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2023年新教材高考数学一轮复习单元质检卷二函数与基本初等函数含解析新人教B版
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这是一份2023年新教材高考数学一轮复习单元质检卷二函数与基本初等函数含解析新人教B版，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检卷二 函数与基本初等函数
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021山东潍坊高三期中)若函数f(x)=axx+a的定义域是{x|x∈R,x≠2},则函数f(x)的值域为( )
A.(-∞,-2)∪(-2,+∞)
B.(-∞,2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-2,+∞)
2.(2021天津和平高三期中)若2a=3b=6,则1a2+1ab+1b=( )
A.1 B.16 C.32 D.65
3.(2021江苏南京高三月考)函数y=4x-6·2x+8的所有零点的和等于( )
A.8 B.6 C.3 D.2
4.(2021湖南师大附中高三期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(-12)-f(4)等于( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
5.(2021广东佛山高三月考)已知函数f(x)=ln|x|+ex+e-x,则f-13,f12,f14的大小关系是( )
A.f-13>f14>f12
B.f14>f-13>f12
C.f12>f-13>f14
D.f12>f14>f-13
6.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间[0,3]上的最小值为-2,则实数a的值为( )
A.-2 B.-2或115
C.-2或1 D.±2
7.(2021山东省实验中学高三二模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数f(x)满足f(4-x)=f(x),且当x∈[0,2]时的解析式为f(x)=-log2(2-x),0≤x≤1,log2x,1
C.4 D.4log23
8.(2021湖北宜昌高三期末)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(4-x),则( )
A.f(x)的图像关于直线x=3对称
B.f(x)的图像关于点(3,0)对称
C.f(x)在(2,4)上单调递增
D.f(x)在(2,4)上单调递减
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021山东宁津高三月考)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A.y=x3 B.y=ln1|x|
C.y=2-|x| D.y=cos x
10.(2021湖南衡阳高三期末)定义一种运算:a?b=a,a≥b,b,a
B.f(x)的图像与直线y=5有三个公共点
C.f(x)的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3]
D.f(x)的最小值是2
11.(2021山东潍坊高三三模)已知函数y=ax(a>0且a≠1)的图像如图,则下列四个函数图像与函数解析式对应正确的是( )
12.(2021江苏徐州高三期末)设函数f(x)=sinπxx2-x+1,则( )
A.f(x)的最大值为43
B.|f(x)|≤5|x|
C.曲线y=f(x)存在对称轴
D.曲线y=f(x)存在对称中心
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021福建三明高三三模)能够说明“若ax>ay,a<0,则x>y”是假命题的一组整数x,y的值依次为 .
14.函数f(x)=ax+5-2(a>0,a≠1)的图像恒过定点P,则点P的坐标为 .
15.(2021辽宁锦州高三模拟)函数y=21-x的图像与函数y=4sin πx(-4≤x≤6)的图像所有交点的横坐标之和为 .
16.(2021山东济南高三期中)已知函数f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中a>1.若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数a= .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2021江苏镇江高三月考)已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求实数m的值;
(2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.
18.(12分)(2021山东烟台高三期中)已知函数f(x)=log14(x+3),-31,
(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的值域为[-1,+∞),求实数a的取值范围.
19.(12分)已知命题p:函数f(x)=|x+2c|在[-1,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=cxx2+1-a(a>0)有零点.
(1)当a=2时,命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;
(2)若“p为真命题”是“q为真命题”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
20.(12分)(2021上海格致中学高三三模)“弗格指数f=logax+bx-b”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中b是该地区的最低保障收入系数,a是该地区收入中位系数,x是该地区收入均值系数.经换算后,a,b,x都是大于1的实数,当f∈(1,2)时,该地区收入均衡性最为稳定.
(1)指出函数g(x)=f=logax+bx-b的定义域与单调性(不用证明),并说明其实际意义.经测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少(参考数据:2.170.89≈2)?
(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围(用a,b表示).
21.(12分)(2021浙江高三月考)已知函数f(x)=(x-1)·|x-a|.
