2023年新教材高考数学一轮复习单元质检卷六平面向量复数含解析新人教B版

单元质检卷六　平面向量、复数

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2021北京,2)在复平面内,复数z满足(1-i)z=2,则z=(　　)

A.2+i B.2-i C.1-i D.1+i

2.已知向量a=(1,2),b=(2,x),且a·b=-1,则x的值等于(　　)

A. B.- C. D.-

3.已知i是虚数单位,若复数z=,则z的共轭复数= (　　)

A.i B.i

C.-i D.-i

4.(2021山东临沂一模)如图,若向量对应的复数为z,且|z|=,则=(　　)

A.i B.-i

C.i D.-i

5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为边DC的中点,F为BE的中点,则=(　　)

A.3 B.2

C. D.

6.(2021福建厦门模拟)向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)⊥(a-b),则x=(　　)

A.-2 B.± C.±2 D.2

7.已知向量a=(1,),|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为(　　)

A. B.

C. D.

8.在△ABC中,,则sin A∶sin B∶sin C=(　　)

A.5∶3∶4 B.5∶4∶3

C.∶2∶ D.∶2

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.(2021山东聊城一模)若m∈R,则复数在复平面内所对应的点可能在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

10.已知平面向量a=(2,2),b=(1,m),且|2a-b|=|a+b|,则(　　)

A.a·b=4 B.a·b=0

C.m=-1 D.|b|=

11.(2021河北石家庄一模)设z为复数,则下列选项正确的是(　　)

A.|z|2=z

B.z2=|z|2

C.若|z|=1,则|z+i|的最大值为2

D.若|z-1|=1,则0≤|z|≤2

12.(2021河北保定一模)已知P为△ABC所在平面内一点,则下列选项正确的是(　　)

A.若+3+2=0,则点P在△ABC的中位线上

B.若=0,则P为△ABC的重心

C.若>0,则△ABC为锐角三角形

D.若,则△ABC与△ABP的面积比为3∶2

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知向量a=(m,1),b=(4,m),向量a在b上的投影向量的数量为,则m=　　　　. 

14.(2021山东省实验中学二模)设向量a=(1,m),b=(2,1),且b·(2a+b)=7,则m=　　　　　. 

15.(2021湖北七市联考)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,设AC与BD交于点O,则=　　　　　. 

16.(2021天津,15)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F,则|2|的值为　　　　　,()·的最小值为　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知复数z=bi(b∈R),是纯虚数,i是虚数单位.

(1)求复数z;

(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第二象限,求实数m的取值范围.

18.(12分)(2021江苏海门第一中学高三期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,3),B(2,-2),C(4,1).

(1)若=3,求点D的坐标;

(2)设实数k满足(k+2)·=4,求实数k的值.

19.(12分)已知a=(cos x,sin x),b=(1,0),c=(4,4).

(1)若a∥(c-b),求tan x;

(2)求|a+b|的最大值,并求出对应的x的值.

20.(12分)如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且.设=a,=b.

(1)试用基底{a,b}表示;

(2)若G为长方形ABCD内部一点,且a+b,求证:E,G,F三点共线.

21.(12分)已知O为坐标原点,=(2cos x,),=(sin x+cos x,-1),若f(x)=+2.

(1)求函数f(x)图像的对称轴方程;

(2)当x∈0,时,若函数g(x)=f(x)+m有零点,求实数m的取值范围.

22.(12分)已知e1,e2是平面内的两个不共线向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.

(1)求实数λ的值;

(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标;

(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.

单元质检卷六　平面向量、复数

1.D　解析:由题意可得z==1+i.

故选D.

2.D　解析:因为a=(1,2),b=(2,x),所以a·b=1×2+2x=-1,解得x=-.

故选D.

3.A　解析:复数z=i,

则i,故选A.

4.D　解析:根据图形可设z=-1+bi,b>0,

因为|z|=,所以,解得b=2,

所以z=-1+2i,则=-1-2i,

所以=-i.

故选D.

5.B　解析:以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(0,0),E(1,1),F,∴=,=(1,1),

∴=2.

故选B.

6.C　解析:(方法1)a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),

因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,

即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=±2.

(方法2)因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,

即a2-b2=0,即|a|=|b|,所以x=±2.

故选C.

7.D　解析:因为|a-b|=,所以(a-b)2=13,即a2-2a·b+b2=13.

设a与b的夹角为θ,则3-2×2×cosθ+4=13,解得cosθ=-,

所以a与b的夹角为.

故选D.

8.D　解析:由题意,在△ABC中,,设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

利用向量的数量积的定义可知=bccos(π-A),即,

即,

即2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2,

设2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2=12k,k>0,

解得a2=5k,b2=3k,c2=4k,所以a=,b=,c=,

所以由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=∶2.

故选D.

