2023年高考数学一轮复习课时规范练57极坐标方程与参数方程的应用含解析北师大版文

课时规范练57　极坐标方程与参数方程的应用

基础巩固组

1.(2021山西晋中二模)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(sin θ+cosθ)=1.

(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

(2)点P的极坐标为1,,设直线l与圆C的交点为A,B两点,且AB的中点为Q,求线段PQ的长.

解:(1)由(α为参数),消去参数α,得圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4,由ρ(sinθ+cosθ)=1,结合x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得直线l的直角坐标方程为x+y-1=0.

(2)由点P的极坐标为1,,得点P的直角坐标为(0,1),可知点P在直线l上.设直线l的参数方程为(t为参数),代入圆的普通方程得t2+3t+1=0,又PQ=,故|PQ|==.

2.(2021河南六市联考一)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,φ∈[0,π)),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-.

(1)求圆C的直角坐标方程;

(2)设P(1,1),若直线l与圆C相交于A,B两点,求||的最大值.

解:(1)由圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-,

得圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-)2=4.

(2)将直线l的参数方程(t为参数),代入(x-1)2+(y-)2=4,

得t2-2(-1)sinφ·t-2=0.

设点A,B所对应的参数为t1和t2,

则t1+t2=2(-1)sinφ,t1·t2=-2,

(方法1)||=|t1-t2|=,

当sinφ=1时,||max=4.

(方法2)由t的几何意义知,||=|AB|,所以||max=2r=4.

3.在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数方程为(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l1的极坐标方程为θ=α-≤α≤,射线l2的极坐标方程为θ=α+.

(1)写出曲线C的极坐标方程,并指出是何种曲线;

(2)若射线l1与曲线C交于O,A两点,射线l2与曲线C交于O,B两点,求△ABO面积的取值范围.

解:(1)将(φ为参数),化为普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,曲线C是以(1,1)为圆心,为半径的圆.曲线C的极坐标方程为(ρcosθ-1)2+(ρsinθ-1)2=2,

整理得ρ=2cosθ+2sinθ.

(2)令ρ1=|OA|=2cosα+2sinα,

ρ2=|OB|=2cosα++2sinα+=-2sinα+2cosα,

S△OAB=ρ1ρ2=2(cos2α-sin2α)=2cos2α.

∵-≤α≤,∴-≤2α≤,

∴≤cos2α≤1,∴1≤2cos2α≤2.

∴△ABO面积的取值范围为[1,2].

4.(2021东北三省四市教研体模拟)已知某曲线C的参数方程为(φ为参数).

(1)若P(x,y)是曲线C上的任意一点,求x+2y的最大值;

(2)已知过C的右焦点F,且倾斜角为α0≤α<的直线l与C交于D,E两点,设线段DE的中点为M,当=|FM|时,求直线l的普通方程.

解:(1)由x=2cosφ,y=sinφ,得x+2y=2cosφ+2sinφ=2sinφ+,

当φ+=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+时,x+2y的最大值为2.

(2)消去曲线C的参数方程中的φ,得+y2=1,右焦点为F(,0),

由题意,设直线l的参数方程为(t为参数),

将直线l的参数方程代入+y2=1,得(1+3sin2α)t2+2tcosα-1=0,

设点D和点E对应的参数为t1和t2,所以t1+t2=,t1t2=-<0,

则|t1-t2|=,由参数的几何意义得=4,

所以=,0≤α<,|FM|===,

所以cosα=,所以直线l的斜率为,直线l的普通方程为x-2y-=0.

综合提升组

5.(2021江西鹰潭一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=.

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)若α=,设直线l与曲线C交于A,B两点,求△AOB的面积.

解:(1)直线l的参数方程为(t为参数).由ρ=,得ρ2sin2θ=8ρcosθ,即曲线C的直角坐标方程为y2=8x.

(2)当α=时,直线l的参数方程为(t为参数),代入y2=8x,得t2-8t-16=0,

所以t1+t2=8,t1t2=-16.