(1)若a=2,求f(x)在0,52上的最大值;
(2)已知函数g(x)=f(x)+|x-a|-x+a-m,若存在实数a∈(-1,2],使得函数g(x)有三个零点,求实数m的取值范围.
22.(12分)(2021山东淄博高三期末)已知函数f(x)=loga(ax+1)+bx(a>0且a≠1,b∈R)是偶函数,函数g(x)=ax(a>0且a≠1).
(1)求实数b的值;
(2)若函数h(x)=f(x)-12x-a有零点,求实数a的取值范围.
单元质检卷二 函数与基本初等函数
1.A 解析:由x+a≠0得x≠-a,因此a=-2,所以f(x)=-2-4x-2,由于4x-2≠0,因此-2-4x-2≠-2,即函数f(x)的值域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),故选A.
2.A 解析:由于2a=3b=6,所以a=log26,b=log36,因此1a=log62,1b=log63,则1a+1b=1,于是1a2+1ab+1b=1a1a+1b+1b=1a+1b=1,故选A.
3.C 解析:令y=4x-6·2x+8=0得(2x-4)(2x-2)=0,所以2x=4或2x=2,解得函数的零点为x1=2,x2=1,故零点之和等于3.
4.C 解析:若f(x)是R上周期为5的奇函数,则f(-x)=-f(x),f(x+5)=f(x),所以f(-12)=-f(12)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(-12)-f(4)=-2-(-1)=-1,故选C.
5.C 解析:由f(-x)=ln|-x|+e-x+e-(-x)=ln|x|+ex+e-x=f(x)且f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),即f(x)为偶函数,所以当x>0时,f(x)=lnx+ex+e-x,则f'(x)=1x+e2x-1ex>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f-13=f13,而14<13<12,故f14
将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域,可得到由x轴,y轴,y=1,x=4所围成的矩形的面积,所以函数y=f(x)在[0,4]上的图像与直线y=-1围成的封闭图形的面积为4,故选C.
8.A 解析:f(x)的定义域为(2,4).对于A,因为f(x+3)=ln(x+1)+ln(1-x)=f(3-x),所以f(x)的图像关于x=3对称,因此A选项正确;对于B,由A知f(x+3)≠-f(3-x),所以f(x)的图像不关于点(3,0)对称,因此B选项错误;对于C,f(x)=ln(x-2)+ln(4-x)=ln(-x2+6x-8),函数y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此f(x)在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此C选项,D选项错误,故选A.
9.BC 解析:对于A,函数是奇函数,不满足题意;对于B,因为ln1|-x|=ln1|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=-lnx,函数单调递减,满足题意;对于C,因为2-|-x|=2-|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=2-x,函数单调递减,满足题意;对于D,函数是偶函数,在区间(0,+∞)上不单调,不满足题意,故选BC.
10.ACD 解析:由题意,f(x)=(5+2x-x2)?|x-1|=5+2x-x2,-1≤x≤3,|x-1|,x<-1或x>3,作出函数的图像如图所示,
由图像可知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,故A正确;函数f(x)的图像与直线y=5有四个公共点,故B错误;函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3],故C正确;函数f(x)的最小值是2,故D正确,故选ACD.
11.ABD 解析:由图可得a1=2,即a=2,y=a-x=12x单调递减且过点(-1,2),故A正确;y=x-a=x-2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B正确;y=a|x|=2|x|=2x,x≥0,2-x,x<0为偶函数,结合指数函数图像可知不符合题意,故C错误;y=|logax|=|log2x|,根据“上不动、下翻上”可知D正确,故选ABD.
12.ABC 解析:对于选项A,因为sinπx∈[-1,1],x2-x+1=x-122+34≥34,所以f(x)=sinπxx2-x+1≤134=43,故A正确;对于选项B,由于f(x)x=sinπxπx·π(x-12) 2+34≤43π<5,所以|f(x)|≤5|x|,故B正确;对于选项C,因为直线x=12是曲线y=sinπx的对称轴,也是曲线y=x2-x+1=x-122+34的对称轴,所以直线x=12是曲线y=f(x)的对称轴,故C正确;对于选项D,因为f(a-x)+f(a+x)不可能为常数,所以曲线y=f(x)不存在对称中心,即D错误,故选ABC.
