2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练43双曲线含解析新人教B版

这是一份2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练43双曲线含解析新人教B版，共7页。试卷主要包含了双曲线C，已知曲线C，已知双曲线C，已知F1,F2分别是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

1.(2021全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x216-y29=1的一条渐近线的距离为( )
A.95B.85C.65D.45
2.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为( )
A.x2-y23=1B.x23-y2=1
C.x2-3y23=1D.3x23-y2=1
3.已知双曲线x2a+4-y2a-4=1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍,则实数a=( )
A.5B.6C.8D.9
4.(2021山东济南一模)已知双曲线x2m+1-y2m=1(m>0)的渐近线方程为x±3y=0,则m=( )
A.12B.3-1C.3+12D.2
5.(2021山东淄博一模)定义实轴长与焦距之比为黄金数5-12的双曲线叫黄金双曲线,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)是黄金双曲线,则a2b2等于( )
A.5-12B.3-52C.5-22D.9-454
6.(多选)(2021河北张家口三模)已知方程x2m2-2+y2m2+2=1表示的曲线是双曲线,其离心率为e,则( )
A.-2B.点(2,0)是该双曲线的一个焦点
C.1D.该双曲线的渐近线方程可能为x±2y=0
7.(多选)(2020山东,9)已知曲线C:mx2+ny2=1.( )
A.若m>n>0,则曲线C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则曲线C是圆,其半径为n
C.若mn<0,则曲线C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnx
D.若m=0,n>0,则曲线C是两条直线
8.(2021全国乙,理13)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则双曲线C的焦距为 .
9.已知双曲线有一个焦点F(0,-2),它的离心率是方程2x2-5x+2=0的一个根,则双曲线的标准方程是 .
综合提升组
10.(2021山东滨州二模)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.(1,2)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(2,3)
11.(多选)(2021福建漳州模拟)已知直线y=x与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)无公共点,则双曲线离心率可能为( )
A.1B.2C.62D.3
12.(多选)(2021广东广州天河三模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,A,B分别是双曲线C的左、右顶点,点P是双曲线C的右支上位于第一象限内的动点,记PA,PB的斜率分别为k1,k2,则( )
A.双曲线C的焦点到其一条渐近线的距离为1时,双曲线C的方程为x24-y2=1
B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
C.k1k2为定值
D.存在点P,使得k1+k2=1
13.(2021山东泰安三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点O是坐标原点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,PF1交双曲线的另一条渐近线于点Q,且满足3F1Q=2F1P,则双曲线的渐近线的斜率为 .
14.(2021浙江绍兴模拟)已知双曲线C1:x24-y2b2=1(b>0)的右焦点为F,其一条渐近线的方程为5x-2y=0,点P为双曲线C1与圆C2:(x+3)2+y2=r2(r>0)的一个交点,若|PF|=4,则双曲线C1的离心率为 ,r= .
创新应用组
15.
(2021山东临沂二模)点F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作直线AB⊥F1F2交双曲线C于A,B两点,现将双曲线所在平面沿直线F1F2折成平面角为锐角α的二面角,如图,翻折后A,B两点的对应点分别为A',B',∠A'F1B'=β,若1-csα1-csβ=2516,则双曲线C的离心率为( )
A.173B.3C.2D.3
课时规范练43 双曲线
1.A 解析:由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为|3×3-4×0|32+(-4)2=95.故选A.
2.A 解析:因为e=ca=2,所以c=2a,b=c2-a2=3a,所以双曲线的方程为x2a2-y23a2=1.
将点(2,3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2-33a2=1a2=1,解得a=1,所以b=3,
所以双曲线的方程为x2-y23=1.
故选A.
3.A 解析:因为双曲线x2a+4-y2a-4=1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍,所以a+4=3a-4,解得a=5.故选A.
4.A 解析:∵渐近线y=±bax=±33x,
∴ba=33,∴b2a2=mm+1=13,∴m=12.
故选A.
5.A 解析:由题可知2a2c=5-12,
所以2a2=(3-5)c2=(3-5)(a2+b2),
解得a2b2=5-12.故选A.
