C

解析:由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.当过点P(1,2)的弦与连接P与圆心的直线垂直时,弦最短,则最短弦长为2=2.

5.(2020河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C:(x-1)2+(y-2)2=4上一点,A(0,-6),B(4,0),则||的最大值为(　　)

A+2 B+4

C.2+4 D.2+2

答案:C

解析:取AB的中点D(2,-3),则=2,||=|2|,||的最大值为圆心C(1,2)与D(2,-3)的距离d再加半径r,又因为d=,所以d+r=+2.所以|2|的最大值为2+4.即||的最大值为2+4.故选C.

6.(2020全国Ⅲ,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为(　　)

A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线

答案:A

解析:以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则=(x+a,y),=(x-a,y),由=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.

7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(　　)

A.7 B.6 C.5 D.4

答案:B

解析:由(x-3)2+(y-4)2=1,知圆上点P(x0,y0)可化为

∵∠APB=90°,即=0,

∴(x0+m)(x0-m)+=0,

∴m2==26+6cosθ+8sinθ=26+10sin(θ+φ)其中tanφ=,

∴4≤m≤6,即m的最大值为6.故选B.

8.如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在一点到原点的距离为3,则实数a的取值范围为(　　)

A.[,2] B.[,2] C.[1,] D.[1,2]

答案:B

解析:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0),圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为a,如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在一点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d∈[2,4],即2a≤4a≤2,故选B.

9.(2021广东珠海一模)若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ=0表示圆,则k的取值范围为　　　　　　. 

答案:(-∞,1)∪(4,+∞)

解析:根据题意,若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ=0表示圆,则λ=0,方程为x2+y2+2kx+4y+5k=0,即(x+k)2+(y+2)2=k2-5k+4,必有k2-5k+4>0,解得k<1或k>4,即k的取值范围为(-∞,1)∪(4,+∞).

10.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　　　　　　. 

答案:x2+y2-2x=0

解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),

则

解得

所以圆的方程为x2+y2-2x=0.

11.设点P是函数y=-图像上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为　　　　　. 

答案:-2

解析:函数y=-的图像表示圆(x-1)2+y2=4在x轴上及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则得y=-3,即x-2y-6=0,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,作出图像如图所示,

因此|PQ|的最小值是-2.

综合提升组

12.(2021吉林省吉林市三模)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(　　)

A.(x-2)2+(y-1)2=1 

B.(x-2)2+(y+1)2=1

C.(x+2)2+(y-1)2=1 

D.(x-3)2+(y-1)2=1

答案:A

解析:设圆心坐标为(a,b)(a>0,b>0),由圆与直线4x-3y=0相切,得=r=1,即|4a-3b|=5,①

又圆与x轴相切,得|b|=r=1,解得b=1或b=-1(舍去),

把b=1代入①得,4a-3=5或4a-3=-5,解得a=2或a=-(舍去),

∴圆心坐标为(2,1),则圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.

故选A.

13.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

答案:A

解析:设圆心C(x,y),则=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1≥|OM|==5,所以|OC|≥5-1=4,当且仅当点C为线段OM与圆M的交点时,取得等号,故选A.

14.(2021陕西安康三模)关于圆M:(x-3k)2+(y-4k-2)2=1+k2有如下四个命题:

①若圆M与y轴相切,则k=±;

②圆M的圆心到原点的距离的最小值为;

③若直线y=x平分圆M的周长,则k=2;

④圆M与圆(x-3k)2+y2=4k2可能外切.

其中所有真命题的序号是　　　　. 

答案:①②④

解析:对于①,由圆M与y轴相切,得|3k|=,解得k=±,即①正确;

对于②,|OM|=,当k=-时取等号,即②正确;

对于③,因为直线y=x平分圆M的周长,所以直线过圆心,即3k=4k+2,即k=-2,即③错;

对于④,由圆M与圆(x-3k)2+y2=4k2外切,得|4k+2|=|2k|+,解得k=,即④正确.

故答案为①②④.

创新应用组

15.(2021江苏四市调研一)过抛物线y2=2x上一点P作圆C:x2+(y-6)2=1的切线,切点为A,B,则当四边形PACB的面积最小时,点P的坐标是(　　)

A.(1,) B. C.(2,2) D.

答案:C

解析:设P,a,由圆的方程可得圆心C(0,6),半径r=1,

|PC|=,

设y=+a2-12a+36,y'=a3+2a-12=(a-2)(a2+2a+6),

当a>2时,y'>0,函数y=+a2-12a+36单调递增,

当a<2时,y'<0,函数y=+a2-12a+36单调递减,

所以当a=2时ymin=+22-12×2+36=20,S四边形PACB=2S△PAC=2|PA|·|AC|,要使四边形PACB的面积最小,而|AC|为定值r=1,|PA|=,所以|PC|最小时即可,此时a=2,即P(2,2),故选C.

16.(2021安徽淮北一模)过圆x2+y2=16上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆x2+y2=4内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为(　　)

A.π B C.2π D.3π

答案:A

解析:如图,过圆x2+y2=16上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,

则|OP|=4,|OA|=|OB|=2,|PB|=|PA|==2,则sin∠OPA=,且∠OPA为锐角,所以∠OPA=30°,同理可得∠OPB=30°,所以∠APB=60°,则△APB为等边三角形,连接OP交AB于点M,则M为AB的中点,所以OM⊥AB,且∠OAB=90°-∠PAB=30°,

所以|OM|=|OA|=1,若圆x2+y2=4内的点不在任何切点弦上,则该点到圆x2+y2=4的圆心的距离应小于|OM|,即圆x2+y2=4内的这些点构成了以原点为圆心,半径为1的圆的内部,所以圆x2+y2=4内不在任何切点弦上的点形成的区域面积为π×12=π.故选A.

17.(2020安徽安庆三环高中月考)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是　　　　　. 

答案:

解析:根据题意,设P的坐标为(m,n),圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为N,则N(3,4),PQ为圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线,

则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,又由|PQ|=|PO|,

可得|PN|2=|PO|2+1,

即(m-3)2+(n-4)2=m2+n2+1,整理,得6m+8n=24,即点P在直线6x+8y=24上,则|PQ|的最小值即为点O到直线6x+8y=24的距离,

且d=,

即|PQ|的最小值是