13.-1,1(答案不唯一) 解析:当ax>ay,a<0时,可得1x<1y,①当x,y同号时,可得x>y;②当x,y异号时,y>0>x,故取整数x,y满足y>0>x即可.
14.(-5,-1) 解析:当x+5=0,即x=-5时,y=a0-2=-1,即f(-5)=-1,故函数图像恒过定点(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
15.12 解析:设f(x)=21-x,g(x)=4sinπx,当x≠1时,f(2-x)=21-(2-x)=2x-1=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,所以函数f(x)=21-x的图像关于点(1,0)中心对称,g(2-x)=4sin[π(2-x)]=4sin(2π-πx)=-4sinπx=-g(x),即g(2-x)+g(x)=0,所以,函数g(x)=4sinπx的图像也关于点(1,0)中心对称,作出函数y=21-x与函数y=4sinπx(-4≤x≤6)的图像如图:
由图像可知,两个函数图像共有12个交点,形成6对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交点的横坐标之和为6×2=12.
16.43 解析:∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,即为g(x1)f(x1)=f(x2)g(x2),即ax1-1=1ax2-1成立.由于a>1,可得ax1-1在[1,3]上的值域为[a-1,3a-1],1ax2-1在[1,3]上的值域为13a-1,1a-1,由题意可得在[1,3]内,ax1-1的值域为1ax2-1的值域的子集,因此13a-1≤a-1<3a-1≤1a-1,所以(a-1)(3a-1)=1,解得a=43.
17.解(1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.
当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,满足题意.
故m的值为0.
(2)由(1)知f(x)=x2,在区间[1,2]上,f(x),g(x)均单调递增,
所以A=[1,4],B=[2-k,4-k],
因为A∪B=A,得到B⊆A,
所以2-k≥1,4-k≤4,解得0≤k≤1.
故实数k的取值范围为[0,1].
18.解(1)当x∈(-3,1]时,f(x)=log14(x+3)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f(x)=12x+a单调递减.
所以要使函数f(x)在定义域上是单调函数,应满足log14(1+3)≥121+a,
即a+12≤-1,解得a≤-32.
故实数a的取值范围是-∞,-32.
(2)当x∈(-3,1]时,f(x)=log14(x+3)∈[-1,+∞),
当x∈(1,+∞)时,f(x)=12x+a∈a,a+12,
由于函数f(x)的值域为[-1,+∞),所以a,a+12⊆[-1,+∞),
因此a≥-1,即实数a的取值范围是[-1,+∞).
19.解由于f(x)=|x+2c|=x+2c,x≥-2c,-x-2c,x<-2c,
所以f(x)的单调递增区间是[-2c,+∞).
又因为f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以-2c≤-1,
解得c≥12.
即命题p为真命题时,c的取值范围是12,+∞.
(1)当a=2时,g(x)=cxx2+1-2有零点,
所以方程cxx2+1-2=0有实数根,
即2x2-cx+2=0有实数根,
因此c2-16≥0,解得c≥4或c≤-4.
即命题q为真命题时c的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).
故当命题p和q均为真命题时,应有c≥12,c≥4或c≤-4,即c≥4.
故实数c的取值范围是[4,+∞).
(2)函数g(x)=cxx2+1-a有零点,则方程cxx2+1-a=0有实数根,
即ax2-cx+a=0有实数根,所以c2-4a2≥0,解得c≥2a或c≤-2a.
由于“p为真命题”是“q为真命题”的充分不必要条件,
所以12>2a,
解得0
20.解(1)要使函数g(x)有意义,须使x+bx-b>0,
又因为x>1且b>1,解得x>b,
所以函数g(x)的定义域为(b,+∞).
令t=x+bx-b(x>b),则f=logat.
