2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练10指数与指数函数含解析新人教B版

课时规范练10　指数与指数函数

基础巩固组

1.(2021陕西西安高三期中)已知3a-1+3a-2+3a-3=117,则(a+1)(a+2)(a+3)=(　　)

A.120 B.210 C.336 D.504

2.(2021江苏镇江高三月考)已知函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图像如图所示,则下列结论不正确的是(　　)

A.ab>1 B.ln(a+b)>0

C.2b-a<1 D.ba>1

3.(2021河北唐山高三二模)不等式x≤的解集是 (　　)

A.0, B.,+∞

C.0, D.,+∞

4.(2021北京通州高三一模)著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1℃,空气温度为θ0℃,则t min后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt(其中k为常数,e=2.718 28…).现有某物体放在20 ℃的空气中冷却,2 min后测得物体的温度为52 ℃,再经过6 min后物体的温度冷却到24 ℃,则该物体初始温度是(　　)

A.80 ℃ B.82 ℃ C.84 ℃ D.86 ℃

5.(2021北京高三二模)已知指数函数f(x)=ax,将函数f(x)的图像上的每个点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的3倍,得到函数g(x)的图像,再将g(x)的图像向右平移2个单位,所得图像恰好与函数f(x)的图像重合,则实数a的值是(　　)

A. B. C. D.

6.(2021浙江宁海中学高三模拟)已知log2a=0.5a=0.2b,则(　　)

A.a<1<b B.1<a<b

C.b<1<a D.1<b<a

7.(多选)(2021湖南长沙高三月考)已知函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1,b≠0)的图像不经过第三象限,则(　　)

A.0<a<1,b<0 

B.0<a<1,0<b≤1

C.a>1,b<0 

D.a>1,0<b≤1

8.(多选)(2021山东济南高三二模)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)为奇函数 

B.f(x)为减函数

C.f(x)有且只有一个零点 

D.f(x)的值域为[-1,1)

9.(2021广东汕头高三模拟)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m∈R)为偶函数,则不等式f(x)<1的解集为　　　　　. 

综合提升组

10.(2021陕西宝鸡高三一模)已知函数f(x)=+ax+1(a∈R),则f(2 021)+f(-2 021)=(　　)

A.-2a+2 021 B.2a

C.4 D.4 042

11.(多选)(2021浙江宁波高三期末)函数f(x)=2x+(a∈R)的图像可能为(　　)

12.(多选)(2021北京延庆高三模拟)同学们,你们是否注意到:自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=aex+be-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.718 28…),对于函数f(x),下列结论正确的是(　　)

A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数

B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数

C.如果ab>0,那么函数f(x)没有零点

D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为2

13.(2021广东汕头高三三模)函数y=ax-3+1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,其中m>0,n>0,则mn的最大值为　　　　　. 

创新应用组

14.(2021山东日照高三一模)已知函数f(x)=(a≥3),若对任意的x1,x2,x3∈R,总有f(x1),f(x2),f(x3)为某一个三角形的边长,则实数a的取值范围是　　　　　. 

15.(2021四川自贡高三三模)函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+2g(x)=ex,若对任意x∈(0,2],不等式f(2x)-mg(x)≥0成立,则实数m的取值范围是　　　　　. 

课时规范练10　指数与指数函数

1.C　解析:3a-1+3a-2+3a-3=3a-3(9+3+1)=117,得3a-3=9,即a=5,所以(a+1)(a+2)(a+3)=336.

2.D　解析:由图像可得a>1,0<b<1,所以b-a<0,2b-a<1,ab>1,a+b>1,ln(a+b)>0,0<ba<1.因此只有D不正确,故选D.

3.B　解析:

在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=x和y=的图像,如图所示:当x=时,解得x=,由图像知x≤的解集是,+∞,故选B.

4.C　解析:第二次冷却时θ1=52℃,θ0=20℃,t=6,θ=24℃,即24=20+(52-20)e-6k,解得k=;第一次冷却时θ=52℃,θ0=20℃,t=2,即52=20+(θ1-20),解得θ1=84(℃),即该物体初始温度是84℃.

5.D　解析:由题意可得g(x)=3ax,再将g(x)的图像向右平移2个单位,得到函数f(x)=3ax-2,又因为f(x)=ax,所以ax=3ax-2,整理可得a2=3,因为a>0,且a≠1,解得a=,故选D.

