2023年高考数学一轮复习课时规范练53随机事件的概率含解析北师大版文

课时规范练53　随机事件的概率

基础巩固组

1.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率为的事件是(　　)

A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡

C.都不是移动卡  D.至少有一张移动卡

答案:A

2.(2021安徽芜湖期末)抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A为“向上的点数为1或4”,事件B为“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是(　　)

A.A与B互斥 B.A与B对立

C.P(A+B)= D.P(A+B)=

答案:C

解析:事件A与B不互斥,当向上点数为1时,两者同时发生,故事件A与B也不对立.

事件A+B表示向上点数为1,3,4,5之一,所以P(A+B)=故选C.

3.抽查10件产品,设事件A为“至少有2件次品”,则事件A的对立事件为(　　)

A.至多有2件次品 B.至多有1件次品

C.至多有2件正品 D.至少有2件正品

答案:B

4.如果事件A与B是互斥事件,且事件A∪B发生的概率是0.64,事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍,则事件A发生的概率为(　　)

A.0.64 B.0.36 C.0.16 D.0.84

答案:C

解析:设P(A)=x,则P(B)=3x,因为事件A与B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=x+3x=0.64,解得x=0.16.故选C.

5.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率为则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为(　　)

A B C D.1

答案:C

解析:设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=,即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为故选C.

6.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案:

解析:由题意可知解得<a

7.已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=,某人猜测事件发生,则此人猜测正确的概率为　　　　. 

答案:

解析:因为事件与事件A∪B是对立事件,所以P()=1-P(A∪B)=1-

8.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率是0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率是0.3,设各车主购买保险相互独立.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率;

(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

解:记A表示事件“该车主购买甲种保险”,B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”,C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”,D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”.

(1)由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B,

所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.

(2)因为D与C是对立事件,

所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.

9.从A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下.

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

解:(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计概率,可得所求概率为0.44.

(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率分布如下表:

(3)记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.用频率估计概率及由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.

综合提升组

10.(2021浙江高三专题练习)下列命题中是真命题的是(　　)

A.事件A发生的概率P(A)等于事件A发生的频率fn(A)

B.一枚质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是,说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点

C.掷两枚质地均匀的硬币,事件A为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,事件B为“两枚都是正面朝上”,则P(A)=2P(B)

D.对于两个事件A,B,若P(A∪B)=P(A)+P(B),则事件A与事件B互斥

答案:C

解析:频率与试验次数有关,总在概率附近摆动,故选项A错误;

概率是指这件事发生的可能性,故选项B错误;

P(A)=,P(B)=,

所以P(A)=2P(B),故选项C正确;

在几何概型中选项D中的结论不成立.故选C.

11.在一次班级聚会上,某班到会的女同学比男同学多6人,从这些同学中随机挑选一人表演节目.若选到女同学的概率为,则这班参加聚会的同学的人数为　　　　. 

答案:18

解析:设该班到会的女同学有x人,则该班到会的共有(2x-6)人,所以,解得x=12,故该班参加聚会的同学有18人.

12.(2020天津,13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　. 

答案:

解析:甲、乙两球都落入盒子的概率为,设事件A=“甲、乙两球至少一个落入盒子”,则对立事件为=“甲、乙两球都未落入盒子”,P()=,则P(A)=1-P()=.

13.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命(单位:小时),现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图:

甲品牌

乙品牌

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;

(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.

解:(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为

(2)根据频数分布图可得寿命不低于200小时的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200小时的产品是甲品牌的频率是据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为

创新应用组

14.把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,向量m=(a,b),n=(1,2),则向量m与向量n不共线的概率是(　　)

A B C D

答案:B

解析:若m与n共线,则2a-b=0,而(a,b)的可能情况有6×6=36(种).符合2a=b的有(1,2),(2,4),(3,6),共3种.故共线的概率是,从而不共线的概率是1-

15.下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).

(1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只写出结论,不要求证明)

(2)求此人到达该市当日空气质量优良的概率;

(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.

解:(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

(2)设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=∅(i≠j,j=1,2,…,13).设B为事件“此人到达当日空气优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=

(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A,即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150,且小于300”,由题意可知P(A)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=