2023年高考数学一轮复习课时规范练64离散型随机变量的均值与方差含解析新人教A版理

课时规范练64　离散型随机变量的均值与方差

基础巩固组

1.某人进行一项实验,若实验成功,则停止实验,若实验失败,再重新进行实验,若实验3次均失败,则放弃实验,若此人每次实验成功的概率为,则此人实验次数ξ的数学期望是(　　)

A. B. C. D.

2.(2021湖北武汉二中期末,5)随机变量X的分布列如表,若E(X)=2,则D(X)=(　　)

A. B. C. D.

3.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为(　　)

A.3 200 B.3 400 

C.3 500 D.3 600

4.(2021浙江湖州期末)一个口袋中有7个大小、质地完全相同的球,其中红球3个、黄球2个、绿球2个.现从该口袋中任取3个球,设取出红球的个数为ξ,则E(ξ)=　　　　　. 

5.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=3,D(X)=2,则p=　　　　　,P(X=1)=　　　　　. 

6.某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.

项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为;

项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为.

针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.

综合提升组

7.(2021浙江三模)已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=,P(X=3)=,若X的数学期望E(X)=,则D(4X-3)=(　　)

A.19 B.16 

C. D.

8.(2021浙江二模)已知0<k<1,0<x<1,随机变量X的分布列如下

当E(X)取最大值时,D(X)=(　　)

A.1 B.

C.3 D.9-

9.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E(ξ1)=　　　　　;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E(ξ2)=　　　　　. 

10.(2021山东济宁一模)垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程.搞好垃圾分类收集处理,可为政府节省开支,为国家节约能源,减少环境污染,是建设资源节约型社会的一个重要内容.为推进垃圾分类收集处理工作,A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育,为了解市民能否正确进行垃圾分类处理,调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到如下列联表(单位:人):

(1)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为A市能否正确进行垃圾分类与年龄有关?

(2)将频率视为概率,现从A市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次.记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求随机变量X的分布列和均值E(X).

附:K2=,其中n=a+b+c+d.

11.(2021山西运城考前适应)某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产线可供选择,生产线①:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.01,0.05.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为16万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线②:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.02.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.

(1)若选择生产线②,求生产成本恰好为20万元的概率;

(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.

创新应用组

12.(2021江苏苏锡常镇四市一模)某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒,需要通过血清检测确定该感染人员,血清检测结果呈阳性的即为感染人员,呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测:

方案甲:将这6名疑似病人血清逐个检测,直到能确定感染人员为止.

方案乙:将这6名疑似病人随机分成2组,每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测,若结果为阳性,则表示感染人员在该组中,然后再对该组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止;若结果为阴性,则对另一组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止.

(1)求这两种方案检测次数相同的概率;

(2)如果每次检测的费用相同,请预测哪种方案检测总费用较少?并说明理由.

13.(2021山东泰安一模)某市为了了解本市高中生周末运动时间,随机调查了3 000名学生,统计了他们的周末运动时间,制成如图所示的频率分布直方图.

(1)按照分层抽样,从[40,50)和[80,90]中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自[40,50)的人数为X,求X的分布列和数学期望;

(2)由频率分布直方图可近似认为:周末运动时间t服从正态分布N(μ,σ2),其中,μ为样本的平均数,σ近似为样本的标准差s,并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率,现从本市所有高中生中随机抽取12名学生,记周末运动时间在(43.9,87.7]之外的人数为Y,求P(Y=3)(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,结果精确到0.001).

参考数据:当Y~N(μ,σ2)时,P(μ-σ<Y≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<Y≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<Y≤μ+3σ)≈0.997 3,0.818 69≈0.165 1,0.181 43≈0.006 0.

答案：

课时规范练

1.B　解析:由题意可得ξ=1,2,3,每次实验成功的概率为,则失败的概率为,

P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,

则实验次数ξ的分布列如下

所以此人实验次数ξ的数学期望是E(ξ)=1+2+3故选B.

2.D　解析:由分布列的性质以及数学期望公式可得

解得a=b=,

所以D(X)=(1-2)2+(2-2)2+(4-2)2=故选D.

3.C　解析:设检测的机器的台数为X,则X的所有可能取值为2,3,4.P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以E(X)=2+3+4=3.5,所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500.

4　解析:依题意,设取出红球的个数为ξ,则ξ=0,1,2,3,而口袋中有红球3个、其他球4个,故P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,

故E(ξ)=0+1+2+3

5　解析:因为随机变量X~B(n,p),E(X)=3,D(X)=2,

所以解得即随机变量X~B9,.

