高考数学二轮复习高考大题规范解答系列二_三角函数含解析

高考大题规范解答系列(二)——三角函数

考点一　三角函数的综合问题

　　例1 已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(cos θ，sin θ)(|θ|<)，若f(x)＝a·b，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．

(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；

(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圆的面积．

[分析]　(1)看到求f(x)的解析式，想到对a·b进行化简；看到求f(x)的单调减区间，想到y＝sin x的单调减区间；

(2)看到求△ABC外接圆的面积，想到求半径r和正弦定理．

[标准答案]——规范答题　步步得分　

(1)f(x)＝a·b＝sin 2xcos θ＋cos 2xsin θ＝sin(2x＋θ)，·····2分

∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，

∴2×＋θ＝kπ＋，k∈Z，∴θ＝kπ＋，k∈Z，

又|θ|<，∴θ＝.

∴f(x)＝sin.···········································4分

由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.····························6分

(2)∵f(A)＝sin＝，∴sin＝1.

∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，

∴2A＋＝，∴A＝.········································8分

在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋12－2×5×2cos ＝7，∴a＝. 10分

由正弦定理得＝2R＝＝2，∴R＝，

∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝7π.··························12分

[评分细则]　

①正确化简求出f(x)的解析式得2分．

②正确利用三角函数的对称轴求对θ的值，得2分．

③正确利用y＝sin x的单调减区间，求出f(x)的减区间，得2分．

④正确利用特殊角的三角函数值求对角A，得2分．

⑤正确利用余弦定理求对a的值，得2分．

⑥正确利用正弦定理求对半径r和圆的面积得2分．

[名师点评]　

1．核心素养：

三角函数问题是高考的必考问题，三角求值与求三角函数的最值、周期、单调区间是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用三角公式进行三角变换的能力，以及“数学运算”素养的达成度．

2．解题技巧：

(1)要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题f(x)＝sin必须求对．

(2)要清晰呈现求角A的过程以及用正、余弦定理求出外接圆半径r.

〔变式训练1〕

　(2021·石家庄模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f(x)＝a·b.

(1)求函数f(x)＝a·b的最小正周期；

(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f(A)＝1，求△ABC的周长．

[解析]　(1)f(x)＝sin xcos x＋cos2x

＝sin 2x＋cos 2x＋，

f(x)＝sin＋，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由题意可得sin＝，

又0<A<π，所以<2A＋<，

所以2A＋＝，故A＝.

设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A.

所以a2＝b2＋c2－bc＝7，

又sin B＝3sin C，所以b＝3c.

故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.

所以b＝3，△ABC的周长为4＋.

考点二　解三角形问题

　　例2 (2021·山东省青岛市高三模拟检测)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcos A＋a＝c.

(1)求cos B；

(2)如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，BC＝，求AB的长．

[分析]　(1)看到求cos B想到在三角形中利用边化为三角函数求解．

(2)看到求AB的长想到将AB置于三角形ABC中，利用余弦定理求解．

[标准答案]——规范答题　步步得分　

(1)在△ABC中，由正弦定理得

sin Bcos A＋sin A＝sin C，······························2分

又C＝π－(A＋B)，所以sin Bcos A＋sin A＝sin(A＋B)，

故sin Bcos A＋sin A＝sin Acos B＋cos Asin B，··············4分

所以sin Acos B＝sin A，

又A∈(0，π)，所以sin A≠0，故cos B＝.····················6分

(2)∵∠D＝2∠B，∴cos D＝2cos2B－1＝－，··················7分

又在△ACD中，AD＝1，CD＝3，

∴由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝1＋9－2×3×(－)＝12，

∴AC＝2，·············································9分

在△ABC中，BC＝，AC＝2，cos B＝，

∴由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，

即12＝AB2＋6－2·AB××，解得AB＝3.

故AB的长为3.··········································12分

[评分细则]　

①正确利用正弦定理化边为三角函数，得2分．

②正确利用两角和与差的正弦公式，得2分．

③正确化角求对cos B，得2分．

④正确利用倍角公式求对cos D，得1分．

⑤正确利用余弦定理求对AC，得2分．

⑥正确利用余弦定理求对AB，得2分．

[名师点评]　

1．核心素养：

解三角形问题是高考的必考问题，解三角形与三角函数的结合是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用公式并通过“数学运算”解决问题的能力．

2．解题技巧：

要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题(1)中正弦定理＝＝＝2R；(2)中利用余弦定理分别在△ADC和△ABC中求出AC、AB.

〔变式训练2〕

　(2020·全国Ⅱ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.

(1)求A；

(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．

[解析]　本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理．

(1)解：由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0.所以2＝0，cos A＝.由于0<A<π，故A＝.

(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A.

由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin .

即sin B－cos B＝，sin＝.

由于0<B<，故B＝.从而△ABC是直角三角形．