2023年高考数学一轮复习课时规范练2简单不等式的解法含解析北师大版文

课时规范练2　简单不等式的解法

基础巩固组

1.已知集合A={x|(-x+3)(x+2)<0},B={x|(x+4)(x-2)>0},则A∩B=(　　)

A.{x|x<-4,或x>3} B.{x|x>3}

C.{x|x<-4} D.{x|-3<x<-2}

答案:A

解析:由题意A={x|x<-2,或x>3},B={x|x<-4,或x>2},所以A∩B={x|x<-4,或x>3}.

2.已知a,b∈R,若a>b,同时成立,则(　　)

A.ab>0 B.ab<0 C.a+b>0 D.a+b<0

答案:A

解析:因为,所以<0,又因为a>b,所以b-a<0,所以ab>0.

3.(2021北京房山一模)已知a,b∈R,且a>b,则下列各式中一定成立的是(　　)

A B.a3>b3 C.ab>b2 D.2|a|>2|b|

答案:B

解析:因为a,b∈R,且a>b,

对于选项A,若a=1,b=-1,显然,故A错误;

对于选项B,因为函数y=x3在定义域R上为增函数,所以a3>b3,故B正确;

对于选项C,若a=1,b=0,则ab=b2=0,故C错误;

对于选项D,若a=1,b=-1,则2|a|=2|b|,故D错误.

4.(2021安徽合肥模拟)若集合A=x0,B={x|x2-x-2<0},则(∁RA)∩B=(　　)

A.(1,2) B.[1,2)

C.(-1,2) D.[-1,2)

答案:B

解析:∵A=={x|-2≤x<1},∴∁RA={x|x<-2,或x≥1},

又B={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},

∴(∁RA)∩B=[1,2).

5.(2021浙江绍兴模拟)已知a>0,且a≠1.若ab>1,则(　　)

A.ab>b B.ab<b C.a>b D.a<b

答案:A

解析:依题意a>0,且a≠1,ab>1.

当0<a<1时,b<0,a>b,ab-b=b(a-1)>0,ab>b,由此排除BD选项;

当a>1时,b>0,ab-b=b(a-1)>0,ab>b,a,b可能相等,如a=b=2,22>1,由此排除C选项.故选A.

6.若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围是(　　)

A.(-3,0) B.(-3,0]

C.(-∞,-3)∪(0,+∞) D.(-∞,-3)∪[0,+∞)

答案:B

解析:当k=0时,-<0对一切实数x都成立,故k=0符合题意;

当k≠0时,要使不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,

则解得-3<k<0,综上,-3<k≤0.

7.(2021广西柳州模拟)若不等式x2-2x-m<0在x上有解,则实数m的取值范围是(　　)

A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)

C D.(0,+∞)

答案:B

解析:因为不等式x2-2x-m<0在x上有解,所以不等式m>x2-2x在x上有解,令t=x2-2x=(x-1)2-1,则tmin=-1,所以m>-1,所以实数m的取值范围是(-1,+∞).

8.若-<α<β<,则α-β的取值范围是　　　　　. 

答案:(-π,0)

解析:由-<α<,-<-β<,α<β,得-π<α-β<0.

9.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a≤0).

解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.

①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.

②当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.

当>-1,即a<-2时,解得-1≤x;

当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;

当<-1,即-2<a<0时,解得x≤-1.

综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};

当-2<a<0时,不等式的解集为xx≤-1;

当a=-2时,不等式的解集为{-1};

当a<-2时,不等式的解集为x-1≤x.

综合提升组

10.(2021贵州贵阳模拟)在R上定义运算:=ad-bc,若不等式1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为(　　)

A.- B.- C D

答案:D

解析:由=ad-bc,则1即x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,所以a2-a-1≤x2-x恒成立,又因为函数y=x2-x在R上的最小值为-,所以a2-a-1≤-,整理可得(2a+1)(2a-3)≤0,解得-a,实数a的最大值为

11.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是(　　)

A.13 B.18 C.21 D.26

答案:C

解析:设f(x)=x2-6x+a,其图像为开口向上,对称轴是直线x=3的抛物线,如图所示.

若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,

则

解得5<a≤8,又因为a∈Z,故a=6,7,8.则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21.

12.若a>b>1,P=aeb,Q=bea,则P,Q的大小关系是(　　)

A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.不能确定

答案:C

解析:P,Q作商可得,令f(x)=,则f'(x)=,当x>1时,f'(x)>0,f(x)=在(1,+∞)上是递增的,因为a>b>1,所以f(b)<f(a),即,又因为>0,>0,所以<1,所以P<Q.

13.若α,β满足则α+3β的取值范围是　　　　　. 

答案:[1,7]

解析:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.

则解得

因为-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,两式相加,得1≤α+3β≤7.所以α+3β的取值范围为[1,7].

创新应用组

14.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是(　　)

A.(-3,5) B.(-2,4) C.[-1,3] D.[-2,4]

答案:C

解析:因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,

当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a},当a<1时,不等式的解集为{x|a<x<1},当a=1时,不等式的解集为∅,要使得解集中至多包含1个整数,则a=1或1<a≤3或-1≤a<1,所以实数a的取值范围是a∈[-1,3],故选C.

15.函数f(x)=x2+ax+3.

(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;

(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;

(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.

解:(1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,

∴实数a的取值范围是[-6,2].

(2)当x∈[-2,2]时,设g(x)=x2+ax+3-a,g(x)≥0分如下三种情况讨论(如图所示):

①如图1,当g(x)的图像与x轴有1个交点或没有交点时,有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.

②如图2,当g(x)的图像与x轴有2个交点时,可得解得a∈∅.

③如图3,当g(x)的图像与x轴有2个交点时,

可得

解得-7≤a<-6,

综上,实数a的取值范围是[-7,2].

(3)令h(a)=xa+x2+3.当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.

只需

解得x≤-3-或x≥-3+

∴实数x的取值范围是(-∞,-3-]∪[-3+,+∞).