因为t=x+bx-b=1+2bx-b,
所以当x∈(b,+∞)时,函数t=x+bx-b单调递减;
又因为a>1,所以f=logat在(0,+∞)上单调递增,
故f=logax+bx-b在定义域(b,+∞)上是减函数.
其实际意义是当该地区收入均值系数x大于该地区的最低保障收入系数b时,收入均值系数x越大,弗格指数f越小.
将f=0.89,x=3.15,a=2.17代入函数得0.89=log2.173.15+b3.15-b,
所以3.15+b3.15-b=2.170.89≈2⇒b≈3.15-6.33=1.05.
故该地区的最低保障收入系数为1.05.
(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,则f∈(1,2),
即1
21.解(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.
若x∈[0,2],则f(x)=-(x-1)(x-2)=-x-322+14,
所以f(x)max=f32=14.
若x∈2,52,则f(x)=(x-1)(x-2)=x-322-14,f(x)在区间内单调递增,
所以f(x)max=f52=34.
综上f(x)在0,52上的最大值为34.
(2)由题设,令g(x)=x|x-a|-(x-a)-m=0.
所以x|x-a|-(x-a)=m在a∈(-1,2]上有三个根,
即h(x)=x2-(a+1)x+a,x≥a,-x2+(a-1)x+a,x
此时,0
22.解(1)因为f(x)为偶函数,所以∀x∈R,有f(-x)=f(x).
即loga(a-x+1)-bx=loga(ax+1)+bx在R上恒成立.
所以loga(a-x+1)-loga(ax+1)=2bx在R上恒成立.
所以2bx=-x,故b=-12.
(2)若函数h(x)=f(x)-12x-a有零点,所以loga(ax+1)-x=a有解,
即loga1+1ax=a有解.
令p(x)=loga1+1ax,则函数y=p(x)图像与直线y=a有交点.
当01,p(x)=loga1+1ax<0,
所以loga1+1ax=a无解.
当a>1时,因为1+1ax>1,p(x)=loga1+1ax>0,
由loga1+1ax=a有解可知a>0,所以a>1.
故a的取值范围是(1,+∞).
单元质检卷二 函数与基本初等函数
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021山东潍坊高三期中)若函数f(x)=axx+a的定义域是{x|x∈R,x≠2},则函数f(x)的值域为( )
A.(-∞,-2)∪(-2,+∞)
B.(-∞,2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-2,+∞)
2.(2021天津和平高三期中)若2a=3b=6,则1a2+1ab+1b=( )
A.1 B.16 C.32 D.65
3.(2021江苏南京高三月考)函数y=4x-6·2x+8的所有零点的和等于( )
A.8 B.6 C.3 D.2
4.(2021湖南师大附中高三期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(-12)-f(4)等于( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
5.(2021广东佛山高三月考)已知函数f(x)=ln|x|+ex+e-x,则f-13,f12,f14的大小关系是( )
A.f-13>f14>f12
B.f14>f-13>f12
C.f12>f-13>f14
D.f12>f14>f-13
6.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间[0,3]上的最小值为-2,则实数a的值为( )
A.-2 B.-2或115
C.-2或1 D.±2
7.(2021山东省实验中学高三二模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数f(x)满足f(4-x)=f(x),且当x∈[0,2]时的解析式为f(x)=-log2(2-x),0≤x≤1,log2x,1
C.4 D.4log23
8.(2021湖北宜昌高三期末)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(4-x),则( )
A.f(x)的图像关于直线x=3对称
B.f(x)的图像关于点(3,0)对称
C.f(x)在(2,4)上单调递增
D.f(x)在(2,4)上单调递减
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021山东宁津高三月考)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A.y=x3 B.y=ln1|x|
C.y=2-|x| D.y=cos x
10.(2021湖南衡阳高三期末)定义一种运算:a?b=a,a≥b,b,a
B.f(x)的图像与直线y=5有三个公共点
C.f(x)的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3]
D.f(x)的最小值是2
11.(2021山东潍坊高三三模)已知函数y=ax(a>0且a≠1)的图像如图,则下列四个函数图像与函数解析式对应正确的是( )
12.(2021江苏徐州高三期末)设函数f(x)=sinπxx2-x+1,则( )
A.f(x)的最大值为43
B.|f(x)|≤5|x|
C.曲线y=f(x)存在对称轴
D.曲线y=f(x)存在对称中心
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021福建三明高三三模)能够说明“若ax>ay,a<0,则x>y”是假命题的一组整数x,y的值依次为 .
