2023年高考数学一轮复习课时规范练59不等式的证明含解析北师大版文

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课时规范练59　不等式的证明基础巩固组1.(2020全国Ⅲ,理23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥.证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-(a2+b2+c2)<0.(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.由bc≤,可得abc≤,故a≥,所以max{a,b,c}≥.2.已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.证明(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数,且abc=1,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2)×(2)×(2)=24,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.3.(2021陕西西安中学二模)已知a>0,b>0且a2+b2=2.(1)若使≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;(2)证明:(a5+b5)≥4.(1)解∵a,b∈(0,+∞),且a2+b2=2,∴(a2+b2)=1+4+≥5+2=,当且仅当b2=2a2时,等号成立,则|2x-1|-|x-1|≤,当x≤时,不等式化为1-2x+x-1≤,解得-≤x≤;当<x<1时,不等式化为2x-1+x-1≤,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为2x-1-x+1≤,解得1≤x≤.综上,x的取值范围为-.(2)证明(方法1)(a5+b5)=a4+b4+=(a2+b2)2-2a2b2+≥4-2a2b2+2=4-2a2b2+2a2b2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.(方法2)由柯西不等式可得(a5+b5)=2+2[()2+()2]≥2=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.综合提升组4.(2021江西赣县模拟)已知f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)≤x+3的解集;(2)若f(x)的最小值为m,正实数a,b,c满足a+b+c=m,求证:.(1)解①当x≤-1时,2-2x≤x+3,解得x≥-,则不等式的解集为空集;②当-1<x≤3时,4≤x+3,解得1≤x≤3;③当x>3时,2x-2≤x+3,解得x≤5,则3<x≤5.综上,不等式的解集为{x|1≤x≤5}.(2)证明因为f(x)=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x+3|=4,所以m=4,所以a+b+c=m=4,[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·=≥2+2+2=,当且仅当a+b=b+c=c+a,即a=b=c=时,等号成立.5.已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+1)≥4;(2)当x≠0,x∈R时,证明:f(-x)+f≥2.(1)解由f(x)+f(x+1)≥4得|x-1|+|x|≥4,当x>1时,得2x-1≥4,解得x≥;当0≤x≤1时,得1≥4,此时不等式无解;当x<0时,得-2x+1≥4,此时x≤-.所以不等式的解集为xx≥或x≤-.(2)证明f(-x)+f=|x+1|+-1,由绝对值三角不等式,得|x+1|+-1≥x+,又因为x,同号,所以x+=|x|+,由基本不等式得|x|+≥2,当且仅当|x|=1时,等号成立,所以f(-x)+f≥2.6.(2021山西太原二模)已知函数f(x)=|x+m2|+|2x-m|(m>0).(1)当m=1时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)若f(x)的最小值为,且a+b=m(a>0,b>0),求证:+2.(1)解当m=1时,原不等式为|x+1|+|2x-1|≤6,则解得-2≤x<-1或-1≤x≤<x≤2,∴原不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤2}.(2)证明由题意得f(x)=∴f(x)min=f=m2+m=,∴m=1或m=-(舍去),∴a+b=1,令0<θ<,则+2=cosθ+2sinθ=sin(θ+φ)≤,当θ=-φ0<φ<,且tanφ=时,上述不等式等号成立.创新应用组7.(2021广西桂林二模)已知实数a,b,c,满足a+b+c=1.(1)若a,b∈R+,c=0,求证:a+2+b+2≥;(2)设a>b>c,a2+b2+c2=1,求证:a+b>1.证明(1)c=0时,a+b=1,a+2+b+2≥==,∵a,b∈R+,a+b=1,∴=(a+b)=2+≥2+2=4,从而a+2+b+2≥,当且仅当即a=b=时,等号成立;(2)假设a+b≤1,则由a+b+c=1,知c≥0,故a>b>c≥0,又由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,得ab+bc+ac=0,但由a>b>c≥0,知ab+bc+ac>0,矛盾,故假设a+b≤1不成立,则a+b>1.8.(2021陕西宝鸡二模)已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥8的解集;(2)设a,b,c∈R,且a+b+c=1,证明:≥1.(1)解由题意得,f(x)=|2x-4|+|x+1|=不等式f(x)≥8,可转化为解得x≤-或x≥,故不等式的解集为xx≤-或x≥.(2)证明a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,三式相加得a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又因为a2b2+b2c2≥2ab2c,a2b2+c2a2≥2a2bc,b2c2+c2a2≥2abc2,三式相加得a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c),又因为a+b+c=1,所以a2b2+b2c2+c2a2≥abc,即a4+b4+c4≥abc,又因为abc>0,所以≥1,即≥1,当且仅当a=b=c=时,等号成立.