高考数学二轮复习热点突破专题5解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题课件

这是一份高考数学二轮复习热点突破专题5解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题课件，共52页。PPT课件主要包含了真题感悟，答案B，考点整合等内容，欢迎下载使用。

高考定位　1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法的考查.
A.4 B.8 C.16 D.32
(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.
(1)解　由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).
(2)证明　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t).若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3由①②可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，结合x＝my＋n，得(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.③
代入③式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0，
(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2).若直线MN与x轴不垂直，
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.
1.圆锥曲线常考查的几何量
(1)直线方程：会用点斜式或斜截式设直线方程；(2)线段长、面积：三角形、四边形的面积中蕴含着线段长、点到直线的距离公式；(3)斜率公式、共线点的坐标关系：由两点坐标会表示出对应的直线斜率，共线点的横坐标或纵坐标也满足比例关系；(4)平面图形的几何性质：平行四边形、菱形等图形中的几何性质，如垂直、平行、平分、中点关系；(5)向量关系的转化：会把向量关系转化为对应点，如坐标关系.
2.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的值域、最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.
温馨提醒　圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.
3.圆锥曲线中的定点、定值问题
(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.
4.圆锥曲线中的存在性问题的解题步骤：
(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)下结论.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值.
(2)①证明　设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0).
探究提高　求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，列出含参数的函数式；可利用求函数值域(最值)或基本不等式、换元法、导数法，利用已知或隐含的参数范围求最值、范围.特别是分式形式时，会用换元法将复杂化为简单.
(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围.
探究提高　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【训练1】 (2020·贵阳诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的任意一点M到直线y＝－1的距离比M点到点F(0，2)的距离小1.
(1)求动点M的轨迹C1的方程；(2)若点P是圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作曲线C1的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB斜率的取值范围.
法二　由题意知M到直线y＝－2的距离等于M到F(0，2)的距离，由抛物线定义得动点M的轨迹方程为x2＝8y.
热点二　圆锥曲线中定值、定点问题角度1　圆锥曲线中的定值【例3】 (2020·广州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)解　因为抛物线y2＝2px过点P(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<1，又因为k≠0，故k<0或0(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2).
探究提高　1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.
由题意知Δ＝4t2－4(2t2－4)＞0，解得－2＜t＜2且t≠0.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由点P与点E关于原点对称，得E(－x1，－y1).易知x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.
设直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kAQ，
(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.
(2)证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，此时l垂直于x轴.
此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足.从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
解得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)，∴当且仅当m>－1时，Δ>0，∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2).所以l过定点(2，－1).
探究提高　1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
【训练3】 (2020·太原模拟)已知圆O1：(x＋1)2＋y2＝8上有一动点Q，点O2的坐标为(1，0)，四边形QO1O2R为平行四边形.线段O1R的垂直平分线交O2R于点P.
(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点O2作直线与曲线C交于A，B两点，点K的坐标为(2，1)，直线KA，KB与y轴分别交于M，N两点，求证：线段MN的中点为定点，并求出该中点的坐标.
(2)证明　当直线AB的斜率为0时，由(1)y≠0知与曲线C无交点.当直线AB的斜率不为0时，设过点O2的直线方程为x＝my＋1，点A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
所以MN的中点为(0，－1)，恒为定点.
解　(1)在△ABC中，由余弦定理AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cs C＝(CA＋CB)2－3CA·CB＝4.
(2)设直线方程y＝k(x－1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
探究提高　1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
【训练4】 (2020·西安调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线经过点P(－1，0).
(1)求抛物线C的方程.(2)设O是原点，直线l恒过定点(1，0)，且与抛物线C交于A，B两点，直线x＝1与直线OA，OB分别交于点M，N，请问：是否存在以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.
(2)存在，理由如下.