14.函数f(x)=ax+5-2(a>0,a≠1)的图像恒过定点P,则点P的坐标为 .
15.(2021辽宁锦州高三模拟)函数y=21-x的图像与函数y=4sin πx(-4≤x≤6)的图像所有交点的横坐标之和为 .
16.(2021山东济南高三期中)已知函数f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中a>1.若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数a= .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2021江苏镇江高三月考)已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求实数m的值;
(2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.
18.(12分)(2021山东烟台高三期中)已知函数f(x)=log14(x+3),-3
(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的值域为[-1,+∞),求实数a的取值范围.
19.(12分)已知命题p:函数f(x)=|x+2c|在[-1,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=cxx2+1-a(a>0)有零点.
(1)当a=2时,命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;
(2)若“p为真命题”是“q为真命题”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
20.(12分)(2021上海格致中学高三三模)“弗格指数f=logax+bx-b”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中b是该地区的最低保障收入系数,a是该地区收入中位系数,x是该地区收入均值系数.经换算后,a,b,x都是大于1的实数,当f∈(1,2)时,该地区收入均衡性最为稳定.
(1)指出函数g(x)=f=logax+bx-b的定义域与单调性(不用证明),并说明其实际意义.经测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少(参考数据:2.170.89≈2)?
(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围(用a,b表示).
21.(12分)(2021浙江高三月考)已知函数f(x)=(x-1)·|x-a|.
(1)若a=2,求f(x)在0,52上的最大值;
(2)已知函数g(x)=f(x)+|x-a|-x+a-m,若存在实数a∈(-1,2],使得函数g(x)有三个零点,求实数m的取值范围.
22.(12分)(2021山东淄博高三期末)已知函数f(x)=loga(ax+1)+bx(a>0且a≠1,b∈R)是偶函数,函数g(x)=ax(a>0且a≠1).
(1)求实数b的值;
(2)若函数h(x)=f(x)-12x-a有零点,求实数a的取值范围.
单元质检卷二 函数与基本初等函数
1.A 解析:由x+a≠0得x≠-a,因此a=-2,所以f(x)=-2-4x-2,由于4x-2≠0,因此-2-4x-2≠-2,即函数f(x)的值域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),故选A.
2.A 解析:由于2a=3b=6,所以a=log26,b=log36,因此1a=log62,1b=log63,则1a+1b=1,于是1a2+1ab+1b=1a1a+1b+1b=1a+1b=1,故选A.
3.C 解析:令y=4x-6·2x+8=0得(2x-4)(2x-2)=0,所以2x=4或2x=2,解得函数的零点为x1=2,x2=1,故零点之和等于3.
4.C 解析:若f(x)是R上周期为5的奇函数,则f(-x)=-f(x),f(x+5)=f(x),所以f(-12)=-f(12)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(-12)-f(4)=-2-(-1)=-1,故选C.
5.C 解析:由f(-x)=ln|-x|+e-x+e-(-x)=ln|x|+ex+e-x=f(x)且f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),即f(x)为偶函数,所以当x>0时,f(x)=lnx+ex+e-x,则f'(x)=1x+e2x-1ex>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f-13=f13,而14<13<12,故f14
将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域,可得到由x轴,y轴,y=1,x=4所围成的矩形的面积,所以函数y=f(x)在[0,4]上的图像与直线y=-1围成的封闭图形的面积为4,故选C.