所以|AB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=8.

由直线l过点(1,0),所以O到AB的距离为d=1×sin.

则S△AOB=×8=2.

6.(2021河南焦作一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=,直线l与曲线C的交点为A,B.

(1)若α=,求|AB|;

(2)设点P(1,1),求的最小值.

解:由曲线C的极坐标方程得3ρ2+ρ2sin2θ=12,

化为直角坐标方程为3(x2+y2)+y2=12,即3x2+4y2=12.

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,得(3cos2α+4sin2α)t2+(6cosα+8sinα)t-5=0.

(1)当α=时,上述方程为4t2+8t-5=0,解得t1=,t2=-,所以|AB|=|t1-t2|=3.

(2)由根与系数的关系可知

t1+t2=-,t1t2=-<0,

所以,

其中tanφ=,当α+φ=时取等号,所以的最小值为.

7.(2021江西九校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin-θ=4.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

(2)过原点O引一条射线分别交曲线C和直线l于A,B两点,求的最大值.

解:(1)由曲线C的参数方程(α为参数),

得曲线C的普通方程为=1.

由ρsin-θ=4,即ρcosθ+ρsinθ=8.

将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,

得直线l的直角坐标方程为x+y-8=0.

(2)在极坐标系内,可设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ),

则=1,ρ2cosθ+ρ2sinθ=8,

其中tanφ=.

当且仅当sin(2θ-φ)=1时,等号成立,所以的最大值为.

创新应用组

8.(2021河南新乡一模)数学中有许多寓意美好的曲线,在极坐标系中,曲线C:ρ=sin 3θ(ρ∈R,θ∈[0,2π))被称为“三叶玫瑰线”(如图所示).

(1)求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标;

(2)射线l1,l2的极坐标方程分别为θ=θ0,θ=θ0+(θ0∈[0,2π),ρ>0),l1,l2分别交曲线C于M,N两点,求的最小值.

解:(1)将单位圆与“三叶玫瑰线”的极坐标方程联立得解得sin3θ=1,

所以3θ=+2kπ(k∈Z),所以θ=(k∈Z).

因为θ∈[0,2π),取k=0,1,2,得θ=.

从而得到以极点为圆心的单位圆与“三叶玫瑰线”交点的极坐标为A1,,B1,,C1,.

(2)将θ=θ0,θ=θ0+代入C:ρ=sin3θ(ρ∈R,θ∈[0,2π)中,点M,N所对应的极径分别为ρ1,ρ2,

所以ρ1=sin3θ0,ρ2=-cos3θ0,

即|OM|2=sin23θ0,|ON|2=cos23θ0,=(sin23θ0+cos23θ0)=2+≥4,

当且仅当tan23θ0=1时,取得最小值4.

9.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ,曲线C1和C2在第一象限交于点A.

(1)求点A的直角坐标;

(2)直线θ=αα∈0,,ρ∈R与曲线C1,C2在第一象限分别交于点B,C,若△ABC的面积为,求α的值.

解:(1)已知曲线C1的参数方程为(φ为参数),消去参数φ得C1:x2+(y-1)2=1.将曲线C1化为极坐标方程为C1:ρ=2sinθ.联立曲线C1和C2极坐标方程得交点A的极坐标为,化为直角坐标为.

(2)连接OA(图略),由(1)点A的极坐标可得,|OA|=,∠AOx=.

将直线θ=α与曲线C1和C2联立可得B(2sinα,α),C(2cosα,α),

∴|OB|=2sinα,|OC|=2cosα,∠COx=∠BOx=α.

∴∠AOB=∠AOC=-α,

∴S△ABC=S△AOC-S△AOB=|OA|·|OC|sin∠AOC-|OA|·|OB|·sin∠AOB=·2cosα·sin-α-·2sinα·sin-α=sin-α·(cosα-sinα)=2sin2-α=.

∴sin2-α=,∵α∈0,,∴α=.