高考数学二轮复习高考大题规范解答系列三_数列含解析

高考大题规范解答系列(三)——数列

考点一　判断等差数列和等比数列

例1 (2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

【分析】　(1)看到S2＝2，S3＝－6，想到S2＝a1＋a2，S3＝a1＋a2＋a3，利用等比数列的通项公式求解．

(2)看到判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2进行证明．

【标准答案】——规范答题　步步得分

(1)设{an}的首项为a1，公比为q.

由题设可得···········································2分

解得q＝－2，a1＝－2.··································4分

故{an}的通项公式为an＝(－2)n.···························6分

(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n，··························8分

由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n

＝2[－＋(－1)n]＝2Sn，·································11分

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.···························12分

【评分细则】　

①列出关于首项为a1，公比为q的方程组得2分．

②能够正确求出a1和q得2分，只求对一个得1分，都不正确不得分．

③正确写出数列的通项公式得2分．

④正确计算出数列的前n项和得2分．

⑤能够正确计算出Sn＋1＋Sn＋2的值得2分，得出结论2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2再得1分．

⑥写出结论得1分．

【名师点评】　

1．核心素养：数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等比数列是高考的常见题型．本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的学科素养．

2．解题技巧：(1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1、d(或q)、n、an、Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程的方法达到解题的目的．

(2)等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等．如本题采用中项法得出2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2.

〔变式训练1〕

(2021·四川省名校联盟模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．

(1)求证：数列为等比数列；

(2)求数列{an－1}的前n项和Tn.

[解析]　(1)证明：∵2Sn＝－an＋n，

当n＝1时，2a1＝－a1＋1，解得a1＝.

当n≥2时，2Sn－1＝－an－1＋n－1，

两式相减，得2an＝－an＋an－1＋1，

即an＝an－1＋.

∴an－＝，

又a1－＝－≠0，

∴数列为等比数列．

(2)由(1)知，数列是以－为首项，为公比的等比数列．

∴an－＝－n－1＝－n，

∴an＝－n＋，

∴an－1＝－n－，

∴Tn＝－＝－.

考点二　等差、等比数列的综合问题

例2 (2020·天津，19,15分)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3)．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)记{an}的前n项和为Sn，求证：SnSn＋2<S(n∈N*)；

(3)对任意的正整数n，设cn＝求数列{cn}的前2n项和．

【分析】　(1)看到求{an}和{bn}的通项公式，想到求a1，b1，公差d和公比q.

(2)看到求证SnSn＋2<S想到求出Sn并用作差比较法证明．

(3)看到数列求和且cn通项分奇、偶，因此想到分组求和．

【标准答案】——规范答题　步步得分

(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝1，a5＝5(a4－a3)，可得d＝1，              1分

从而{an}的通项公式为an＝n.·····························2分

由b1＝1，b5＝4(b4－b3)，又q≠0，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2， 3分

从而{bn}的通项公式为bn＝2n－1.··························4分

(2)证明：由(1)可得Sn＝，·······························5分

故SnSn＋2＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，S＝(n＋1)2·(n＋2)2，······6分

从而SnSn＋2－S＝－(n＋1)(n＋2)<0，所以SnSn＋2<S.··········8分

(3)当n为奇数时，cn＝＝＝－；···························9分

当n为偶数时，cn＝＝.··································10分

对任意的正整数n，有2k－1＝＝－1，·······················11分

和2k＝＝＋＋＋…＋.①·································12分

由①得2k＝＋＋…＋＋.②

由①－②得2k＝＋＋…＋－＝－－，

从而得2k＝－.········································14分

因此，k＝2k－1＋2k＝－－.

所以，数列{cn}的前2n项和为－－.·························15分

【评分细则】　

①正确写出关于d的方程，求对d得1分．

②求对an的通项公式得1分．

③正确写出关于q的一元二次方程，求对q得1分．

④求对bn的通项公式得1分．

⑤求对Sn的公式得1分．

⑥求对SnSn＋2，S得1分．

⑦求对SnSn＋2－S的结果并证出结论得2分．

⑧求对n为奇数时cn得1分．

⑨求对n为偶数时cn得1分．

⑩求对n＝2k－1时2k－1得1分．

⑪写出n＝2k时2k得1分．

⑫用错位相减法求对2k的求和得2分．

⑬求对cn的前2n项和得1分．

【名师点评】　

1．核心素养：

数列的前n项和是高考重点考查的知识点，错位相减法是高考考查的重点，突出考查“数学运算”的核心素养．

2．解题技巧：

(1)熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择．如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式．

(2)运用作差比较法证明SnSn＋2<S.

(3)本问的关键有两点：一是分类分别求cn的通项；二是当n＝2k时用错位相减法求c2k的和．

〔变式训练2〕

(2018·天津，18)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)．

①求Tn；

②证明：＝－2(n∈N*)．

[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)．

由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.

因为q>0，可得q＝2，故an＝2n－1.

设等差数列{bn}的公差为d.

由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.

由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，

从而b1＝1，d＝1，故bn＝n.

所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝n.

(2)①由(1)，有Sn＝＝2n－1，

故Tn＝(2k－1)＝k－n＝－n＝2n＋1－n－2.

②证明：因为＝

＝＝－，

所以，＝＋＋…＋＝－2.