8.A 解析:f(x)的定义域为(2,4).对于A,因为f(x+3)=ln(x+1)+ln(1-x)=f(3-x),所以f(x)的图像关于x=3对称,因此A选项正确;对于B,由A知f(x+3)≠-f(3-x),所以f(x)的图像不关于点(3,0)对称,因此B选项错误;对于C,f(x)=ln(x-2)+ln(4-x)=ln(-x2+6x-8),函数y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此f(x)在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此C选项,D选项错误,故选A.
9.BC 解析:对于A,函数是奇函数,不满足题意;对于B,因为ln1|-x|=ln1|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=-lnx,函数单调递减,满足题意;对于C,因为2-|-x|=2-|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=2-x,函数单调递减,满足题意;对于D,函数是偶函数,在区间(0,+∞)上不单调,不满足题意,故选BC.
10.ACD 解析:由题意,f(x)=(5+2x-x2)?|x-1|=5+2x-x2,-1≤x≤3,|x-1|,x<-1或x>3,作出函数的图像如图所示,
由图像可知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,故A正确;函数f(x)的图像与直线y=5有四个公共点,故B错误;函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3],故C正确;函数f(x)的最小值是2,故D正确,故选ACD.
11.ABD 解析:由图可得a1=2,即a=2,y=a-x=12x单调递减且过点(-1,2),故A正确;y=x-a=x-2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B正确;y=a|x|=2|x|=2x,x≥0,2-x,x<0为偶函数,结合指数函数图像可知不符合题意,故C错误;y=|logax|=|log2x|,根据“上不动、下翻上”可知D正确,故选ABD.
12.ABC 解析:对于选项A,因为sinπx∈[-1,1],x2-x+1=x-122+34≥34,所以f(x)=sinπxx2-x+1≤134=43,故A正确;对于选项B,由于f(x)x=sinπxπx·π(x-12) 2+34≤43π<5,所以|f(x)|≤5|x|,故B正确;对于选项C,因为直线x=12是曲线y=sinπx的对称轴,也是曲线y=x2-x+1=x-122+34的对称轴,所以直线x=12是曲线y=f(x)的对称轴,故C正确;对于选项D,因为f(a-x)+f(a+x)不可能为常数,所以曲线y=f(x)不存在对称中心,即D错误,故选ABC.
13.-1,1(答案不唯一) 解析:当ax>ay,a<0时,可得1x<1y,①当x,y同号时,可得x>y;②当x,y异号时,y>0>x,故取整数x,y满足y>0>x即可.
14.(-5,-1) 解析:当x+5=0,即x=-5时,y=a0-2=-1,即f(-5)=-1,故函数图像恒过定点(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
15.12 解析:设f(x)=21-x,g(x)=4sinπx,当x≠1时,f(2-x)=21-(2-x)=2x-1=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,所以函数f(x)=21-x的图像关于点(1,0)中心对称,g(2-x)=4sin[π(2-x)]=4sin(2π-πx)=-4sinπx=-g(x),即g(2-x)+g(x)=0,所以,函数g(x)=4sinπx的图像也关于点(1,0)中心对称,作出函数y=21-x与函数y=4sinπx(-4≤x≤6)的图像如图:
由图像可知,两个函数图像共有12个交点,形成6对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交点的横坐标之和为6×2=12.
16.43 解析:∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,即为g(x1)f(x1)=f(x2)g(x2),即ax1-1=1ax2-1成立.由于a>1,可得ax1-1在[1,3]上的值域为[a-1,3a-1],1ax2-1在[1,3]上的值域为13a-1,1a-1,由题意可得在[1,3]内,ax1-1的值域为1ax2-1的值域的子集,因此13a-1≤a-1<3a-1≤1a-1,所以(a-1)(3a-1)=1,解得a=43.
17.解(1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.
当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,满足题意.
故m的值为0.
(2)由(1)知f(x)=x2,在区间[1,2]上,f(x),g(x)均单调递增,
所以A=[1,4],B=[2-k,4-k],
因为A∪B=A,得到B⊆A,
所以2-k≥1,4-k≤4,解得0≤k≤1.
