2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练31平面向量的数量积与平面向量的应用含解析新人教B版

这是一份2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练31平面向量的数量积与平面向量的应用含解析新人教B版，共8页。试卷主要包含了已知向量a=,b=,则，已知向量a=,b=,c=等内容，欢迎下载使用。
1.(2021河北石家庄一模)设向量a=(1,2),b=(m,-1),且(a+b)⊥a,则实数m=( )
A.-3B.32C.-2D.-32
2.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=2,则BC·AD=( )

A.-1B.1C.2D.2
3.(2021广东珠海二模)已知向量a,b满足|a|=2,a·b=-1,且(a+b)·(a-b)=3,则|a-b|=( )
A.3B.3C.7D.7
4.在△ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x>0),则当BC最小时,∠ACB=( )
A.90°B.60°
C.45°D.30°
5.(多选)(2021湖南衡阳二模)已知向量a=(1,x-1),b=(x,2),则( )
A.a≠bB.若a∥b,则x=2
C.若a⊥b,则x=23D.|a-b|≥2
6.(多选)已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m0,当x=35时,ymin=165,此时BC最小,
∴CA=35,-65,CB=85,45,CA·CB=35×85-65×45=0,
∴CA⊥CB,即∠ACB=90°,故选A.
5.ACD 解析:显然a≠b,故A正确;
由a∥b得1×2=(x-1)x,解得x=2或x=-1,故B错误;
由a⊥b得x+2(x-1)=0,解得x=23,故C正确;
|a-b|2=(1-x)2+(x-3)2=2(x-2)2+2≥2,则|a-b|≥2,故D正确.
故选ACD.
6.AC 解析:将a=(1,2),b=(m,1)代入b·(a+b)=3,得(m,1)·(1+m,3)=3,得m2+m=0,解得m=-1或m=0(舍去),所以b=(-1,1),所以|b|=(-1)2+12=2,故A正确;因为2a+b=(1,5),a+2b=(-1,4),1×4-(-1)×5=9≠0,所以2a+b与a+2b不平行,故B错误;设向量2a-b与a-2b的夹角为θ,因为2a-b=(3,3),a-2b=(3,0),所以csθ=(2a-b)·(a-2b)|2a-b||a-2b|=22,所以θ=π4,故C正确;向量a在向量b上的投影向量的数量为a·b|b|=12=22,故D错误.故选AC.
7.35 解析:由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=35.
8.解(1)b+c=(csβ-1,sinβ),
则|b+c|2=(csβ-1)2+sin2β=2(1-csβ).
因为-1≤csβ≤1,
所以0≤|b+c|2≤4,
即0≤|b+c|≤2.
当csβ=-1时,有|b+c|=2,
所以向量b+c的模的最大值为2.
(2)若α=π4,则a=22,22.
又由b=(csβ,sinβ),c=(-1,0)得
a·(b+c)=22,22·(csβ-1,sinβ)=22csβ+22sinβ-22.
因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0,
即csβ+sinβ=1,所以sinβ=1-csβ,
平方后化简得csβ(csβ-1)=0,
解得csβ=0或csβ=1.
经检验csβ=0或csβ=1即为所求.
9.BD 解析:由于△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC=0,
所以3OA+4OB=-5OC,两边平方并化简得25+24OA·OB=25,解得OA·OB=0;
3OA+5OC=-4OB,两边平方并化简得34+30OA·OC=16,解得OA·OC=-35;
4OB+5OC=-3OA,两边平方并化简得41+40OB·OC=9,解得OB·OC=-45.
所以∠BOC≠90°,故A错误;∠AOB=90°,故B正确;
OB·CA=OB·(OA-OC)=OB·OA-OB·OC=45,故C错误;
OC·AB=OC·(OB-OA)=OC·OB-OC·OA=-45--35=-15,故D正确.故选BD.
10.ABC 解析:设P(x,y),由AP=λAB(0≤λ≤1),得(x-1,y)=λ(-1,1)=(-λ,λ),
所以x-1=-λ,y=λ,得P(1-λ,λ).
由OP·AB≥PA·PB,得(1-λ,λ)·(-1,1)≥(λ,-λ)·(λ-1,1-λ),
即λ-1+λ≥λ(λ-1)-λ(1-λ),
2λ-1≥2λ2-2λ,2λ2-4λ+1≤0,解得1-22≤λ≤1+22,
又因为0≤λ≤1,所以1-22≤λ≤1.
故选ABC.
11.2+1 解析:由|a|=|b|=1,且a·b=0,
建立如图所示平面直角坐标系,
设OA=a,OB=b,则a=(1,0),b=(0,1),
再设c=(x,y),则c-a-b=(x-1,y-1),
故|c-a-b|=(x-1)2+(y-1)2,其几何意义为以O为圆心的单位圆上的动点与定点P(1,1)间的距离.
则其最大值为|OP|+1=12+12+1=2+1.
12.14 [0,1] 解析:△ABC为等腰直角三角形,CO为斜边上的高,
则CO为边AB上的中线,所以AC=BC=2,AO=BO=CO=1.
当P为线段OC的中点时,在△ACO中,AP为边CO上的中线,
则AP=12(AC+AO),
所以AP·OP=12(AC+AO)·OP=12(AC·OP+AO·OP)
=12|AC|·|OP|cs45°+0=12×2×12×22=14.
当P为线段OC上的动点时,设OP=λOC,0≤λ≤1,
AP·OP=(AC+CP)·OP=AC·OP+CP·OP
=λOC·AC-(1-λ)OC·(λOC)
=λ×1×2×22-(1-λ)·λ=λ-λ+λ2=λ2∈[0,1],
所以AP·OP的取值范围为[0,1].
13.C 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3).
设P(4,a)(3≤a≤4),Q4+t,43t(0≤t≤3),
则AP=(4,a-3),AQ=4+t,43t-3,
AP·AQ=4(4+t)+(a-3)43t-3=16+4t+43at-4t-3a+9=25+43at-3a=25+43t-3·a.
-3≤43t-3≤1,3≤a≤4,所以当43t-3=1,a=4时,
AP·AQ取得最大值为25+1×4=29.
故选C.
14.12π 24+163 解析:以经过A,B的直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,
则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),因为|PA||PB|=3,
所以(x+2)2+y2(x-2)2+y2=3,化简整理可得(x-4)2+y2=12,
所以点P的轨迹为圆,圆心为C(4,0),半径r=23,故其面积为12π.
PA·PB=x2-4+y2=|OP|2-4,OP即为圆C上的点到坐标原点的距离.
因为OC=4,所以OP的最大值为OC+r=4+23,
所以PA·PB的最大值为(4+23)2-4=24+163.