6.C　解析:因为log2a=0.5a>0,则a>1,此时log2a=0.5a<1,则有a<2,即1<a<2,又因为0.5a=0.2b⇔⇔5b=2a,而2<2a<4,即5b<4<5,b<1,所以b<1<a.故选C.

7.ABC　解析:当0<a<1时,y=ax在定义域R上为减函数,由题意可知y=ax的图像可上下平移,若向上平移,则-b>0,所以b<0;若向下平移,则0<b≤1,A,B项正确;当a>1时,y=ax在R上为增函数,由题意可知y=ax的图像只能向上平移,所以-b>0,即b<0,C项正确,D项错误,故选ABC.

8.AC　解析:因为f(x)的定义域为R,f(-x)==-f(x),故f(x)为奇函数,又因为f(x)==1-,所以f(x)在R上单调递增.因为2x>0,所以2x+1>1,所以0<<2,所以-2<-<0,所以-1<f(x)<1,即函数f(x)的值域为(-1,1),令f(x)==0,即2x=1,解得x=0,故函数有且只有一个零点.综上可知,A,C正确,B,D错误.

9.(-1,1)　解析:因为函数f(x)=2|x-m|-1(m∈R)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即2|-x-m|-1=2|x-m|-1,即2|-x-m|=2|x-m|,则|-x-m|=|x-m|,即|x+m|=|x-m|,解得m=0,则f(x)=2|x|-1,由f(x)<1得2|x|-1<1得2|x|<2,即|x|<1,解得-1<x<1,即不等式的解集为(-1,1).

10.C　解析:因为f(x)=+ax+1(a∈R),所以f(2021)+f(-2021)=+2021a+1+-2021a+1=+2=+2=4,故选C.

11.ABD　解析:当a=0时,f(x)=2x,选项A的图像满足;当a=1时,f(x)=2x+,f(0)=2,且f(-x)=f(x),此时函数是偶函数,其图像关于y轴对称,选项B的图像满足;当a=-1时,f(x)=2x-,f(0)=0,且f(-x)=-f(x),此时函数是奇函数,其图像关于原点对称,选项D的图像满足;选项C的图像过点(0,1),此时a=0,故选项C的图像不满足,故选ABD.

12.BC　解析:对A,当a=b时,f(x)=ae-x+aex,此时f(-x)=aex+ae-x=f(x),函数f(x)为偶函数,故A错误.对B,当ab<0时,令a>0,b<0,函数y=aex在其定义域上单调递增,函数y=在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=aex+在其定义域上单调递增;当a<0,b>0时,函数y=aex在其定义域上单调递减,函数y=在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=aex+在其定义域上单调递减.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数,故B正确.对C,当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+be-x≥2=2>0,当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-aex-be-x)≤-2=-2<0.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点,故C正确.对D,由ab=1,则b=,当a<0,b<0时,函数f(x)=--aex-e-x≤-2=-2;当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+e-x≥2=2,故D错误.

13.　解析:因为函数y=ax-3+1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,所以点A为(3,2).又因为点A在直线mx+ny-1=0上,所以3m+2n=1.又因为m>0,n>0,所以1=3m+2n≥2,所以mn≤,当且仅当时等号成立,所以mn的最大值为.

14.[3,6]　解析:由题意可得,∀x1,x2,x3∈R,f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立,只需2f(x)min>f(x)max.f(x)==3+,当a=3时,f(x)=3,满足题意;当a>3时,f(x)在R上单调递减,3<f(x)<a,故需2×3≥a,即3<a≤6.综上所述,实数a的取值范围是[3,6].

15.(-∞,4]　解析:根据题意,函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+2g(x)=ex,              ①

可得f(-x)+2g(-x)=e-x,即f(x)-2g(x)=e-x, ②

联立①②,解得f(x)=(ex+e-x),g(x)=(ex-e-x).设t=ex-e-x,由x∈(0,2],可得ex∈(1,e2],

由t=ex-e-x在(0,2]上单调递增,可得t∈(0,e2-e-2],对任意的x∈(0,2],不等式f(2x)-mg(x)≥0成立,即m≤=2×=2×=2×t+,

又由t∈(0,e2-e-2],则t+≥2,当且仅当t=时等号成立,则=2×=2×=2×t+的最小值为4,若m≤在(0,2]上恒成立,必有m≤4,即m的取值范围为(-∞,4].