故实数k的取值范围为[0,1].
18.解(1)当x∈(-3,1]时,f(x)=log14(x+3)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f(x)=12x+a单调递减.
所以要使函数f(x)在定义域上是单调函数,应满足log14(1+3)≥121+a,
即a+12≤-1,解得a≤-32.
故实数a的取值范围是-∞,-32.
(2)当x∈(-3,1]时,f(x)=log14(x+3)∈[-1,+∞),
当x∈(1,+∞)时,f(x)=12x+a∈a,a+12,
由于函数f(x)的值域为[-1,+∞),所以a,a+12⊆[-1,+∞),
因此a≥-1,即实数a的取值范围是[-1,+∞).
19.解由于f(x)=|x+2c|=x+2c,x≥-2c,-x-2c,x<-2c,
所以f(x)的单调递增区间是[-2c,+∞).
又因为f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以-2c≤-1,
解得c≥12.
即命题p为真命题时,c的取值范围是12,+∞.
(1)当a=2时,g(x)=cxx2+1-2有零点,
所以方程cxx2+1-2=0有实数根,
即2x2-cx+2=0有实数根,
因此c2-16≥0,解得c≥4或c≤-4.
即命题q为真命题时c的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).
故当命题p和q均为真命题时,应有c≥12,c≥4或c≤-4,即c≥4.
故实数c的取值范围是[4,+∞).
(2)函数g(x)=cxx2+1-a有零点,则方程cxx2+1-a=0有实数根,
即ax2-cx+a=0有实数根,所以c2-4a2≥0,解得c≥2a或c≤-2a.
由于“p为真命题”是“q为真命题”的充分不必要条件,
所以12>2a,
解得0
20.解(1)要使函数g(x)有意义,须使x+bx-b>0,
又因为x>1且b>1,解得x>b,
所以函数g(x)的定义域为(b,+∞).
令t=x+bx-b(x>b),则f=logat.
因为t=x+bx-b=1+2bx-b,
所以当x∈(b,+∞)时,函数t=x+bx-b单调递减;
又因为a>1,所以f=logat在(0,+∞)上单调递增,
故f=logax+bx-b在定义域(b,+∞)上是减函数.
其实际意义是当该地区收入均值系数x大于该地区的最低保障收入系数b时,收入均值系数x越大,弗格指数f越小.
将f=0.89,x=3.15,a=2.17代入函数得0.89=log2.173.15+b3.15-b,
所以3.15+b3.15-b=2.170.89≈2⇒b≈3.15-6.33=1.05.
故该地区的最低保障收入系数为1.05.
(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,则f∈(1,2),
即1
21.解(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.
若x∈[0,2],则f(x)=-(x-1)(x-2)=-x-322+14,
所以f(x)max=f32=14.
若x∈2,52,则f(x)=(x-1)(x-2)=x-322-14,f(x)在区间内单调递增,
所以f(x)max=f52=34.
综上f(x)在0,52上的最大值为34.
(2)由题设,令g(x)=x|x-a|-(x-a)-m=0.
所以x|x-a|-(x-a)=m在a∈(-1,2]上有三个根,
即h(x)=x2-(a+1)x+a,x≥a,-x2+(a-1)x+a,x
此时,0
22.解(1)因为f(x)为偶函数,所以∀x∈R,有f(-x)=f(x).
即loga(a-x+1)-bx=loga(ax+1)+bx在R上恒成立.
所以loga(a-x+1)-loga(ax+1)=2bx在R上恒成立.
所以2bx=-x,故b=-12.
(2)若函数h(x)=f(x)-12x-a有零点,所以loga(ax+1)-x=a有解,
即loga1+1ax=a有解.
令p(x)=loga1+1ax,则函数y=p(x)图像与直线y=a有交点.
当0
所以loga1+1ax=a无解.
当a>1时,因为1+1ax>1,p(x)=loga1+1ax>0,
由loga1+1ax=a有解可知a>0,所以a>1.
故a的取值范围是(1,+∞).
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