高中物理一轮复习课时检测23三类典型的圆周运动问题含答案

三类典型的圆周运动问题

1．有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有一长为l的细绳系有质量为m的小球。要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，则A点到水平面的高度h最大为(　　)

A.  B．ω2g

C.   D.

解析：选A　以小球为研究对象，小球受三个力的作用，重力mg、水平面支持力N、绳子拉力F，在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为mω2R，设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有：R＝htan θ，那么Fcos θ＋N＝mg，Fsin θ＝mω2htan θ；当球即将离开水平面时，N＝0，此时Fcos θ＝mg，Fsin θ＝mgtan θ＝mω2htan θ，即h＝。故A正确。

2.如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在天花板上的O点。则小球在竖直平面内摆动的过程中，以下说法正确的是(　　)

A．小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力

B．在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合力为零

C．小球在最低点C所受的合力，即为向心力

D．小球在摆动过程中绳子的拉力使其速率发生变化

解析：选C　小球摆动过程中，合力沿绳子方向的分力提供向心力，不是靠外力的合力提供向心力，故A错误。在最高点A和B，小球的速度为零，向心力为零，但是小球所受的合力不为零，故B错误。小球在最低点受重力和拉力，两个力的合力竖直向上，合力等于向心力，故C正确。小球在摆动的过程中，由于绳子的拉力与速度方向垂直，则拉力不做功，拉力不会使小球速率发生变化，故D错误。

3．如图所示，内壁光滑的半球形容器固定放置，其圆形顶面水平。两个完全相同的小球a、b分别沿容器内壁，在不同的水平面内做匀速圆周运动。下列判断正确的是(　　)

A．a对内壁的压力小于b对内壁的压力

B．a的周期小于b的周期

C．a的角速度小于b的角速度

D．a的向心加速度与b的向心加速度大小相等

解析：选B　小球在半球形容器内做匀速圆周运动，圆心在水平面内，受到自身重力mg和内壁的弹力N，方向指向半球形的球心。受力如图，由几何关系可知N＝，设球体半径为R，则圆周运动的半径Rsin θ，向心力mgtan θ＝mRsin θ·ω2＝ma，得到角速度ω＝ ，向心加速度a＝gtan θ。小球a的弹力和竖直方向夹角θ大，所以a对内壁的压力大，a球的角速度大，选项A、C错误；周期T＝，则a球的周期小，选项B正确；a球的向心加速度大，D错误。

4．如图，广州塔摩天轮位于塔顶450米高空处，摩天轮由16个“水晶”观光球舱组成，沿着倾斜的轨道做匀速圆周运动，则坐于观光球舱中的某游客(　　)

A．动量不变  B．线速度不变

C．合外力不变  D．机械能不守恒

解析：选D　坐于观光球舱中的某游客线速度的大小不变，但方向不断改变，可知动量也不断变化，线速度不断改变；由于向心加速度方向不断变化，可知合外力方向不断改变，但大小不变，选项A、B、C错误；由于动能不变，重力势能不断变化，可知机械能不守恒，选项D正确。

5．飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼向内侧倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力。设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T。下列说法正确的是(　　)

A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R增大

B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T增大

C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大

D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T一定不变

解析：选C　向心力F＝mgtan θ＝m，可知若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小，由v＝可知周期T减小，选项A、B错误；由mgtan θ＝m，可知若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大，选项C正确；由mgtan θ＝m，可知若飞行速率v增大，θ增大，则半径R的变化情况不能确定，由mgtan  θ＝R2，可知周期T的变化情况不能确定，选项D错误。

6．(多选)如图，一长为L的轻质细杆一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点转动。现使轻杆在同一竖直面内做匀速转动，测得小球的向心加速度大小为g(g为当地的重力加速度)，下列说法正确的是(　　)

A．小球的线速度大小为

B．小球运动到最高点时杆对小球的作用力竖直向上

C．当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球的作用力方向不可能指向圆心O

D．轻杆在匀速转动过程中，轻杆对小球作用力的最大值为2mg

解析：选ACD　根据a＝＝g得：v＝，故A项正确；小球做匀速圆周运动，加速度为g，所以小球在最高点的加速度为g，在最高点F合＝mg，所以小球运动到最高点时杆对小球的作用力为0，故B项错误；当轻杆转到水平位置(图中虚线bOb′)时，轻杆对小球的作用力和重力的合力指向圆心，重力方向竖直向下，若轻杆对小球的作用力指圆心O，则合力不能指向圆心，故C项正确；在最低点轻杆对小球的作用力最大，即F－mg＝ma，解得F＝2mg，故D项正确。

7．如图所示，斜轨道与半径为R的半圆轨道平滑连接，点A与半圆轨道最高点C等高，B为轨道的最低点。现让小滑块(可视为质点)从A点开始以速度v0沿斜面向下运动，不计一切摩擦，关于滑块运动情况的分析，正确的是(　　)

 A．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做自由落体运动

B．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做平抛运动

C．若v0＝，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做自由落体运动

D．若v0＝，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做平抛运动

解析：选D　设小滑块通过C点的最小速度为vC，由mg＝m，得vC＝，由机械能守恒定律，若在A点v0＝0，则vC＝0，实际上滑块在到达C点之前就离开轨道做斜上抛运动了，A、B错；若v0＝，小滑块通过C点后将做平抛运动，C错、D正确。