9.ABC　解析:

=i,

当m>1时,对应的点在第一象限;

第-1<m<1时,对应的点在第二象限;

当m<-1时,对应的点在第三象限.

故选ABC.

10.AD　解析:由|2a-b|=|a+b|,得2a·b=a2,所以2(2+2m)=4+4,解得m=1,则|b|=,a·b=4.

故选AD.

11.ACD　解析:设z=a+bi(a,b∈R).

对于A,|z|2=a2+b2,z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,故A正确;

对于B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,故B错误;

对于C,|z|=1表示z在复平面内对应的点Z在以原点为圆心的单位圆上,|z+i|表示点Z与点(0,-1)之间的距离,故|z+i|的最大值为2,故C正确;

对于D,|z-1|=1表示z在复平面内对应的点Z在以(1,0)为圆心,1为半径的圆上,|z|表示点Z与原点(0,0)之间的距离,故0≤|z|≤2,故D正确.

故选ACD.

12.ABD　解析:对于A,设AB中点为D,BC中点为E,

∵+3+2=0,∴=-2(),

∴2=-4,即=2,∴P,D,E三点共线,

又DE为△ABC的中位线,∴点P在△ABC的中位线上,故A正确;

对于B,设AB中点为D,由=0,得=-,

又=2,∴=2,∴P在中线CD上,且=2,

∴P为△ABC的重心,故B正确;

对于C,∵>0,∴夹角为锐角,即A为锐角,但此时B,C有可能是直角或钝角,故无法说明△ABC为锐角三角形,故C错误;

对于D,∵,∴)+)=0,

∴+2=0,

∴P为线段BC上靠近C的三等分点,即,

∴S△ABC∶S△ABP=BC∶BP=3∶2,故D正确.

故选ABD.

13.2或-2　解析:由题意可知,向量a在b上的投影向量的数量为=,两边平方,可得=5,解得m=-2或m=2.

14.-1　解析:∵向量a=(1,m),b=(2,1),

∴2a+b=(4,2m+1).

∵b·(2a+b)=7,

∴8+2m+1=7,

解得m=-1.

15.-　解析:)·()

=)

=(12-22)=-.

16.1　　解析:设BE=x,x∈0,,∵△ABC为边长为1的等边三角形,DE⊥AB,

∴∠BDE=30°,BD=2x,DE=x,DC=1-2x.

∵DF∥AB,∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形,DE⊥DF,

∴(2)2=4+4=4x2+4x(1-2x)×cos0°+(1-2x)2=1,

∴|2|=1.

∵()·=()·()=

=(x)2+(1-2x)·(1-x)=5x2-3x+1=5x-2+,

∴当x=时,()·取最小值为.

17.解(1)∵z=bi(b∈R),∴i.

又是纯虚数,∴=0,

∴b=2,即z=2i.

(2)∵z=2i,m∈R,∴(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi.

又复数在复平面内对应的点在第二象限,∴

解得0<m<2,故实数m的取值范围为(0,2).

18.解(1)因为A(1,3),B(2,-2),C(4,1),

所以=(1,-5).设D(x,y),则=(x-4,y-1).

因为=3,

所以(1,-5)=(3x-12,3y-3),

所以解得

所以点D的坐标为,-.

(2)=(4,1),k+2=(k+8,-5k+2).

因为(k+2)·=4,所以4(k+8)+(-5k+2)=4,解得k=30.

19.解(1)c-b=(3,4),

由a∥(c-b)得4cosx-3sinx=0,

∴tanx=.

(2)∵a+b=(cosx+1,sinx),

∴(a+b)2=(cosx+1)2+sin2x=2+2cosx,

|a+b|=,

当cosx=1,即x=2kπ,k∈Z时,|a+b|取得最大值为2.

20.(1)解=b+a,

a-b.

(2)证明a+b,a-b,

a-b=2,∴共线.

又有一公共点E,

∴E,G,F三点共线.

21.解(1)∵=(2cosx,),=(sinx+cosx,-1),

∴f(x)=+2=2cosxsinx+2cos2x-+2=sin2x+cos2x+2=2sin2x++2,

令2x++kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,

故f(x)图像的对称轴方程为x=,k∈Z.

(2)∵x∈0,,g(x)=f(x)+m有零点,∴-m=f(x)在0,上有解.

∵x∈0,,∴2x+∈,∴-<sin2x+≤1,

∴f(x)∈(-+2,4],

∴实数m的取值范围为[-4,-2).

22.解(1)=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.

因为A,E,C三点共线,

所以存在实数k,使得=k,

即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.

因为e1,e2是平面内的两个不共线向量,

所以解得

(2)=-e1-e2-2e1+e2=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).

(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,

所以.

设A(x,y),则=(3-x,5-y).

因为=(-7,-2),

所以解得

即点A的坐标为(10,7).