P(X=1)=

6.解: 若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为

∴E(X1)=300+(-150)=200.

若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为

∴E(X2)=500+(-300)+0=200.

D(X1)=(300-200)2+(-150-200)2=35000,D(X2)=(500-200)2+(-300-200)2+(0-200)2=140000.∴E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),故项目一、项目二获利的数学期望相等,但项目一更稳妥.则建议该投资公司选择项目一投资.

7.A　解析:由题知P(X=0)=,设P(X=1)=a,则P(X=2)=-a,

因此E(X)=0+1×a+2×-a+3,解得a=,因此离散型随机变量X的分布列如下

则D(X)=,

因此D(4X-3)=16D(X)=19.故选A.

8.A　解析:根据随机变量分布列的性质,得k+=1,所以k=,

所以E(X)=0+2x+4=x+

(方法1)由不等式,得x+2

当且仅当x=时,等号成立,此时随机变量X的分布列为

所以D(X)==1.故选A.

(方法2)令x=sinθ,θ∈0,,则=cosθ,

所以E(X)=x+=sinθ+cosθ=sinθ+,

当且仅当θ=,即x=时,等号成立,此时随机变量X2的分布列为

故E(X2)=3,所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=3-2=1.故选A.

9　解析:ξ1可能的取值为0,1,2,

P(ξ1=0)=,

P(ξ1=1)=,

P(ξ1=2)=,

所以E(ξ1)=1+2;

ξ2可能的取值为0,1,2,P(ξ2=0)=,

P(ξ2=1)=,

P(ξ2=2)=,

所以E(ξ2)=1+2

10.解: (1)根据列联表中的数据,K2的观测值k=3.571>2.706,

∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关.

(2)由题意可得X~B3,,

∴P(X=k)=,k=0,1,2,3,

P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=

可得随机变量X的分布列为

均值E(X)=3

11.解: (1)若选择生产线②,生产成本恰好为20万元,即a工序不出现故障b工序出现故障,

故生产成本恰好为20万元的概率为(1-0.04)×0.02=0.0192.

(2)若选择生产线①,设增加的生产成本为ξ万元,则ξ的可能取值为0,2,3,5.

P(ξ=0)=(1-0.01)×(1-0.05)=0.9405,

P(ξ=2)=0.01×(1-0.05)=0.0095,

P(ξ=3)=(1-0.01)×0.05=0.0495,

P(ξ=5)=0.01×0.05=0.0005.

所以E(ξ)=0×0.9405+2×0.0095+3×0.0495+5×0.0005=0.17,

故选生产线①的生产成本期望值为16+0.17=16.17(万元).

若选生产线②,设增加的生产成本为η万元,则η的可能取值为0,8,5,13.

P(η=0)=(1-0.04)×(1-0.02)=0.9408,

P(η=8)=0.04×(1-0.02)=0.0392,

P(η=5)=(1-0.04)×0.02=0.0192,

P(η=13)=0.04×0.02=0.0008.

所以E(η)=0×0.9408+8×0.0392+5×0.0192+13×0.0008=0.42,

故选生产线②的生产成本期望值为15+0.42=15.42(万元).

故应选生产线②.

12.解: (1)由题意可设甲方案检测的次数是X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,

记乙方案检测的次数是Y,则Y的可能取值为2,3,方案甲与方案乙相互独立,

P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=,P(X=5)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=1-P(Y=2)=,

用D表示事件“方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数”,

则P(D)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=

所以这两种方案检测次数相同的概率为

(2)由(1)可知,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=,P(X=5)=,

所以E(X)=1+2+3+4+5,

又P(Y=2)=,P(Y=3)=,所以E(Y)=2+3,

故E(Y)<E(X).所以方案乙检测总费用较少.

13.解: (1)根据分层抽样,从[40,50)中抽取6人,从[80,90]中抽取3人,

随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=

则X的分布列为

E(X)=0+1+2+3=2.

(2)μ==35×0.01×10+45×0.02×10+55×0.03×10+65×0.015×10+75×0.015×10+85×0.01×10=58.5,

又因为43.9=58.5-14.6=μ-σ,87.7=58.5+2×14.6=μ+2σ,

所以P(43.9<t≤87.7)=P(μ-σ<t≤μ+2σ)=0.8186,

所以P(t≤43.9或t>87.7)=1-0.8186=0.1814,则Y~B(12,0.1814),

所以P(Y=3)=0.18143×0.81869≈220×0.0060×0.1651≈0.218.