8．如图所示，一内壁光滑、质量为m、半径为r的环形细圆管(管的内径相对于环半径可忽略不计)用硬杆竖直固定在地面上。有一质量为m的小球可在圆管中运动(球直径略小于圆管直径，可看做质点)，小球以速率v0经过圆管最高点时，恰好对管壁无压力，则当小球运动到最低点时，硬杆对圆管的作用力大小为(　　)

A．m  B．2mg＋m

C．6mg  D．7mg

解析：选D　小球在最高点时有mg＝m

小球从最高点运动到最低点的过程，由机械能守恒定律得2mgr＋mv02＝mv2

在最低点，由牛顿第二定律有N－mg＝m

联立解得N＝6mg

以圆管为研究对象，由平衡条件得硬杆对圆管的作用力大小FN＝mg＋N＝7mg。

9．现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力。不计空气阻力，取g＝10 m/s2。

(1)在小球以速度v1＝4 m/s水平向右抛出的瞬间，绳中的张力大小为多少？

(2)在小球以速度v2＝1 m/s水平向右抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间。

(3)接(2)问，当小球摆到最低点时，绳子拉力的大小是多少？

解析：(1)绳子刚好无拉力时对应的临界速度满足mg＝m，解得v临界＝ m/s。因为v1>v临界，所以绳子有拉力且满足mg＋T1＝m，解得T1＝3 N。

(2)因为v2<v临界，所以绳子无拉力，小球以v2的初速度做平抛运动，设经过时间t后绳子再次伸直，

则满足方程 x2＋(y－L)2＝L2

其中x＝v2t，y＝gt2，解得t＝0.6 s。

(3)当t＝0.6 s时，可得x＝0.6 m，y＝1.8 m，小球在O点右下方位置，且O点和小球的连线与竖直方向的夹角满足tan α＝＝，此时速度的水平分量与竖直分量分别为vx＝v2＝1 m/s，vy＝gt＝6 m/s

绳伸直的一瞬间，小球的速度沿绳方向的分量突变为零，只剩下垂直于绳子方向的速度，

v3＝vysin α－vxcos α＝ m/s

接着小球以v3为初速度绕着O点做圆周运动摆到最低点，设在最低点速度为v，则由动能定理得

 mgL(1－cos α)＝mv2－mv32，又T－mg＝m，

解得T＝ N。

答案：(1)3 N　(2)0.6 s　(3) N

[潜能激发]

10.如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg·2R＝mv2－mv12，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有：x＝v1t,2R＝gt2，求得x＝，因此当R－＝0，即R＝时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误。

11．(多选)如图所示，支架固定在底座上，它们的总质量为M。质量分别为2m和m的小球A、B(可视为质点)固定在一根长度为L的轻杆两端，该轻杆通过光滑转轴O安装在支架的横梁上，O、A间的距离为，两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动，运动过程中支架和底座一直保持静止。当转动到图示竖直位置时，小球A的速度为v，重力加速度为g，对于该位置有(　　)

A．小球A、B的加速度大小相等

B．小球A、B的向心力大小相等

C．若v＝ ，则底座对水平地面的压力为Mg＋3mg

D．若v＝，则底座对水平地面的压力为Mg＋

解析：选BC　两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动，所以两小球的角速度相同，根据a＝ω2r可知小球A、B的加速度之比为aA∶aB＝1∶2，故A错误；根据F＝mω2r可知A、B的向心力之比为FA∶FB＝1∶1，故B正确；若v＝ 时，对A分析则有2mg－FA＝，解得轻杆对A的支持力为FA＝0，根据v＝ωr可知vB＝2 ，对B分析则有FB－mg＝，解得轻杆对B的拉力为FB＝3mg，以底座和轻杆为研究对象，水平地面对底座的支持力为FN＝Mg＋3mg，由牛顿第三定律可知底座对水平地面的压力为Mg＋3mg，故C正确；若v＝时，对A分析则有2mg－FA′＝，解得轻杆对A的支持力为FA′＝mg，根据v＝ωr可知vB′＝，对B分析则有FB′－mg＝，解得轻杆对B的拉力为FB′＝mg，以底座和轻杆为研究对象，水平地面对底座的支持力为FN＝Mg＋3mg，由牛顿第三定律可知底座对水平地面的压力为Mg＋3mg，故D错误。

12.如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，ON与OA的夹角为θ(0<θ<π)，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。

(1)求小球初速度的大小v0；

(2)求小球绕钉子做圆周运动的半径r与θ的关系式；

(3)在细线被拉断后，小球继续向前运动，试判断它能否通过A点。若能，请求出细线被拉断时θ的值；若不能，请通过计算说明理由。

解析：(1)设小球运动到最高点时速度为v1，在最高点，重力恰好提供向心力，

所以mg＝

根据动能定理，对球从A点到最高点，

有－mg·2L＝mv12－mv02

解得v0＝。

(2)以N为圆心，设最低点为M，小球运动到最低点M时速度为v，有7mg－mg＝

对小球从A运动到M的过程应用动能定理

－mgΔh＝mv2－mv02

Δh＝L－r－(L－r)cos θ

解得r＝ L。

(3)假设能通过A点，则竖直方向：Δh＝gt2

水平方向：(L－r)sin θ＝vt

解得cos θ＝－，与cos θ∈[－1,1]矛盾，所以假设不成立，不能通过A点。

答案：(1)　(2)r＝ L　(3)见解析