2023年新教材高考数学二轮复习高考解答题专项二三角函数中的综合问题含解析新人教B版

高考解答题专项二　三角函数中的综合问题

1.(2021山东临沂高三二模)在①x=是函数f(x)图像的一条对称轴,②是函数f(x)的一个零点,③函数f(x)在[a,b]上单调递增,且b-a的最大值为这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.

已知函数f(x)=2sin ωxcosωx--(0<ω<2),　　　　　,求f(x)在-上的单调递减区间. 

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

2.(2021湖南怀化高三二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足.

(1)求角A;

(2)若a=,b=3,求△ABC的面积.

3.(2021天津静海一中高三月考)已知锐角三角形ABC的三个角A,B,C所对的边为a,b,c,在①bcos C+bsin C=a+c;②2bsin A=a;③sin A(c-a)=(c-b)(sin C+sin B)三个条件中任选一个完成下列问题(如果使用多个条件按第一个解法计分).

(1)求B;

(2)若b=2,△ABC的面积为,求a,c.

4.平面凸四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AD=3,AB=4.

(1)若∠ABC=45°,求CD;

(2)若BC=2,求AC.

5.(2021江苏徐州高三二模)若f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的部分图像如图所示,f(0)=,f=0.

(1)求f(x)的解析式;

(2)在锐角三角形ABC中,若A>B,f=,求cos,并证明sin A>.

6.(2021河南郑州高三三模)在△ABC中,AB=2AC,点D在BC边上,AD平分∠BAC.

(1)若sin∠ABC=,求cos∠BAC;

(2)若AD=AC,且△ABC的面积为,求BC.

高考解答题专项二　三角函数中的综合问题

1.解f(x)=2sinωxcosωx--=2sinωxcosωxcos+sinωxsin-

=cosωxsinωx+sin2ωx-sin2ωx-cos2ωx=sin2ωx-.

①若x=-是函数f(x)图像的一条对称轴,

则-=kπ+(k∈Z),即-=kπ+(k∈Z),

因此ω=-3k-2(k∈Z).又0<ω<2,所以当k=-1时,ω=1,则f(x)=sin2x-.

②若是函数f(x)的一个零点,

则×2ω-=kπ,即ω=kπ+(k∈Z),

因此ω=6k+1(k∈Z).又0<ω<2,所以当k=0时,ω=1,所以f(x)=sin2x-.

③若f(x)在[a,b]上单调递增,且b-a的最大值为,

则T=π=,故ω=1,所以f(x)=sin2x-.

由+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

令k=0,得≤x≤;令k=-1,得-≤k≤-.

又-≤x≤,

所以f(x)在-上单调递减区间为-,-,.

2.解(1)由及正弦定理可知,,

所以,因此2cosA=1.又A∈(0,π),所以A=.

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得13=9+c2-3c,

所以c2-3c-4=0,即(c-4)(c+1)=0,解得c=4.

从而S△ABC=bcsinA=×3×4×=3.

3.解(1)若选①,由正弦定理得sinBcosC+sinBsinC=sinA+sinC=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC.

因为C为三角形内角,sinC≠0,所以sinB-cosB=1,sinB-=.

因为-<B-,则B-,即B=.

若选②,由正弦定理得sinB=,因为B是锐角,所以B=.

若选③,由正弦定理得a(c-a)=(c-b)(c+b)=c2-b2,即a2+c2-b2=ac,

所以cosB=.因为B为锐角,所以B=.

(2)由已知S=acsinB=ac=,得ac=4.

又a2+c2-b2=2accosB,即a2+c2-4=ac,解得a=c=2.

4.解(1)连接BD,在Rt△BAD中,由AB=4,AD=3,∠BAD=90°,

得BD=5,∴sin∠ABD=,cos∠ABD=.

∵∠ABC=45°,∴∠DBC=45°-∠ABD,

∴sin∠DBC=sin45°·cos∠ABD-cos45°·sin∠ABD=.

在Rt△BCD中,由∠BCD=90°,知CD=BD·sin∠DBC=5×.

(2)连接AC,由(1)知BD=5,

在Rt△ABD中易知sin∠ABD=,cos∠ABD=.

在Rt△BCD中,由BC=2,BD=5,得CD=.

易知sin∠CBD=,cos∠CBD=.

∴cos∠ABC=cos(∠ABD+∠CBD)=cos∠ABD·cos∠CBD-sin∠ABD·sin∠CBD

=.

在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=42+-2×4×2=20,

∴AC=2.

5.解(1)由f(0)=,得sinφ=.又0<φ<,故φ=.

由f=0,得sinω·=0,所以ω·=2kπ+π(k∈Z),

即ω=2+(k∈Z).

由ω>0,结合函数图像可知,所以0<ω<.

又k∈Z,所以k=0,从而ω=2,因此f(x)=sin2x+.

(2)由f=sin(A-B)=,

因为0<B<A<,所以0<A-B<,故cos(A-B)=.

因为cos(A-B)=2cos2-1,于是cos.

所以sin.

又A+B>,故A=.

又y=sinx在0,上单调递增,且A∈0,,∈0,,

所以sinA>sin=sincos+cossin×=.

6.解(1)令△ABC的边AC,AB,BC为b,c,a,由题意可得c=2b,

∵AB>AC,∴∠ABC<∠ACB,

∴∠ABC为锐角,即cos∠ABC=.

∵,∴sin∠ACB=.

∵∠ACB∈(0,π),∴cos∠ACB=±.

∴cos∠BAC=-cos(∠ABC+∠ACB)

=sin∠ABCsin∠ACB-cos∠ABCcos∠ACB.

当cos∠ACB=时,cos∠BAC==0.

当cos∠ACB=-时,cos∠BAC=.所以cos∠BAC=0或.

(2)设∠CAD=∠DAB=θ,由于S△ABC=S△ACD+S△ADB,

所以AC·ADsinθ+AB·ADsinθ=AB·ACsin2θ,

由AD=AC,AB=2AC可得3sinθ=4sinθcosθ.

因为sinθ≠0,则cosθ=,sinθ=,

S△ABC=AC·ABsin2θ=b2sin2θ=2b2sinθcosθ=,

解得b2=.又cos2θ=2cos2θ-1=,

∴a==2,即BC=2.