6.AC 解析:对于A,因为方程x2m2-2+y2m2+2=1表示的曲线是双曲线,所以(m2-2)(m2+2)<0,解得-2对于B,x2m2-2+y2m2+2=1可化为y2m2+2-x22-m2=1,所以双曲线的焦点在y轴上,故选项B错误;
对于C,因为2≤m2+2<4,所以e2=4m2+2∈(1,2],故选项C正确;
对于D,因为双曲线的渐近线斜率的平方k2=m2+22-m2≥1,所以选项D错误.
故选AC.
7.ACD 解析:∵m>n>0,∴1n>1m>0.
∵mx2+ny2=1,∴x21m+y21n=1,∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确;
∵m=n>0,∴x2+y2=1n,即曲线C是圆,
∴r=nn,故B错误;
由mx2+ny2=1,得x21m+y21n=1.
∵mn<0,1m与1n异号,∴曲线C是双曲线.
令mx2+ny2=0,可得y2=-mnx2,即y=±-mnx,故C正确;
当m=0,n>0时,有ny2=1,得y2=1n,即y=±nn,表示两条直线,故D正确.故选ACD.
8.4 解析:由双曲线方程可知其渐近线方程为xm±y=0,即y=±1mx,得-3m=-1m,
解得m=3,可得C的焦距为2m+1=4.
9.y2-x23=1 解析:由2x2-5x+2=0得x1=2,x2=12.
因为双曲线的离心率e>1,所以e=2.
由题可得c=2,所以e=ca=2,解得a=1,
所以b=c2-a2=3.
因为双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y2-x23=1.
10.A 解析:在△PF1F2中,因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以|PF1|=3|PF2|.
又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,
所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a.
在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|得3a+a>2c,
即2a>c,所以e=ca<2.
又e>1,所以1故选A.
11.BC 解析:双曲线的一条渐近线为y=bax.
因为直线y=x与双曲线无公共点,故有0即b2a2=c2-a2a2=e2-1∈(0,1],
所以1故选BC.
12.AC 解析:因为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,所以e=ca=52,ba=ca2-1=12,所以双曲线C的渐近线方程为y=±12x,B不符合题意;
因为双曲线的焦点(c,0)到渐近线的距离为1,
所以b=1.
又ba=12,所以a=2,所以双曲线方程为x24-y2=1,A符合题意;
因为A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),
则k1k2=yx+a·yx-a=y2x2-a2=b2a2=14,C符合题意;
k1+k2=yx+a+yx-a=2xyx2-a2=2y2x2-a2·xy=12·xy.因为点P在第一象限,渐近线方程为y=±12x,所以02,所以k1+k2>1,所以不存在点P,使得k1+k2=1,D不符合题意.
故选AC.
13.±3 解析:不妨设直线PF2垂直于渐近线y=bax,由y=bax,y=-ab(x-c),解得点Pa2c,abc.
又F1Q=23F1P,且F1(-c,0),所以Q2a2-c23c,2ab3c.
又点Q在直线y=-bax上,所以2ab3c=-ba2a2-c23c,所以b2=3a2.故双曲线的渐近线的斜率为±3.
14.32 8 解析:因为a=2,一条渐近线的方程为5x-2y=0,所以b=5,所以c=a2+b2=3,
所以双曲线C1的离心率为e=ca=32.
由上可知圆C2的圆心为双曲线C1的左焦点,设双曲线C1的左焦点为F2.
因为|PF|=4又|PF2|-|PF|=2a=4,所以r=|PF2|=8.
15.D 解析:设A'F2=y,A'B'=x,A'F1=z(x,y,z均为正数).
∵csα=y2+y2-x22y2,csβ=z2+z2-x22z2,
∴1-csα1-csβ=1-2y2-x22y21-2z2-x22z2=z2y2=2516,
∴zy=54,∴在Rt△A'F1F2中,y|F1F2|=y2c=b2a2c=43,
∴3b2=8ac,
即3(c2-a2)=8ac,即3e2-8e-3=0,解得e=3或e=-13(舍去).
故选D.